不等式问题二

wayne

wayne 发表于 2013-11-2 00:03
好吧，我今晚上挂一下电脑，算到n=100，看看是啥情况，

已经大于2了

{51,1.9928521397827129310}

{52,1.9958351309023517591}

{53,1.9987449364218445775}

{54,2.0015846921864130434}

{55,2.0043573447935326834}

{56,2.0070656661963260274}

{57,2.0097122669436251641}

{58,2.0122996082052667326}

{59,2.0148300127127469052}

{60,2.0173056747295046183}

{61,2.0197286691513777298}

{62,2.0221009598259167611}

{63,2.0244244071689323457}

{64,2.0267007751476905148}

{65,2.0289317376923531774}

{66,2.0311188845904255373}

{67,2.0332637269129942337}

{68,2.0353677020162840477}

{69,2.0374321781574433979}

{70,2.0394584587594005187}

{71,2.0414477863560391316}

{72,2.0434013462457613499}

{73,2.0453202698786986025}

{74,2.0472056380003217032}

{75,2.0490584835719882683}

{76,2.0508797944869828922}

{77,2.0526705160988421951}

{78,2.0544315535771808320}

{79,2.0561637741048223711}

{80,2.0578680089287789114}

{81,2.0595450552764856182}

{82,2.0611956781476801175}

{83,2.0628206119913993975}

{84,2.0644205622767405510}

{85,2.0659962069652897584}

{86,2.0675481978924426173}

{87,2.0690771620642453499}

{88,2.0705837028758177753}

{89,2.0720684012569362101}

{90,2.0735318167498845286}

{91,2.0749744885242896870}

{92,2.0763969363332621974}

{93,2.0777996614148364560}

{94,2.0791831473423910277}

{95,2.0805478608274409523}

{96,2.0818942524779398290}

{97,2.0832227575149920121}

{98,2.0845337964506570019}

{99,2.0858277757293306155}

{100,2.0871050883350067723}

{101,2.0883661143665519633}

{102,2.0896112215829792244}

{103,2.0908407659205630367}

{104,2.0920550919834976632}

{105,2.0932545335097070016}

{106,2.0944394138132730630}

{107,2.0956100462048755753}

{108,2.0967667343915203173}

{109,2.0979097728567665451}

{110,2.0990394472225656706}

{111,2.1001560345937639006}

{112,2.1012598038862453546}

{113,2.1023510161396303140}

mathe

极限e可以取到，只是收敛很慢，只要将x_k=k^k/(k-1)^(k-1)代入求极限即可

数学星空

wayne

跑了一晚上，才算到n=113, 最大值是 2.1023510161396303140，已经在21#更新。

服了，进展这么慢， 严重怀疑电脑是不是中间偷懒了。

数学星空

关于8#的代数方程，对于n取无限大时，其最大实根为e.
我们能否给出更深入的解析？？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

mathe

还是二分法有效:
(19:38) gp > fun(n,x)={local(r);r=x^2-x;for(u=2,n-1,r=(r^(1/u)-1/u)^u*x);r-(1.>
%4 = (n,x)->local(r);r=x^2-x;for(u=2,n-1,r=(r^(1/u)-1/u)^u*x);r-(1.0/n)^n

(19:38) gp > a=1.5;for(n=6,200,a=solve(x=a,3,fun(n,x));print(n","a))

