不等式问题二

数学星空

wayne 发表于 2013-10-27 09:21
我算的n=5跟星空的不一样，直观上看，我的各值增长缓慢有序，星空的跳跃很大，应该星空的有问题吧，呵 ...

呵呵，n=5的值，你算的是对的，但是有谁能将8#的式子展开成幂级数形式？
k的极限值是多少呢？（根据Wayne的计算结果似乎是2）

wayne

数学星空 发表于 2013-10-27 09:39
呵呵，n=5的值，你算的是对的，但是有谁能将8#的式子展开成幂级数形式？
k的极限值是多少呢？（根据Wayn ...

你的直觉很不错， k的极限值 就是2 。
将8#的式子 在 k=2处展开。发现 展开式的 常数项 渐趋于 0
所以，k的极限值就是2了

数学星空

Wayne 你看能否将n=2..20
k值所对应的变量算出来，即{a,b,c,d...}的值列出来

wayne

数学星空 发表于 2013-10-27 10:00
Wayne 你看能否将n=2..20
k值所对应的变量算出来，即{a,b,c,d...}的值列出来

这个难度不是一般的大吧，单就n=3，4, 5的情况，你就摸不着头脑：
n=3,  {4/3,
{ x[1] -> 16/21,
   x[2] -> 4/21,
   x[3] -> 1/21}}

n=4, {1.4208443854096138126852971528038761118873754470323,
{ x[1] -> 0.6984012493057960186184140316681288793764496553769,
  x[2] -> 0.20686167151842656079055455819962342795291929121225,
  x[3] -> 0.073104829227355127377900459991428221180650136975834,
  x[4] -> 0.021632249948422293213130950140819471489980916435022}}

n=5,  {1.4863532289630506405204871646198515664354695641007,
{x[1] -> 0.6511762330833767194617324415589956677147370919305,
  x[2] -> 0.21307294754224889428825383710760072911488098136543,
  x[3] -> 0.087769967209130740980386164625295136163652371006730,
  x[4] -> 0.036174171879586347976762681972931365405105369655589,
  x[5] -> 0.011806680285657297292864874735177101601624186041746}}

n=6,   {1.537937556520034931368158716026326815604,
{ x[1] -> 0.614288652124867459864400552955351553541,
  x[2] -> 0.2148649892325665173413165680216400392847,
  x[3] -> 0.09675126156519473593993613357760801711130,
  x[4] -> 0.04609050890317115773060223310440236688270,
  x[5] -> 0.02077113989785578355528371603001545846151,
  x[6] -> 0.007233448276344345568460796310982564718312}}

数学星空

呵，是的，算出a,b,c,d...的值就相当于解一个非线性方程组（偏导数等于0）。
其实，我很喜欢8#的方程（我叫它“幂根和方程”），有谁能给出其等价的表达式？

wayne

wayne 发表于 2013-10-27 10:21
这个难度不是一般的大吧，单就n=3，4, 5的情况，你就摸不着头脑：
n=3,  {4/3,
{ x[1] -> 16/21,

汗，我前面用的是NMaximize，是全局的确定性算法函数，改成启发式搜索函数FindMaximum，结果一股脑的全算出来了，保留20位有效精度：

1. {2, {1.20710678118654752356107629501135891808737442427838068606`20., {0.853553389948816601824443329750248100336728171012059648055`20., 0.146446610051183398453037106694186940972222802176712642467`20.}}}
   
2. {3, {1.333333333333333331009692611103391321488807353992547704504`20., {0.761904761032607837194157120869676170430498861732103207592`20., 0.190476190857560486204769074883319756239836821712559875176`20., 0.047619048109831676878632036092908384853046711083959430452`20.}}}
   
3. {4, {1.420844385409613801392888822216872952534421347752811460674`20., {0.698401248889420437404774293151366100582702146730859149592`20., 0.206861671599181803242699409577303852010476869329299345291`20., 0.073104829367448577712430589166470768219294242832125554295`20., 0.021632250143949174423876354720973264681052672984540992684`20.}}}
   
4. {5, {1.48635322896305061742703942564111661538545690037009745182`20., {0.651176232038857616139321670632238502835317477443705813955`20., 0.213072947600413880123332039326165052691423435007643510579`20., 0.087769967449138369911670691918586954011504268426271911236`20., 0.036174172140165993394812845107687010097432795618226515379`20., 0.011806680771424133215328869473247152103025126313376538258`20.}}}
   
