只用四则运算，至少要多少个114514可以计算出1919810？

northwolves

可否计算一下$1584$需要多少个$114514$?

王守恩

王守恩 发表于 2025-10-20 15:53
解题思路没问题。
Solve[{(u + x/k) 114514 + v + y/k == 1919810, u > 0, 90 > k > 0, k > Abs[x] > 0, 30 ...

1584需要多少个114514?——还是5#。可能简单些(无需考虑u,v)。

(1)——Solve[{(x/k) 114514 - y/k == 1584, 300 > k > 0, k > x > 0, k > y > 0}, {k, x, y}, Integers]

{{k -> 289, x -> 4, y -> 280}}

\(1584 =\frac{4 x + 9}{289} - 1 = \frac{(x + x + x + x) + (x + x + x)/x (x + x + x)/x}{((x + x + x + x)/x (x + x + x + x)/x + x/x) ((x + x + x + x)/x (x + x + x + x)/x + x/x)}-\frac{ x}{x} \)

(2)——Solve[{(x/k) 114514 + y/k == 1584, 300 > k > 0, k > x > 0, k > y > 0}, {k, x, y}, Integers]

{{k -> 217, x -> 3, y -> 186}}

\(1584 =\frac{3}{7}*(\frac{x}{31} + 2) = \frac{x + x + x}{x + x + x + x + x + x + x}*\frac{x*x*x*x}{(x + x + x + x) (x + x + x + x) (x + x) - x*x*x} +\frac{x + x}{x} \)

(3)——Solve[{(x/k) 114514 - y/k == 1590, 100 > k > 0, k > x > 0, k > y > 0}, {k, x, y}, Integers]

{{k -> 72, x -> 1, y -> 34}}

\(1584 =\frac{x - 34}{72} - 6 = \frac{x*x*x - (x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x + x) + x*x}{(x + x + x + x)/x (x + x) (x + x + x)/x (x + x + x)} - \frac{x + x + x + x + x + x}{x}\)

northwolves

$x=114514,1919810=\frac{5}{17} (57 x+56)=15 (x+1)+\frac{5}{17} (6 x+5)$ 有没有方法继续？ $\frac{17}{5}=\frac{x+x}{x+x+x+x+x}+\frac{x+x+x}{x}$需要$11$个$x$.

mathe

northwolves 发表于 2025-10-21 16:18
貌似难以绕过$\frac{17}{4}$

Found best 28=3+15+10
1919810==56/17*687089-343542
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
56/17==3--5/17(4,11)
3==343542/114514(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
5/17==114514/1946738/5(1,10)
1946738/5==114514--1374168/5(1,9)
1374168/5==114514--801598/5(1,8)
801598/5==114514--229028/5(1,7)
229028/5==114514/5/2(1,6)
5/2==1/2--2(3,3)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
687089==114514--572575(1,9)
572575==65567853550/114514(1,8)
65567853550==114515*572570(3,5)
114515==114514--1(1,2)
1==114514/114514(1,1)
572570==114514--458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
这个好像没有

mathe

northwolves 发表于 2025-10-21 16:19
可否计算一下$1584$需要多少个$114514$?

这个数据好像也不容易,比如可以27个:
Found best 27=1+13+13
1584==(8180/57257-4/31)*114514
4/31==114514/1774967/2(1,12)
1774967/2==114514--1545939/2(1,11)
1545939/2==343542*9/4(3,8)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
9/4==2--1/4(3,5)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/4==114514/458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
8180/57257==16360/114514(1,12)
16360==114514-98154(1,11)
98154==114513/7/6(3,8)
114513==114514-1(1,2)
1==114514/114514(1,1)
7/6==1/2--2/3(3,5)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
2/3==229028/343542(2,3)
229028==114514--114514(1,1)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)

northwolves

这是25个$x$的方案： $1584=(x +x+x^3/(x + ((x + x) (x + x + x) (x + x + x + x + x))/x^2) )/((x + x) + x^2/(x + x + x))$

northwolves

mathe 发表于 2025-10-21 16:33
Found best 28=3+15+10
1919810==56/17*687089-343542
343542==114514--229028(1,2)

$1919810=\left(3+\frac{5}{17}\right) (5 (x+1)+x)-3 x=\left(\frac{x}{\frac{x}{\frac{x}{x+x}+\frac{x+x}{x}}+(x+x+x)}+\frac{x+x+x}{x}\right) \left(x+\frac{\left(x+\frac{x}{x}\right) (x+x+x+x+x)}{x}\right)-(x+x+x)$

northwolves

似乎最少$x$的方式是连分数方式：

1. ContinuedFraction[56/17, 10]

复制代码

{3, 3, 2, 2}

mathe

Found best 28=5+14+9
1919810==(20208/57257+171773/57257)*572570
572570==114514--458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
20208/57257==114512/973369/3(4,10)
114512==114514-2(1,3)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
973369/3==114514--629827/3(1,9)
629827/3==114514--286285/3(1,8)
286285/3==114514*5/6(1,7)
5/6==1/2--1/3(3,4)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
171773/57257==343546/114514(1,8)
343546==114514--229032(1,7)
229032==114514--114518(1,6)
114518==114514--4(1,5)
4==458056/114514(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
I=5,H=14
Found best 28=5+15+8
1919810==(229029/57257-37048/57257)*572570
572570==114514--458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
37048/57257==114512/1946738/11(4,11)
114512==114514-2(1,3)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1946738/11==114514--687084/11(1,10)
687084/11==114514/11/6(1,9)
11/6==1--5/6(2,7)
1==114514/114514(1,1)
5/6==1/2--1/3(3,4)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
229029/57257==458058/114514(1,7)
458058==114514--343544(1,6)
343544==114514--229030(1,5)
229030==114514--114516(1,4)
114516==114514--2(1,3)
2==229028/114514(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
Found best 28=5+15+8
1919810==(40417/114514+343545/114514)*572570
572570==114514--458056(1,4)
458056==114514--343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
40417/114514==40417/114514(1,14)
40417==114514/114514/40417(1,13)
114514/40417==114514-4628197824/40417(1,12)
4628197824/40417==13113227168/687089/6(4,8)
13113227168==13113341682-114514(1,3)
13113341682==13113456196-114514(1,2)
13113456196==114514*114514(1,1)
687089/6==114514--5/6(1,7)
5/6==1/2--1/3(3,4)
1/2==114514/229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
1/3==114514/343542(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)
343545/114514==343545/114514(1,7)
343545==114514--229031(1,6)
229031==114514--114517(1,5)
114517==114514--3(1,4)
3==343542/114514(1,3)
343542==114514--229028(1,2)
229028==114514--114514(1,1)

northwolves

mathe 发表于 2025-10-21 18:22
Found best 28=5+14+9
1919810==(20208/57257+171773/57257)*572570
572570==114514--458056(1,4)

这个很不错： $1919810=\left(\frac{6 (x-2)}{17 x}+\frac{3 x+4}{x}\right) (5 x)$