6,1.537937556520034931368158716
7,1.580037210632052352084063498
8,1.615322399702515414571589177
9,1.645509522965485063408955838
10,1.671759811774626901602312452
11,1.694891444795200282321980567
12,1.715500222983459756054139338
13,1.734032030557952119338910722
14,1.750828324772831536485461427
15,1.766155779584582930147579440
16,1.780226226567134038001023291
17,1.793210441089007958339428106
18,1.805247903240567900142623098
19,1.816453855004559862944339121
20,1.826924498091927553708725952
21,1.836740886150759561779858064
22,1.845971882880057519628137861
23,1.854676440535699743980813655
24,1.862905376414277273963333819
25,1.870702773341467474116101229
26,1.878107094983355014759335230
27,1.885152082350610004170771359
28,1.891867480626356320847944660
29,1.898279633120605265021646598
30,1.904411970222964248100915946
31,1.910285414676811179467938223
32,1.915918719642781415695758923
33,1.921328752381921281807674228
34,1.926530733637251527316612455
35,1.931538440692086663685561258
36,1.936364380466499144247710006
37,1.941019937758578158555398596
38,1.945515502756148775327193447
39,1.949860581172226451226673562
40,1.954063889745261796480795448
41,1.958133439356897111671799183
42,1.962076607628107206003488669
43,1.965900202538383003864284609
44,1.969610518356061725664974052
45,1.973213384958688435198008133
46,1.976714211450843454008970325
47,1.980118024845716320869703526
48,1.983429504459979688798268911
49,1.986653012574579089485172776
50,1.989792621833224931799752917
51,1.992852139782712931444631614
52,1.995835130902351868128828393
53,1.998744936421844579040535983
54,2.001584692186413043884689086
55,2.004357344793532707824026707
56,2.007065666196325964322589233
57,2.009712266943625310985471438
58,2.012299608205266733864713181
59,2.014830012712746902913035837
60,2.017305674729504619251701435
61,2.019728669151377770004810045
62,2.022100959825916770420649792
63,2.024424407168932250339649877
64,2.026700775147690513116917266
65,2.028931737692353177688555584
66,2.031118884590425505674131635
67,2.033263726912994231623415389
68,2.035367702016284047092992298
69,2.037432178157443399258517669
70,2.039458458759400676479646359
71,2.041447786356039133981687647
72,2.043401346245761349571985288
73,2.045320269878698599516629232
74,2.047205638000321703141044744
75,2.049058483571988269159318667
76,2.050879794486982894117808890
77,2.052670516098842275229404726
78,2.054431553577180861784196515
79,2.056163774104822372969043732
80,2.057868008928778911353293667
81,2.059545055276485620708671614
82,2.061195678147680118538431694
83,2.062820611991399356494691415
84,2.064420562276740791899446196
85,2.065996206965289832978976557
86,2.067548197892442686205566642
87,2.069077162064245262806769135
88,2.070583702875817875310798859
89,2.072068401256936046783923296
90,2.073531816749884529169185690
91,2.074974488524289852023992209
92,2.076396936333262198867748896
93,2.077799661414836401305598976
94,2.079183147342391027098937767
95,2.080547860827440954555310299
96,2.081894252477939827711040639
97,2.083222757514992011858160537
98,2.084533796450657002975139015
99,2.085827775729330793925452939
100,2.087105088335006766717763865
101,2.088366114366551739057379173
102,2.089611221582979474531183247
103,2.090840765920563036058221539
104,2.092055091983497711087085267
105,2.093254533509706862995520302
106,2.094439413813273062336522684
107,2.095610046204875407271634997
108,2.096766734391520316091188910
109,2.097909772856766597451226531
110,2.099039447222565669919300823
111,2.100156034593763862029964245
112,2.101259803886245278374489254
113,2.102351016139630312936904886
114,2.103429924815386115641131424
115,2.104496776081150796603903026
116,2.105551809082022543005425007
117,2.106595256199517814070398588
118,2.107627343298859085943555715
119,2.108648289965211980469996422
120,2.109658309729453792623218197
121,2.110657610284020213391261476
122,2.111646393689344229538966507
123,2.112624856571370586701929955
124,2.113593190310600660786633389
125,2.114551581223095941490538853
126,2.115500210733843450303654429
127,2.116439255542863164427052793
128,2.117368887784415778880770992
129,2.118289275179648802414380676
130,2.119200581182999948095650429
131,2.120102965122658953979908390
132,2.120996582335372267645202971
133,2.121881584295859371835908683
134,2.122758118741094844279076912
135,2.123626329789696465772838943

