不等式问题二

mathe

%3 = (n)->local(a,b);a=0.0;b=0.0;for(u=1,n-1,a=a+1/(n+1.0-u);b=b+(n-u+0.0)^(n-u+
0.0)/(n-u+1.0)^(n-u+1.0));a+=1.0;b+=1.0;a/b
(20:06) gp > f(100)
%4 = 1.930329779731200195890734206
(20:06) gp > f(200)
%5 = 1.997770624540578226727586728
(20:06) gp > f(1000)
%6 = 2.117905615587101838307341586
(20:07) gp > f(10000)
%7 = 2.233874816910083628358217518
(20:07) gp > f(100000)
%8 = 2.312345077169711854392582869
(20:07) gp > f(1000000)
%9 = 2.368940988555062201726014238
(20:07) gp > f(10000000)
%10 = 2.411687072955222409262417625

mathe

将$x_k={(k-1)^{k-1}}/{k^k}$代入，相当于要证明
$lim_{n->infty}{x_1+x_2+...+x_n}/{1+1/2+...+1/n}=1/e$
也就是
$lim_{n->infty}{1+1/2*(1-1/2)^1+...+1/n*(1-1/n)^{n-1}}/{1+1/2+...+1/n}=1/e$
为此，只要证明
如果已知数列$a_n,b_n$满足，$lim_{n->infty}a_n=A$,$b_n>0$而且$\sum_{n=1}^{infty}b_n=infty$
那么必然有$lim_{n->infty} {\sum_{k=1}^n a_kb_k}/{\sum_{k=1}^n b_k}=A$
也就是极限收敛的数列前面n项用发散正项级数加权平均得到的数列必然收敛（而且收敛到同一个值）。
由此我们就非常容易计算出这个极限。只是由于这里级数$\sum_{n=1}^{infty}b_n$由于发散的很慢，导致最后加权平均的数列收敛很慢