5. {6, {1.537937556520034920082179290144468871048985633144525566162`20., {0.614288651779852661966028514332982017097621505391707019288`20., 0.214864989245311064429744357496868314691236561123280298019`20., 0.096751261796873046879938728049220227112603714240608178029`20., 0.046090508957717998388425579016050209020469748277303730955`20., 0.02077113992777119400664505089357721196039329435257071063`20., 0.00723344829247402725162566219417532538430194341601675489`20.}}}
   
6. {7, {1.580037210632052341554517095579546589119465414149800827407`20., {0.584430303938414106464640082813152281157662750307047583058`20., 0.214546417672248251150297814316184577452342891905224577425`20., 0.102491818771240695795283966761675353875015811218729022687`20., 0.05307677746471692936266537253308564984939471077811866283`20., 0.027506547775096407448441544825591948613270243168756730729`20., 0.013151010655359301920225969075316683502421044029916814429`20., 0.004797123722924302377693550110464018866050446197776640001`20.}}}
   
7. {8, {1.615322399702515250451149708980889951610408964981341561934`20., {0.5596029127347270648584753871546126902103424072265625`20., 0.2131687195194273964915510077844373881816864013671875`20., 0.10626015261518496901604891036186018027365207672119140625`20., 0.058145485454290442295377516757071134634315967559814453125`20., 0.032644716986436485284261976858033449389040470123291015625`20., 0.017886586784410234141073914315711590461432933807373046875`20., 0.0089213607613763679093921155072166584432125091552734375`20., 0.003370065144146967145433180235158943105489015579223632812`20.}}}
   
8. {9, {1.645509522965485062691504431162356517530437159342586002553`20., {0.538521545015281806882057818237986446884974182471102896959`20., 0.21125419256934214531146842229951733774802192043457200308`20., 0.108766004711067959041898984890668842803453736822357244801`20., 0.061912126557582512216436289492888936735613474572684225689`20., 0.03663609214174047506738019328472695631214420299027964387`20., 0.021695531740226496362320981417366752210042278133184757709`20., 0.012370697022318462067440950822185279592514296229911002018`20., 0.006370493544260880960471561674654032486182883459773329412`20., 0.00247331669817926167428563367408017710704578144334334844`20.}}}
   
9. {10, {1.671759811774626973176983947716359200356611384028338573133`20., {0.520318308342242408906851287104159702031482066637255449308`20., 0.209078437284033017463779239816313265123896559030048448204`20., 0.110431115263056449834552504436503963609384093917199882969`20., 0.06476492293488546363025597009098579674162696509181608228`20., 0.039789172631946971025495787832196586751922008793299642709`20., 0.024791943409108139380813634927354193625813510502194809328`20., 0.015252514126107338607229511869586757668127781239940496469`20., 0.008962579060132971273091493373189368117064592917790008851`20., 0.004732547774548559728371339082671540387011814094928600516`20., 0.001878459173938723344190140577694542675953231109214276105`20.}}}
   
10. {11, {1.694891444795200309172262584599579094393528046416442056977`20., {0.504383371496982104955473575396302104359061634767657728833`20., 0.206793001898840860423713054192686916577913720159399535046`20., 0.111518559481745459942144804530645615981405261720057758378`20., 0.066957917332233107661721219326704659402225149708530673278`20., 0.042316848461572463626843211310082528329590853181097606253`20., 0.027337948906132663669825004475897295598244429771054804976`20., 0.017673857767256350981070183787427202014166844074280477699`20., 0.011190975820529167874532711709422503934280221140494103544`20., 0.006733041601437361238815104204831720660516937706396619622`20., 0.003627945060057255313423676854833285264767730263122663058`20., 0.001466532173213220159153312926432962097812271093760667454`20.}}}
    
11. {12, {1.715500222983459807148055477089865173517002093573058602829`20., {0.49027410680266481080025187111459672451019287109375`20., 0.2044833501966449029740857668002718128263950347900390625`20., 0.11219908045778519134483275365710142068564891815185546875`20., 0.06866292900875507754232529578075627796351909637451171875`20., 0.0443687983554576781397571494380827061831951141357421875`20., 0.029454031925692455290421989388960355427116155624389648438`20., 0.019723652037762641475726610451602027751505374908447265625`20., 0.013111072087354628395994282641368045005947351455688476562`20., 0.008491504821945501657598498468360048718750476837158203125`20., 0.005207241650570785217178038095653391792438924312591552734`20., 0.002853091776451453787100120962350047193467617034912109375`20., 0.001171140878914904599750190783424841356463730335235595703`20.}}}
    