mathe

(19:38) gp > solve(x=2.1237,3, fun(136,x))
%5 = 2.124486358056646754841037052
(19:41) gp > a=%6;for(n=137,200,a=solve(x=a,3,fun(n,x));print(n","a))
137,2.125338340763563157225443273
138,2.126182411844720701161141399
139,2.127018702049020195609207604
140,2.127847339038084952884746792
141,2.128668447480659517231332456
142,2.129482149143474937735592508
143,2.130288562978736701252787437
144,2.131087805208383505032440982
145,2.131879989405257568197904555
146,2.132665226571320127063409642
147,2.133443625213039104427229907
148,2.134215291414069662306618244
149,2.134980328905342417668491475
150,2.135738839132668499759842590
151,2.136490921321965335344330728
152,2.137236672542202045576498520
153,2.137976187766158607739881152
154,2.138709559929088460170495226
155,2.139436879985369994010282574
156,2.140158236963228366630732883
157,2.140873718017605275223693696
158,2.141583408481250732639102385
159,2.142287391914107479336676398
160,2.142985750151055434345343086
161,2.143678563348080524128292555
162,2.144365910026929321624815515
163,2.145047867118308169482841752
164,2.145724510003682843175090006
165,2.146395912555732323401336230
166,2.147062147177507885505468671
167,2.147723284840346469622961606
168,2.148379395120585162393786211
169,2.149030546235121593197957693
170,2.149676805075863119238453830
171,2.150318237243105838999237330
172,2.150954907077882727559344697
173,2.151586877693318525165654867
174,2.152214211005027427858880427
175,2.152836967760588121576708094
176,2.153455207568129265040276684
177,2.154068988924057158113110337
178,2.154678369239956027670598690
179,2.155283404868690119002332529
180,2.155884151129735594249263021
181,2.156480662333769107392007166
182,2.157072991806538845062837401
183,2.157661191912042791316659229
184,2.158245314075037989978117896
185,2.158825408802903637934187319
186,2.159401525706879944545820141
187,2.159973713522703834112558827
188,2.160542020130661748059574980
189,2.161106492575079019354744199
190,2.161667177083264541833132491
191,2.162224119083928739932422421
192,2.162777363225092158240152880
193,2.163326953391501333721768436
194,2.163872932721567985116780235
195,2.164415343623846952413428340
196,2.164954227793067743265549692
197,2.165489626225733991491116323
198,2.166021579235304604245291319
199,2.166550126466969868006406507
200,2.167075306912035298121560841

mathe

很奇怪有时候对于一些特殊初始值无效，所以只能试验
512,2.254152618062656207882699922

mathe

在到后面其实会发现在很大范围内都会有方程两边几乎相当，所以也就是说计算误差会很大。
比如:
%11 = (n,x)->local(r);r=x^2-x;for(u=2,n-1,r=(r^(1/u)-1/u)^u*x);r-(1.0/n)^n
(20:15) gp > fun(113,2.1)
%12 = -1.004919989504719717649363397 E-232 - 6.127701108020318780435264871 E-238
*I
(20:15) gp > fun(113,2.10)
%13 = -1.004919989504719717649363397 E-232 - 6.127701108020318780435264871 E-238
*I
(20:15) gp > fun(113,2.11)
%14 = 3.400846040013360380118723613 E-136
(20:15) gp > fun(113,2.2)
%15 = 3.202721099409624835220983203 E-41
(20:16) gp > fun(113,2.3)
%16 = 3.988516868389591571326476691 E-19
不过从另外一个角度，我们可以将$x_t={(t-1)^(t-1)}/{t^t}$代入，计算出k的下界，那么结果会如何呢？

mathe

%3 = (n)->local(a,b);a=0.0;b=0.0;for(u=1,n-1,a=a+1/(n+1.0-u);b=b+(n-u+0.0)^(n-u+
0.0)/(n-u+1.0)^(n-u+1.0));a+=1.0;b+=1.0;a/b
(20:06) gp > f(100)
%4 = 1.930329779731200195890734206
(20:06) gp > f(200)
%5 = 1.997770624540578226727586728
(20:06) gp > f(1000)
%6 = 2.117905615587101838307341586
(20:07) gp > f(10000)
%7 = 2.233874816910083628358217518
(20:07) gp > f(100000)
%8 = 2.312345077169711854392582869
(20:07) gp > f(1000000)
%9 = 2.368940988555062201726014238
(20:07) gp > f(10000000)
%10 = 2.411687072955222409262417625