不等式问题二

mathe

将$x_k={(k-1)^{k-1}}/{k^k}$代入，相当于要证明
$lim_{n->infty}{x_1+x_2+...+x_n}/{1+1/2+...+1/n}=1/e$
也就是
$lim_{n->infty}{1+1/2*(1-1/2)^1+...+1/n*(1-1/n)^{n-1}}/{1+1/2+...+1/n}=1/e$
为此，只要证明
如果已知数列$a_n,b_n$满足，$lim_{n->infty}a_n=A$,$b_n>0$而且$\sum_{n=1}^{infty}b_n=infty$
那么必然有$lim_{n->infty} {\sum_{k=1}^n a_kb_k}/{\sum_{k=1}^n b_k}=A$
也就是极限收敛的数列前面n项用发散正项级数加权平均得到的数列必然收敛（而且收敛到同一个值）。
由此我们就非常容易计算出这个极限。只是由于这里级数$\sum_{n=1}^{infty}b_n$由于发散的很慢，导致最后加权平均的数列收敛很慢