12. {13, {1.734032030557952161214889005606256675825708392047424564279`20., {0.477660445304052798531324779898622989779454468187432339488`20., 0.202198148833359294634818042979959372649520446529407535635`20., 0.112587191679535535199909883665697637889320464233504116768`20., 0.069999564501401745368684256927803619368659882335462810862`20., 0.046052455665303963406745699094620684076952037685937552139`20., 0.031230019295067428622783639342135758805344410434979289874`20., 0.021472428412859624919383625314491852164437412744434711983`20., 0.014773359978924081687737679874248314459399172430501689902`20., 0.010037092934729879507582965820271941726133617743047078411`20., 0.006620291567247994113265822972408504085504685471784006359`20., 0.004124214342583899665518639037095249455149433213227802904`20., 0.002291690968926240577688643375071715147695872861965842159`20., 0.000953096516007537963803156343566148032871568315653251692`20.}}}
    
13. {14, {1.750828324772831442860165095970586585864103153798310222328`20., {0.46629055450205736388369359701755456626415252685546875`20., 0.1999648686122579566148971252914634533226490020751953125`20., 0.11276183357850917687859038096576114185154438018798828125`20., 0.071053196576118526905929684289731085300445556640625`20., 0.047446486719825410605100302063874551095068454742431640625`20., 0.03273358080877818154785785509375273250043392181396484375`20., 0.0229755063716915730598344680402078665792942047119140625`20., 0.016220395189458912399427248374195187352597713470458984375`20., 0.011399236016438378527038111087676952593028545379638671875`20., 0.007882389033819166279659640395038877613842487335205078125`20., 0.005278048238083980076007506454516260419040918350219726562`20., 0.003331919023733443622342642598255224584136158227920532227`20., 0.001873808915948066335793731340686463227029889822006225586`20., 0.000788176413279810137921255197568370931548997759819030762`20.}}}
    
14. {15, {1.766155779584583041245812841778858911866248981164086026708`20., {0.455968492197985848371639068302741775316647991262496400855`20., 0.197798461294381483947640271741887974435254266255266109197`20., 0.112778702464466273373305272844649426411826734944060463814`20., 0.071886106287183447339408066960696488931659237492636003809`20., 0.048609564838163295616517282078386050128639108921224990782`20., 0.034016339290958962358300762344453732531596842972267047662`20., 0.024276325012421890781840956976177115883433972382049698509`20., 0.017487119424931703526902911423210867533616802116810257355`20., 0.01260426758585524973571481343230971023935090769712656661`20., 0.009010992411863788601015732434803375891842387998325045803`20., 0.006322343782668576073714080103129145375961897867220065548`20., 0.00428748796762430199695145885176540237045694694178511578`20., 0.002737426052728024439581108958291357396470197523128514831`20., 0.001555554567401601313464206575672356391994321935107100999`20., 0.000660816821365615429431540198843962652479662937143229568`20.}}}
    
15. {16, {1.78022622656713400690085908068122371655640154256889894759`20., {0.446539190161921805416678104559492203141227733644251749812`20., 0.195706355834610247347439717900977610793019666442987144115`20., 0.112677880152558774283453998041412531216119674128160235278`20., 0.072544604324299104971244283340435205472482781551674236936`20., 0.049586190089740718693750928108153819925121265513368663263`20., 0.03511818649618421392279206137491241936334845813989362422`20., 0.025409203491645302674074305917170569585550148017338260985`20., 0.018602003605152262262686396854184991879018235815020499598`20., 0.013674762607736813075231925629235849792607964750732530639`20., 0.010022729504450386328456100570076122865768308722501978751`20., 0.007267545712692363085741040969916430245042055520357767715`20., 0.005161961492452074094388333539976442074240832427215041277`20., 0.00353872457400095884328592770847499504120084736757220195`20., 0.002281611629430420674932930460222692171826300984119247001`20., 0.00130836775830665235899374936848674162875286368118591258`20., 0.00056068256481788452419495987571418358821027099992560456`20.}}}
    
