数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: 数学星空

[讨论] 三角形正负等角中心间距

  [复制链接]
发表于 2019-2-23 15:56:16 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2018-4-19 11:22
老封20多年来始终未能解决的问题:


这个题目中a,b,c满足$a^2\cot(A_0)+b^2\cot(B_0)+c^2\cot(C_0)$是常数的约束条件定义的不是很合理。
由于在$A_0B_0C_0$是锐角三角形时,上面条件和存在四个正常数U,V,W,K使得${a^2}/U+{b^2}/V+{c^2}/W=K$是等价的
而对于$C_0$是钝角时,我们同样可以转化成上面形式,只是这时$W<0$且$-W>U+V$,这里这个$-W>U+V$的约束条件是不自然的。
所以一个更好的约束条件就是存在四个常数u,v,w,k使得$ua^2+vb^2+wc^2=k$
同样我们假设$A,B,C$三点在复平面上对应$z_a,z_b,z_c$,那么上面约束条件就是$u(z_b-z_c)(\bar{z_b}-\bar{z_c})+v(z_c-z_a)(\bar{z_c}-\bar{z_a})+w(z_a-z_b)(\bar{z_a}-\bar{z_b})=k$
或者写成
$(v+w)z_a\bar{z_a}+(u+w)z_b\bar{z_b}+(u+v)z_c\bar{z_c}-u(z_b\bar{z_c}+\bar{z_b}z_c)-v(z_c\bar{z_a}+\bar{z_c}z_a)-w(z_a\bar{z_b}+\bar{z_a}z_b)=k$  (1)
另外存在三个复常数$r_a,r_b,r_c$使得$z_d=z_b+r_a(z_c-z_b),z_e=z_c+r_b(z_a-z_c),z_f=z_a+r_c(z_b-z_a)$ (2)
所以假设三角形DEF也满足定义,那么存在$u',v',w',k'$使得
$(v'+w')z_d\bar{z_d}+(u'+w')z_e\bar{z_e}+(u'+v')z_f\bar{z_f}-u'(z_e\bar{z_f}+\bar{z_e}z_f)-v'(z_f\bar{z_d}+\bar{z_f}z_d)-w'(z_d\bar{z_e}+\bar{z_d}z_e)=k'$ (3)
将(2)代入(3)看是否可以整理成(1)的形式即可,(需要注意$u,v,w,k,u',v',w',k'$是实数,但是$r_a,r_b,r_c$是复数
但是从局部展开的效果来看,应该是无法达成目标,应为第一项$z_d\bar{z_d}$展开后$z_c\bar{z_b}$和$\bar{z_c}z_b$的系数已经不相等了,它们是共轭复数而不是相等的实数,所以结论应该是错误的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-3 09:31:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-3-3 11:04 编辑

谢谢老师的精彩点评!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-1 21:04:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-4-1 21:06 编辑

受到老封的鼓励,又从电脑文档里找到几个问题,敬请各位老师赐教:
1998.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-1 21:07:13 | 显示全部楼层
1,.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-1 21:07:50 | 显示全部楼层
2.png

补充内容 (2019-4-2 08:05):
【注】定理1是国外数学家发现并证明的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-2 07:52:43 | 显示全部楼层
3.png

点评

【注】定理2是国外数学家发现并证明的。  发表于 2019-4-2 08:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-2 07:53:42 | 显示全部楼层
4,.png

点评

【注】定理3是国外数学家发现并证明的。  发表于 2019-4-2 08:07
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-2 08:03:59 | 显示全部楼层
无标题.png
上述定理的证明,很不容易,敬请各位顶尖高手借助符号软件,给出不一样的证明方法。
(1)仅用三角形的三边长a、b、c,能够表达OE、OF吗?
(2)如果外围三角形是等腰三角形,OE、OF的公式是什么?
请大家赐教!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-11 21:05:42 | 显示全部楼层
楼上的\(OE,OF\)是下列关于\(x\)方程的两个正根:

\(12(a+b+c)(-c+a+b)(a-b-c)(-b+c+a)(a^{10}-3a^8b^2-3a^8c^2+2a^6b^4+11a^6b^2c^2+2a^6c^4+2a^4b^6-10a^4b^4c^2-10a^4b^2c^4+2a^4c^6-3a^2b^8+11a^2b^6c^2-10a^2b^4c^4+11a^2b^2c^6-3a^2c^8+b^{10}-3b^8c^2+2b^6c^4+2b^4c^6-3b^2c^8+c^{10})x^2+(36(a^4-a^2b^2-a^2c^2+b^4-b^2c^2+c^4))(a+b+c)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2x^4+132a^4b^4c^8-92a^4b^6c^6+132a^4b^8c^4-108a^4b^2c^{10}+76a^2b^{12}c^2-108a^{10}b^2c^4-92a^6b^6c^4+52a^6b^2c^8-92a^6b^4c^6+52a^2b^8c^6-108a^2b^{10}c^4+52a^2b^6c^8-108a^4b^{10}c^2+76a^2b^2c^{12}+52a^6b^8c^2+52a^8b^2c^6-108a^{10}b^4c^2+132a^8b^4c^4+76a^{12}b^2c^2+52a^8b^6c^2-108a^2b^4c^{10}+40b^{12}c^4-20b^{14}c^2-20a^2c^{14}+40a^4c^{12}-20a^2b^{14}-44b^{10}c^6-20a^{14}c^2+40a^{12}b^4-20b^2c^{14}+40b^8c^8+40a^8b^8-44a^{10}c^6+40a^{12}c^4-44a^{10}b^6-44a^6c^{10}-20a^{14}b^2-44a^6b^{10}+40a^8c^8+40a^4b^{12}+40b^4c^{12}-44b^6c^{10}+4b^{16}+4c^{16}+4a^{16}=0\)


已验证其正确性,具体可见下列链接中的结果,比较代数式即可

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 75&fromuid=1455   见第一个结果

其它各个心与正负等角中心的间距公式已全部列出(关于\(a,b,c\)的代数方程)



点评

感谢星空老师借助功能强大的符号软件,验证敝公式正确。 请问:能用三边长a、b、c,对OE、OF进行别样表达吗?  发表于 2019-4-12 12:36
星空老师:您好! 这个庞大的方程,如何求解,得到我的公式?  发表于 2019-4-12 10:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-12 09:58:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2019-4-12 13:14 编辑

辛苦了!谢谢顶级奥数专家,数学星空老师!

无标题.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-5-22 03:28 , Processed in 0.062804 second(s), 18 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表