扑克问题

倪举鹏

wayne 发表于 2014-1-5 11:23
是三个边长吗?
本质上就是 积分算面积................

是，三个可以构成三角形的随机数。构成的三角形是钝角三角形的概率。其实可以将三个点随机放在圆圈上，3个点落在直径的一边的概率

wayne

既然是求概率,那么边长的绝对值毫无意义,不妨约定其中一个边为1,  用Mathematica秒杀之:
s=

1. Integrate[If[(1+a>b)&&(1+b>a)&&(a+b>1),1,0],{a,0,n},{b,0,n},Assumptions->n>1]

复制代码

p=

1. Integrate[If[(1+a>b)&&(1+b>a)&&(a+b>1)&&(a^2+b^2<1||a^2+1<b^2||1+b^2<a^2),1,0],{a,0,n},{b,0,n},Assumptions->n>1]

复制代码

比值就是:

$\frac{4 n(\sqrt{n^2-1}-n+2) -4 \log(\sqrt{n^2-1}+n)+\pi -6}{2 (4 n-3)}$
n趋于无穷,极限值为1.

倪举鹏

wayne 发表于 2014-1-4 22:41
并不难算.方法跟3# 完全相同:
按照湖北斗地主 选取癞子的规则就是 底牌三张牌中 第二张牌的下一个点数 ...

看懂上面的母函数了，还有个问题看可不可以母函数：圆环上面均匀的m个点，取n个点出来依次连接成为n边形，问可以连出多少个不同形状的n边形出来（旋转翻转可以重叠的算一种）  例如4个点在圆环上，只有一种三角形

倪举鹏

wayne 发表于 2014-1-5 11:53
既然是求概率,那么边长的绝对值毫无意义,不妨约定其中一个边为1,  用Mathematica秒杀之:
s=

假如有三个点随便洒落在平面里，连接三个点成为三角形。这个三角形要么是钝角三角形要么是锐角三角形，是直角三角形概率当然是0.  是钝角三角形概率不会是1吧？

Lwins_G

倪举鹏 发表于 2014-1-5 12:51
看懂上面的母函数了，还有个问题看可不可以母函数：圆环上面均匀的m个点，取n个点出来依次连接成为n边 ...

Burnside引理。http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma

作为示范，我仅给出在旋转意义下不同的方案个数。（即，不考虑翻转）计其为$A(m,n)$，那么根据Burnside引理我们有：

$$ A(m,n) = \frac{1}{m} \sum_{j \in \{1, 2, \cdots, m\}, \ (j, m) | n} \binom{m/(j,m)}{n/(j,m)} = \frac{1}{m} \sum_{d | (m,n)} \phi(\frac{m}{d}) \binom{m/d}{n/d}. $$

倪举鹏

Lwins_G 发表于 2014-1-5 13:24
Burnside引理。http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma

作为示范，我仅给出在旋转意义下 ...

剩下就是非轴对称形状种数除以2了

wayne

倪举鹏 发表于 2014-1-5 13:01
假如有三个点随便洒落在平面里，连接三个点成为三角形。这个三角形要么是钝角三角形要么是锐角三角形，是 ...

这个问题跟随机生成三个数作为三角形的三边是不一样的.

但你给的问题仍然太随便了.是在什么样的平面内随机取三点呢?

若是有限平面的话,计算的复杂度大大的增加了.
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刚才我用软件算了下 有限平面是正方形的情况, 发现积分收敛超级慢, 一个粗略的结果就是 0.7245056502235079

wayne

倪举鹏 发表于 2014-1-5 13:01
假如有三个点随便洒落在平面里，连接三个点成为三角形。这个三角形要么是钝角三角形要么是锐角三角形，是 ...

目测是$ 97/150 + \pi/40$
但不是我算的.

特另开一个主题:

求单位正方形内随机三角形是钝角三角形的概率

倪举鹏

wayne 发表于 2014-1-5 17:57
这个问题跟随机生成三个数作为三角形的三边是不一样的.

但你给的问题仍然太随便了.是在什么样的平面 ...

无限的平面啊   坐标轴平面里   没有边界

wayne

倪举鹏 发表于 2014-1-5 19:53
无限的平面啊   坐标轴平面里   没有边界

没有边界的情况下，必须明确指出点的分布，因为此时不存在一个让点落在无限大平面上各处概率皆相等的分布。

够专业!
这个时候 概率密度函数 求和就不收敛了,对吧.