16. {17, {1.793210441089007948330134030674594459378530989785978036419`20., {0.437878092787771490695426450625350789984351078788754751266`20., 0.193691419134611977620119107402399729717931438624085694892`20., 0.112488705100051886646595007861765011816178508210149008408`20., 0.073063709049157873901419365863188182466982087225105364815`20., 0.050410626496195505526459060292763080289899123314792587946`20., 0.036070334251332343472983103680130729766270223029615309754`20., 0.026401474971660518277096643752338752388012243083266248842`20., 0.019588248914471227443871988294241830867414669012855128305`20., 0.014629752068870615726693406409884530967198720808226195428`20., 0.010932469917073661727634035567245717766504557817239559146`20., 0.008124313488412062262218826072581317542492332883550350242`20., 0.005961572852802611775960970727730658515335727337066402544`20., 0.004278923645314810231533058118506231653086586046883336935`20., 0.002961008304247387784894308658827319801400024752272199523`20., 0.001925556726249955995654130032938109490044312830258098353`20., 0.001113079769510226684521419636001026652539202304323494424`20., 0.000480712522265838810211488656191469974001914912670914573`20.}}}
    
17. {18, {1.80524790324056777405983010608331725947999140673354690582`20., {0.429883834563701883180186769095598720014095306396484375`20., 0.191753750740096096105702372369705699384212493896484375`20., 0.1122329680650455963064615616531227715313434600830078125`20., 0.0734702960960624817943198650027625262737274169921875`20., 0.05110961826540598440526963486263412050902843475341796875`20., 0.036897490017300367537433913867062074132263660430908203125`20., 0.027275098714770396740592062201358203310519456863403320312`20., 0.020464832130693878103899763232220720965415239334106445312`20., 0.015485187925640650150049815181318990653380751609802246094`20., 0.011753160489266710822531258884282578947022557258605957031`20., 0.008902599185762751290984517993365443544462323188781738281`20., 0.006693223955715760752072096551046342938207089900970458984`20., 0.004961678295291110755982355584592369268648326396942138672`20., 0.003593656187763338491492071113952988525852560997009277344`20., 0.002507287516650459364281333662916040339041501283645629883`20., 0.001642880777711691912476577037693914462579414248466491699`20., 0.000956475433066007567350919060800151783041656017303466797`20., 0.000415961640054765926285268440310005644278135150671005249`20.}}}
    
18. {19, {1.816453855004559839680951039272531060729528086971385450059`20., {0.42247295816403351559257136153875268697387506238875806248`20., 0.18989179074328984531477172266210982947255656942843838986`20., 0.111927059234808739752251372541603102491116157708105460325`20., 0.073785265896103834094312534895373106673541827053696931169`20., 0.051704298294947988869839971225151772823508179350646109822`20., 0.037619425635057387032231231574417062049485894469212951831`20., 0.028047870856859639408298536554329126888830185762811065202`20., 0.021247357945007086159356529534725431555480246326257550688`20., 0.01625443539383380786786371600017107828841262000159358816`20., 0.012495942630292194047290506842960207181699704272475991099`20., 0.00961134614263094417262617445273738457594152874933753527`20., 0.007363660627349016216948660031925334989023872563923409965`20., 0.005591476879002961488351779575002900365613045185228626769`20., 0.004181609219311432209226450363439542581819491699168279119`20., 0.003052758965987875136475694834992415344879593751986383354`20., 0.002145384202045833570928373352732550987014503690464309596`20., 0.00141524083388234618667053316771251382433569891983009931`20., 0.000829227746501317288885564014019838940293190465594432069`20., 0.000362890589054222784511260163421662976521154934796666391`20.}}}
    
19. {20, {1.826924498091927642093576356398442823165038942224983674207`20., {0.415576031908002014306093018141689168128404656055466407412`20., 0.188103012460182200814008226408766368810582470423598046713`20., 0.111583441519405554862050421587746890148106755156258789645`20., 0.074025065060584263127706388002248253843780206084323403119`20., 0.052211552346276731640109034613383565408333203672149070548`20., 0.038252122652155657373613876263641184620450004539253721006`20., 0.028734335834803848854122911806199036217469287727369748205`20., 0.021948736194715606894904707132481145489150377932284069936`20., 0.016948717639869554133671816569543383595255398212251236016`20., 0.013170361052296901670144504639914880101158962309635300387`20., 0.01025844657909728860858193143581808440351238618123146563`20., 0.007979141226015710189828359212438336190379524455445431504`20., 0.006172935092824999991702901617372201376373282999385564245`20., 0.00472777941510539297323442271550516759348583851343595664`20., 0.003563021780382986784853737839735777741392210330641959798`20., 0.002619421718134608688899329856400037764139695338928948491`20., 0.001852749744468087678211904033915795801183313820983787891`20., 0.001229594390473799809829134462215094834826902158202841812`20., 0.000724616311417964849193615536855971285271905821413866621`20., 0.000318917073786875174045697677949980009248623636879442515`20.}}}
    
