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楼主: 数学星空

[讨论] 三角形正负等角中心间距

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发表于 2018-7-7 20:11:28 | 显示全部楼层
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-7 20:12:22 | 显示全部楼层
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-23 10:51:31 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-24 15:06
换了一种作图方式, 发现,命题可以推广:

将  往内外做正三角形 改成 做 以三角形所在边为底边,底角为 ...

这就是基佩特双曲线。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-23 11:54:15 | 显示全部楼层
厉害,炸出了 这么多 硬核的 几何发现。 我都几乎忘光了以前跟过这种贴。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-23 15:56:16 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2018-4-19 11:22
老封20多年来始终未能解决的问题:


这个题目中a,b,c满足$a^2\cot(A_0)+b^2\cot(B_0)+c^2\cot(C_0)$是常数的约束条件定义的不是很合理。
由于在$A_0B_0C_0$是锐角三角形时,上面条件和存在四个正常数U,V,W,K使得${a^2}/U+{b^2}/V+{c^2}/W=K$是等价的
而对于$C_0$是钝角时,我们同样可以转化成上面形式,只是这时$W<0$且$-W>U+V$,这里这个$-W>U+V$的约束条件是不自然的。
所以一个更好的约束条件就是存在四个常数u,v,w,k使得$ua^2+vb^2+wc^2=k$
同样我们假设$A,B,C$三点在复平面上对应$z_a,z_b,z_c$,那么上面约束条件就是$u(z_b-z_c)(\bar{z_b}-\bar{z_c})+v(z_c-z_a)(\bar{z_c}-\bar{z_a})+w(z_a-z_b)(\bar{z_a}-\bar{z_b})=k$
或者写成
$(v+w)z_a\bar{z_a}+(u+w)z_b\bar{z_b}+(u+v)z_c\bar{z_c}-u(z_b\bar{z_c}+\bar{z_b}z_c)-v(z_c\bar{z_a}+\bar{z_c}z_a)-w(z_a\bar{z_b}+\bar{z_a}z_b)=k$  (1)
另外存在三个复常数$r_a,r_b,r_c$使得$z_d=z_b+r_a(z_c-z_b),z_e=z_c+r_b(z_a-z_c),z_f=z_a+r_c(z_b-z_a)$ (2)
所以假设三角形DEF也满足定义,那么存在$u',v',w',k'$使得
$(v'+w')z_d\bar{z_d}+(u'+w')z_e\bar{z_e}+(u'+v')z_f\bar{z_f}-u'(z_e\bar{z_f}+\bar{z_e}z_f)-v'(z_f\bar{z_d}+\bar{z_f}z_d)-w'(z_d\bar{z_e}+\bar{z_d}z_e)=k'$ (3)
将(2)代入(3)看是否可以整理成(1)的形式即可,(需要注意$u,v,w,k,u',v',w',k'$是实数,但是$r_a,r_b,r_c$是复数
但是从局部展开的效果来看,应该是无法达成目标,应为第一项$z_d\bar{z_d}$展开后$z_c\bar{z_b}$和$\bar{z_c}z_b$的系数已经不相等了,它们是共轭复数而不是相等的实数,所以结论应该是错误的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-3 09:31:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-3-3 11:04 编辑

谢谢老师的精彩点评!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-1 21:04:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-4-1 21:06 编辑

受到老封的鼓励,又从电脑文档里找到几个问题,敬请各位老师赐教:
1998.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-1 21:07:13 | 显示全部楼层
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-4-1 21:07:50 | 显示全部楼层
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补充内容 (2019-4-2 08:05):
【注】定理1是国外数学家发现并证明的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-4-2 07:52:43 | 显示全部楼层
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点评

【注】定理2是国外数学家发现并证明的。  发表于 2019-4-2 08:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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