落英局

wayne

1# nnd

应该强调从风吹来时开始计时，之后落花

没太明白。只需强调 黑白花 相邻的两次落地的时间间隔是均匀分布的随机数 就行吧。 BTW，据我所知，桃树不可以长的这么高大的啊，

nnd

10# wayne 概率论一般是不计算时间的，只计算事件。hujunhua，跟时间混在一起的概率论分支，有吗？

nnd

从风吹的那一刻起，红花落在棋盘上的时间间隔为1~5秒的随机自然数，白花的间隔为1~10秒的随机自 然数。 请问100秒内，红白桃花四手成弈的概率是多少？ 注：红花，白花，红花，白花依次落在棋盘上为四手成弈 模拟的结果大约为80.6%

nnd

这个代码是用excel的VBA写的。算出了一个模拟值。帮我看看有没有问题？ Sub yaokong() ‘from http://110.76.45.160/thread-76-1-1.html Dim tRed(100), tWhite(100) As Integer 'the time when dropping Dim tRedWhite(200) As Integer '{0,0,1,1,2,1,0} means white dropping,white dropping,red dropping,red,same time dropping,red dropping,white dropping, Dim lRed, lWhite As Integer 'drop times Dim i, j, N, K As Integer Dim iR, iW As Integer Dim eFF As Integer Dim N1, K1 As Single N = 0 K = 32767 For j = 1 To K lRed = 0 lWhite = 0 For i = 0 To 99 tRed(i) = 0 tWhite(i) = 0 Next i tRed(0) = Int(5 * Rnd) + 1 While tRed(lRed) < 99 lRed = lRed + 1 tRed(lRed) = Int(5 * Rnd) + 1 + tRed(lRed - 1) Wend If tRed(lRed) > 100 Then lRed = lRed - 1 tWhite(0) = Int(10 * Rnd) + 1 While tWhite(lWhite) < 99 lWhite = lWhite + 1 tWhite(lWhite) = Int(10 * Rnd) + 1 + tWhite(lWhite - 1) Wend If tWhite(lWhite) > 100 Then lWhite = lWhite - 1 iR = 0 iW = 0 i = 0 While i < lRed + lWhite 'white 0,red 1 If tRed(iR) > tWhite(iW) Then tRedWhite(i) = 0 iW = iW + 1 i = i + 1 ElseIf tRed(iR) < tWhite(iW) Then tRedWhite(i) = 1 iR = iR + 1 i = i + 1 Else tRedWhite(i) = 2 i = i + 1 tRedWhite(i) = 2 i = i + 1 iR = iR + 1 iW = iW + 1 End If Wend eFF = 1 i = 0 While eFF = 1 And i < lRed + lWhite - 2 If tRedWhite(i) = 1 And tRedWhite(i + 1) = 0 And tRedWhite(i + 2) = 1 And tRedWhite(i + 3) = 0 Then eFF = 0 End If i = i + 1 Wend If eFF = 0 Then N = N + 1 Next j For i = 0 To lRed Sheets(1).Cells(i + 1, 1).Value = tRed(i) Next i For i = 0 To lWhite Sheets(1).Cells(i + 1, 2).Value = tWhite(i) Next i For i = 0 To iW + iR Sheets(1).Cells(i + 1, 3).Value = tRedWhite(i) Next i N1 = N K1 = K MsgBox ("N=" & N & " " & "K=" & K & " " & "N/k=" & N1 / K1) End Sub

KeyTo9_Fans

代码是否正确，只能由编程者自己把握，非编程者很难代劳。 你只要告诉我： 1、你的模拟次数是$32767$次； 2、每次模拟均为$100$个时刻。 3、对于每次模拟的每个时刻：红花落记为$0$，白花落记为$1$，同时落记为$2$，没有花落就不记； 4、如果记录中出现$0101$，则成弈，否则不成弈。 我就知道你的算法是对的了。 至于模拟结果$0.806$与真实值$0.8143362367241267$之差有$0.008$， 当模拟次数仅为$32767$时是可以接受的。 我也做过$1$个模拟，次数为$10^10$，结果为$0.814345$，与真实值之差为$0.000009$。 至于代码是否完全正确无误，只能由编程者自己把握，非编程者是很难代劳的。

nnd

15# KeyTo9_Fans 佩服。准确值是怎么算的呢？我算不出来

wayne

以时间作限并不能揭示问题本质。 我还是以回合的方式考虑吧，$1$回合表示红白分别落一次。 设第n回合，红白落地的间隔分别需要$r_k$,$w_k$,则我们可以设 $S_n=\sum_{k=1}^{n}(r_k-w_k)$，其中$r_k$,$w_k$分布服从[1,5],[1,10]的均匀分布。 于是接下来，我们考虑$S_n$ 的概率分布