20. {21, {1.836740886150759560390041500587597605867702822565942972162`20., {0.40913475138163831851546725692587236505142403870379009185`20., 0.186384359933161272272343630427822842122768870146022965715`20., 0.111211680773221503475949221061689752556585463980480638075`20., 0.074202773250566586583524986602632150234770678746449794738`20., 0.052645009436063969773570765517637612487719343577116641947`20., 0.038808618662607310670069040687094710541577918019484051922`20., 0.029346476159091092600783555715795076600062961008791526701`20., 0.022579714420620900572433602389694215588861350000389217068`20., 0.017577493234144202104486106712620902731084720870158092376`20., 0.013784586486709612124852110589626336469784504547044275602`20., 0.010850804807882372278040969515712929045467622075202960506`20., 0.008545326018119172667698614484532768538980555287148385104`20., 0.006710479195816450269233482771384964803665215617470914472`20., 0.005235343724184502579731117691453680047914205296184580519`20., 0.004039944186477655409546190219103658462935981571745289664`20., 0.003065413279973231338462177552714830469676438263098876236`20., 0.002267668382694157740580825140762318453081073527434036971`20., 0.001613241053182206092968015121985449721421219741423596442`20., 0.001076482452836986637614803715392538458419038065381451034`20., 0.000637708924655377502314987937623855667414388957227996836`20., 0.000282124236353118038362177415643606087755119815381400838`20.}}}
    
21. {22, {1.845971882880057478469531052167881671876242300377422079976`20., {0.403099739697631185194763443963691918383513840286281253042`20., 0.184732524346451072803725851393463149547870857888331717137`20., 0.110819178182615534405350344925066563301002267904286743148`20., 0.074328892278742727064018104975371694660520608899639313073`20., 0.053015771600328919179629998219796697745081749821862673867`20., 0.039299640582576822914966089729278056730169025494204193787`20., 0.029894238709700360864203334922034832821310133098254323219`20., 0.023149296171514720041053613979230051023610643092959477745`20., 0.01814876822106806610614679316817620511206273691855791662`20., 0.01434562292693252092647896442907070787344532753268503225`20., 0.011394438727084685655010562037492189037178119665984947308`20., 0.009067267614955664892636493031398575470235966239263290742`20., 0.007208212413909141012813820595173927197427943210402222718`20., 0.005707459033654054074087601894330127181122277885881097843`20., 0.004485717628551348601002080402610324961786339785727726664`20., 0.003484528702753665773301163242489256924418713263184514666`20., 0.002660021805755194158234969969596245759414849750305542301`20., 0.00197878600637888652807047965554674748901704241881139981`20., 0.001415079332422717449524820075698163198290352794112329781`20., 0.000948923034908130743355636980179360436976059869027348879`20., 0.000564825784631597436766832812078454838438345762684921661`20., 0.000251067197432961961724530073722584185690521069629274509`20.}}}
    
22. {23, {1.85467644053569975391285341653343983185854831024765675279`20., {0.397428858998965017779170239009545184671878814697265625`20., 0.183144118947281719922415277324034832417964935302734375`20., 0.1104116990028393974210274564029532484710216522216796875`20., 0.07441192730210278993840944394833059050142765045166015625`20., 0.053332958593836236882435031247950973920524120330810546875`20., 0.039734083638412819039498202755567035637795925140380859375`20., 0.03038593926806880396451759906994993798434734344482421875`20., 0.023665069856286517768761967772661591880023479461669921875`20., 0.018669350566075996328274655411405547056347131729125976562`20., 0.014859489170492658216549131111605674959719181060791015625`20., 0.011894588901625497562308808596753806341439485549926757812`20., 0.009549445896407899453395273781097785104066133499145507812`20., 0.007669870419663533597787186124605796067044138908386230469`20., 0.006147126736782899600330942746495566098019480705261230469`20., 0.004902607299165656455641748578955230186693370342254638672`20., 0.003878276079231984200396121664766724279616028070449829102`20., 0.003030508865112826327736783582622592803090810775756835938`20., 0.002326010355842510722579330462167490622960031032562255859`20., 0.00173904447787502592845387816566926630912348628044128418`20., 0.00124952315879507712750862147288444248260930180549621582`20., 0.000841680393821027036937998389021231560036540031433105469`20., 0.000503180510555056772353799132702079077716916799545288086`20., 0.00022464156075905448582859247341758646143716759979724884`20.}}}
    
23. {24, {1.862905376414277146066275693173944126787057898001116742863`20., {0.392085896669574155779395381524569189710872782764459031216`20., 0.181615788190981028264175892501114442577663865415088516261`20., 0.109993759429546085451158382108254849152704493502831522812`20., 0.074458820662819301893338397190163836517645125740805191908`20., 0.053604119666003885555692714757367045728020824660387500758`20., 0.04011937780485931910163602641516703376370999557069003685`20., 0.030828576269664442564413740340596307800160259392635147911`20., 0.024133468526975557806672269698677228030291966039838326375`20., 0.019145056809921728838798707976976088042586999931164525683`20., 0.015331373632913092586464512965976363845048927480816731739`20., 0.012355822377560906889687729305635945945541255076137414616`20., 0.009995820575934226388193035042591010698652995948619435351`20., 0.008098820594500093331347417617074776182554064978514878134`20., 0.006557133719929265271183843900671013508959132577697948616`20., 0.005292824847460578074993353986684783545012354514534603679`20., 0.004248286642608964262756811600971064074675801622739198828`20., 0.003380159030348121523375671756080260752355865965800908784`20., 0.00265529400109719717886086445754088307876009071348870578`20., 0.002048012580014393585682492784104292299833057196905389467`20., 0.001538203213135366753631487260971097230769917222489497218`20., 0.001109985634712236067881877311807395344052550818244304052`20., 0.000750771919751199978474541285148942567947155327363604404`20., 0.000450634771678175750336397616952764359021375510328198674`20., 0.000201992428010608507630786965322597585118133150138425551`20.}}}
    
24. {25, {1.870702773341467529912619845158460853055425396549641255271`20., {0.387039530857809010999659449225873686373233795166015625`20., 0.1801442739730635123063251512576243840157985687255859375`20., 0.1095689130723529192135146104192244820296764373779296875`20., 0.07447527964773102693296635834485641680657863616943359375`20., 0.053835548337585616140987809785656281746923923492431640625`20., 0.040461770936844089485706632558503770269453525543212890625`20., 0.031228076231252458599962906760083569679409265518188476562`20., 0.024559976228110954460381876174324133899062871932983398438`20., 0.019580879843165120007819623992872948292642831802368164062`20., 0.015765764561489599426824526062773657031357288360595703125`20., 0.012782126201118420086300098148512915940955281257629394531`20., 0.010409888323479643199021005273152695735916495323181152344`20., 0.00849808209688336646525641526750405319035053253173828125`20., 0.006940033231972191421488282969676220091059803962707519531`20., 0.005658465518863950612094004810614933376200497150421142578`20., 0.004596199504980000120901717508559158886782824993133544922`20., 0.003710148118964088498339393140668107662349939346313476562`20., 0.002967328515045709620007174933675742067862302064895629883`20., 0.002342147466903442710323135500516400497872382402420043945`20., 0.00181451487960886874255261869137711983057670295238494873`20., 0.001368510891427148325541485185397050372557714581489562988`20., 0.000991434630368253494436814321488782297819852828979492188`20., 0.000673128884031082112826549490591787616722285747528076172`20., 0.000405527539202508416522896528277897232328541576862335205`20., 0.000182450507747048524219424248116183662205003201961517334`20.}}}
    
25. {26, {1.87810709498335493197080993680710760794050514536708038509`20., {0.382262510959281487377126040883013047277927398681640625`20., 0.178726454912357668458611215100972913205623626708984375`20., 0.10913996575067196059816154729560366831719875335693359375`20., 0.07446602686228830092485253544509760104119777679443359375`20., 0.05403252547655891524502891343217925168573856353759765625`20., 0.040766549554180853132123729665181599557399749755859375`20., 0.0315894870274806838228442984473076649010181427001953125`20., 0.024949292565695824902549659896067169029265642166137695312`20., 0.01998112504088676855129591558579704724252223968505859375`20., 0.016166558506995557659147166873481182847172021865844726562`20., 0.013176988995166779433665382725848758127540349960327148438`20., 0.0107947379181329849995307768040220253169536590576171875`20., 0.008870354532301677127903438702105631818994879722595214844`20., 0.007298146209518553695350107091144309379160404205322265625`20., 0.006001480051080816668918060940995928831398487091064453125`20., 0.004923600069088643858827847310521974577568471431732177734`20., 0.004021695722958005571323614191214801394380629062652587891`20., 0.003262959430151878264386722250378625176381319761276245117`20., 0.002621900557145707532508138726257129746954888105392456055`20., 0.002078476060819080782626766534804119146429002285003662109`20., 0.001616765923703315050927176166339904739288613200187683105`20., 0.001224021537207746219283466260208115272689610719680786133`20., 0.000889977405432419970549018373162653006147593259811401367`20., 0.000606358700447573516038868302047148972633294761180877686`20., 0.000366554067313144750928782800158955978986341506242752075`20., 0.000165486163133607921092715908883974407217465341091156006`20.}}}
    