1. GatherBy[Sort@Tally@Flatten@Table[i+j+k+s-p-m-n-t,{i,5},{j,5},{k,5},{s,5},{t,10},{n,10},{m,10},{p,10}],Sign[#[[1]]]&]

复制代码

算得S小于0，等于0，大于0的概率分布分别是 S1：{7/10,1/10,2/10} S2：{83/100,1/20,13/100} S3：{13948/15625,953/31250,2401/31250} S4：{5810743/6250000,121389/6250000,79467/1562500}

KeyTo9_Fans

有一天，Fans来到了一个世外桃园， 没想到竟然在桃园里看到了wayne（在桃园里来回走动）。 桃园里有一堵$10$米长的红墙和一堵$5$米长的白墙， 两堵墙恰好形成了一个直角，如下图所示： 角红红红红红红红红红红 白 白 白 白　　　　　　W 白 （“角”=“墙角”，“红”=“红墙”，“白”=“白墙”，“W”=“wayne”） 经过耐心观察，Fans发现wayne在每个单位时间里是按照如下方式走动的： 1、向左上方走$\sqrt{2}$米； 2、如果碰到了红墙，就后退$1$～$5$米（后退$1$米、后退$2$米、……、后退$5$米的概率均为$20%$）； 3、如果碰到了白墙，就向右走$1$～$10$米（向右$1$米、向右$2$米、……、向右$10$米的概率均为$10%$）； 4、如果碰到的是墙角，就后退$1$～$5$米（后退$1$米、后退$2$米、……、后退$5$米的概率均为$20%$），然后向右走$1$～$10$米（向右$1$米、向右$2$米、……、向右$10$米的概率均为$10%$）。 这个世外桃园非常神奇： 一旦wayne碰到了红墙，就会有$1$片红色的花瓣从天而降，落到wayne的手里； 一旦wayne碰到了白墙，就会有$1$片白色的花瓣从天而降，落到wayne的手里； 如果wayne碰到的是墙角，就会有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降，落到wayne的手里。 而wayne仙人也非常古怪： 1、当手里什么也没有的时候： 如果有$1$片红色的花瓣从天而降：拿着； 如果有$1$片白色的花瓣从天而降：扔掉； 如果有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降：统统扔掉； 2、当手里有$1$片红色的花瓣的时候： 如果有$1$片红色的花瓣从天而降：把原来的红花瓣扔掉，拿新来的； 如果有$1$片白色的花瓣从天而降：拿着； 如果有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降：统统扔掉，包括原来的红花瓣； 3、当手里有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣的时候： 如果有$1$片红色的花瓣从天而降：拿着； 如果有$1$片白色的花瓣从天而降：统统扔掉，包括原来拿着的花瓣； 如果有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降：统统扔掉，包括原来拿着的花瓣； 4、当手里有$2$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣的时候： 如果有$1$片红色的花瓣从天而降：把原来拿着的花瓣统统扔掉，把新的红花瓣拿着； 如果有$1$片白色的花瓣从天而降：拿着； 如果有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降：统统扔掉，包括原来拿着的花瓣； 5、当手里有$2$片红色的花瓣和$2$片白色的花瓣的时候： 如果有$1$片红色的花瓣从天而降：把原来拿着的花瓣继续拿着，新来的不要； 如果有$1$片白色的花瓣从天而降：把原来拿着的花瓣继续拿着，新来的不要； 如果有$1$片红色的花瓣和$1$片白色的花瓣同时从天而降：把原来拿着的花瓣继续拿着，新来的不要。 经过如此细致的一番观察之后，Fans开始思考： 如果wayne的初始位置是随机的（把$5$*$10$范围里的每$1$块空地作为起点的概率均为$2%$），并且手里没有花瓣， 那么经过了$100$个单位时间之后，wayne手里拿着的是$2$片红色的花瓣和$2$片白色的花瓣的概率是多少呢？ Fans从世外桃园回来之后，打开数学研发论坛，发现nnd楼主已经写了$1$个程序（$14$楼），模拟了wayne的走法，并把近似结果算出来了（$13$楼）。

mathe

给出状态转移矩阵后就可精确求值了：

wayne

17# wayne Sn的三个概率值之和始终为1，不会出现“都几乎小于0” 的。 我算到S4的时候，突然间意识到Si和Sj不是独立的，所以戛然而止。 ================ 不过，倒是可以带出一个新的问题，就是红花和白花各自落英100个回合之后，红花总共所花时间大于白花总共所花时间 的概率是多少。 ================ 还是Fans整出的世外桃源之说 传奇而新颖，而且，而且脉络非常清晰，很适合于编程实现，只是仍然不方便理论计算吧？ ================ mathe提及“状态转移矩阵”，我感觉还是很麻烦，或许是我未得要点？