26. {27, {1.885152082350609981534914281560885153970068038887262354329`20., {0.377730998527805839071191940092830918729305267333984375`20., 0.177359366948065033664505563137936405837535858154296875`20., 0.1087091379076488839583447543191141448915004730224609375`20., 0.07443499347064641558091580009204335510730743408203125`20., 0.05419950896760113157046845344666508026421070098876953125`20., 0.04103821266734909711804135667989612556993961334228515625`20., 0.03191713158875837674788300546424579806625843048095703125`20., 0.025305465072038447332802846290178422350436449050903320312`20., 0.02034952139458978681574308211565949022769927978515625`20., 0.016537150785069735375865107585013902280479669570922851562`20., 0.013543471381395760094745739365862391423434019088745117188`20., 0.011153101114170069566022824858464446151629090309143066406`20., 0.009218049444818528226353038235174608416855335235595703125`20., 0.007633573120439452082408582356265469570644199848175048828`20., 0.006323665930437067685121466098507880815304815769195556641`20., 0.005231988746648864180288640568505798000842332839965820312`20., 0.004316007795210294491206060030208391253836452960968017578`20., 0.003543096202223084117272078330529438972007483243942260742`20., 0.002887876079009512632345124671928715542890131473541259766`20., 0.002330366866117452445683611017557268496602773666381835938`20., 0.001854671121326299711856711027735400421079248189926147461`20., 0.001448027173501513671649565395682657253928482532501220703`20., 0.001100118446451540639777211261218781146453693509101867676`20., 0.000802568150059878725362250140307196488720364868640899658`20., 0.000548575810158020461815286950013614841736853122711181641`20., 0.000332679019152457835714620237865801755106076598167419434`20., 0.000150676269307444297496437202177332892460981383919715881`20.}}}
    
27. {28, {1.89186748062635632116535311144896123611122893154315463968`20., {0.37342403498148926216509425385418652183091110019779583472`20., 0.176040212486003211809037351578774376225049990655062482153`20., 0.108278188746736774452802777242948950835358732793457884661`20., 0.074385469738961264063241342195153759559401988750544715241`20., 0.054340282954578183373080069655588054887342951507615061841`20., 0.041280609698220294356605401810252907689604190685850682857`20., 0.03221473084825927136770056457901487587647212272078510462`20., 0.025631996109684528063235306084266895090213428582002704758`20., 0.020689312366579550439642503946777194442438021061177590004`20., 0.016880510686731858408610221159452184096997628303207811032`20., 0.013884266051711750424273338946292960069345520437390986943`20., 0.011487398010503355749549146828428654247074596134797944243`20., 0.009543321247037659620713605139651011520502288630939244632`20., 0.007948210448503891004909360500139411600141911751324702456`20., 0.006626669043592982284634771548127971668335894062132588565`20., 0.005522766836452602577277645227672195293707826668528726256`20., 0.004594244968259526647753034564645970195510393470513487603`20., 0.003808659800277992742940946331161553552010484117681807326`20., 0.0031407523039402848851215083017777826349638659234586146`20., 0.002570614055252160411938762684943115511739736136567846426`20., 0.002082384122411556929777018828637518639967805670150514872`20., 0.00166330792456273301161512800783017351907122532179885136`20., 0.001303048374450304984478786413352817331597341200337680813`20., 0.00099317712152419747569755994531415321867665833722562352`20., 0.000726798723941202141397805299155192923400385671506243675`20., 0.000498279488116829189062987608849521226686316074942095234`20., 0.000303073102217659344680531032443455526969530848628847809`20., 0.000137679759999112243192635320989694554059605393364990743`20.}}}
    
28. {29, {1.898279633120605312716427169601859140379334140719070185528`20., {0.369323107300446762391032962113968096673488616943359375`20., 0.17476636189545546873347348082461394369602203369140625`20., 0.107848511847954353637391022857627831399440765380859375`20., 0.0743202233421268176893903500968008302152156829833984375`20., 0.0544580762933272455317279536757268942892551422119140625`20., 0.041497050807925227322581207545226789079606533050537109375`20., 0.032485502860714561557120561019473825581371784210205078125`20., 0.025931929807234847806807209735779906623065471649169921875`20., 0.02100333056440471801717961852773441933095455169677734375`20., 0.017199244176084062946108232949882221873849630355834960938`20., 0.014201748883559909414353583656520640943199396133422851562`20., 0.011799776955899083513701341985324688721448183059692382812`20., 0.00984809618612125792225242548738606274127960205078125`20., 0.008243768828347769125897137598713015904650092124938964844`20., 0.006911990861328360866155939845612010685727000236511230469`20., 0.005797232318228501962709131589690514374524354934692382812`20., 0.004857506056866496037260905183075010427273809909820556641`20., 0.004060552304009125423878145966227748431265354156494140625`20., 0.003381234448973101207325253625413097324781119823455810547`20., 0.00279972235303561911567982178894453682005405426025390625`20., 0.0023002005151613602595972452036221511662006378173828125`20., 0.001869933939304492965388648784141878422815352678298950195`20., 0.001498582902226577558482678576012858684407547116279602051`20., 0.001177694533393016133523967248208919045282527804374694824`20., 0.000900323025593838537246338393771338814985938370227813721`20., 0.000660746819307229515255697194220374512951821088790893555`20., 0.000454264398837794292941583140787997763254679739475250244`20., 0.000277066307744168222222669317744703221251256763935089111`20., 0.000126219466388257501015396355725783905654679983854293823`20.}}}
    
29. {30, {1.90441197022296431441740121096145516991533198194465789137`20., {0.365411791777236871769929393849452026188373565673828125`20., 0.1735353504007579872325806036315043456852436065673828125`20., 0.10742120947191478863569358281893073581159114837646484375`20., 0.07424159310493129437791282043690443970263004302978515625`20., 0.05455565728400701974720732323476113379001617431640625`20., 0.041690395769076328547075860342374653555452823638916015625`20., 0.03273224320268718068316360358949168585240840911865234375`20., 0.026207923117004948421193688545827171765267848968505859375`20., 0.02129405933623930435860671650516451336443424224853515625`20., 0.017495646219671472099133069377785432152450084686279296875`20., 0.014498022308558213000484471422169008292257785797119140625`20., 0.012092149265027213669854155853045085677877068519592285156`20., 0.010134098657237945728670780454194755293428897857666015625`20., 0.008521791105285926593015943808495649136602878570556640625`20., 0.007180998252247948292203982845194332185201346874237060547`20., 0.006056581235885224664960979623629100387915968894958496094`20., 0.005106820559404203277442668706953554647043347358703613281`20., 0.004299639681606589811102558940092421835288405418395996094`20., 0.003610026283146528913031714225212454039137810468673706055`20., 0.003018232428512881027754533036500106391031295061111450195`20., 0.002508493921485437962159981140075615257956087589263916016`20., 0.002068103472359771044519760607727221213281154632568359375`20., 0.001686729891585932563161098762805067963199689984321594238`20., 0.001355911671111970475192554097532138257520273327827453613`20., 0.001068676643187251897038070325152148143388330936431884766`20., 0.000819255018198315428969158435990038924501277506351470947`20., 0.000602864306775048337111444496372314461041241884231567383`20., 0.000415554274269262845058203748038749836268834769725799561`20., 0.000254112953783088880987950375356376753188669681549072266`20., 0.000116068386804084693855916576854525601447676308453083038`20.}}}

复制代码

1. Table[{n,
   
2.    t = FindMaximum[{Sum[GeometricMean[x /@ Range[i]], {i, n}],
   
3.       Total[x /@ Range[n]] == 1,
   
4.       Apply[And, GreaterEqual[#, 0] & /@ x /@ Range[n]]},
   
5.      x /@ Range[n], WorkingPrecision -> 20]; {t[[1]],
   
6.     t[[2, All, 2]]}}, {n, 2, 20}] // Column

复制代码

wayne

如果有谁觉得无聊的话，就查看附件吧，附件算到了 n=50，后面 就有点慢了，我也懒得算了。
从 最大值处各变量的取值来看，貌似都互不相等，这该如何是好呢，规律何在？

数学星空

其实极限值为e=2.718281828......

Lwins_G

18#的证明并不能说明极限值为e，但可说明极限值小等于e。

wayne

好吧，我今晚上挂一下电脑，算到n=100，看看是啥情况，