普西函数的两大公式变换问题

zuijianqiugen

（1）普西函数的高斯积分公式与狄利克莱积分公式，参见（高等数学）特殊函数（第4页）http://www.doc88.com/p-80722308331.html
（2）由于书写的限制，不知版主能否将此公式粘贴在本帖上？
（3）我的问题是：如何将”狄利克莱积分公式“\(Psi(z)=\int_0^\oo \frac{1}{t\rm e^t}-\frac{1}{t(1+t)^z}\dif t\)变换成”高斯积分公式\(\Psi(x)=\int_0^{\infty}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt\)“？（悬赏十个金币）


高斯积分公式：ψ(z)=∫(0,∞){1/(te^t)-1/[(1-e^-t)e^tz]}dt（Rez＞0）


狄利克莱积分公式：ψ(z)=∫(0,∞)[e^-t-(1+t)^-z]t^-1dt（Rez＞0）

mathe

你说的浦西函数别人会很难看懂，更常见的说法是Digamma函数就是Gamma函数的对数求导
http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
\[\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln(\Gamma(x))=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]
不过你另外说的狄利克莱积分和高斯积分公式是什么呢？

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-6-1 14:51
你说的浦西函数别人会很难看懂，更常见的说法是Digamma函数就是Gamma函数的对数求导
http://en.wikipedia. ...

mathe版主现在使用的是电脑，能否将”普西函数的高斯积分公式与狄利克莱积分公式“粘贴在本帖上？

mathe

维基百科上仅给出了digamma函数两个积分形式
\[\psi(x)=\int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}}\right)\dif t\]
和
\[\psi(s+1)=-\gamma+\int_0^1\frac{1-x^s}{1-x}\dif x\]
和楼主的问题有关系吗

kastin

mathe 发表于 2014-6-1 14:51
你说的浦西函数别人会很难看懂，更常见的说法是Digamma函数就是Gamma函数的对数求导
http://en.wikipedia. ...

证明过程：
令`x=\rm e^t-1`，`\Delta=\rm e^{\delta}-1`

mathe

直接推导估计会有点困难，但是由于$\Gamma$函数是解析函数，所以digamma函数也是解析函数，通过分析其零点和极点会更加容易一些，这些需要复变函数的知识。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-6-1 15:08
维基百科上仅给出了digamma函数两个积分形式
\[\psi(x)=\int_0^{\infty}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}} ...

（1）对不起！刚才有点事，回复晚了，望谅解！
（2）你粘贴的两个公式都是“高斯积分公式”；
（3）参见（高等数学）特殊函数（第4页）http://www.doc88.com/p-80722308331.html

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-6-1 15:09
证明过程：
令`x=\rm e^t-1`，`\Delta=\rm e^{\delta}-1`

此法证明是有问题的。仿照此法，请看下面的证明：

      A=∫(0,∞)[t^a/(e^t+1)]dt  （0＞a＞-1，该积分收敛）

        =(ε→+0)∫(ε,∞)[t^a/(e^t+1)]dt

        =(ε→+0)∫(ε,∞)[t^a/(e^t-1)]dt-(ε→+0)∫(ε,∞)[2t^a/(e^2t-1)]dt

在第一个积分中，令t=x； 在第二个积分中，令2t=x。即得

       A=(1-2^-a)(ε→+0)∫(ε,∞)[x^a/(e^x-1)]dx

       =(1-2^-a)∫(0,∞)[x^a/(e^x-1)]dx（0＞a＞-1，该积分发散）

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-6-1 15:12
直接推导估计会有点困难，但是由于$\Gamma$函数是解析函数，所以digamma函数也是解析函数，通过分析其零点 ...

只有先证明∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx=0，才能解决普西函数的两大公式变换问题，参见http://bbs.emath.ac.cn/thread-5575-1-1.html

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-6-1 15:08
维基百科上仅给出了digamma函数两个积分形式
\[\psi(x)=\int_0^{\infty}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}} ...

大家想一想：

（1）凡是由“高斯积分公式”直接变换出来的其它积分表达式，都属于“高斯类型的积分公式”；


（2）凡是由“狄利克莱积分公式”直接变换出来的其它积分表达式，都属于“狄利克莱类型的积分公式”；


（3）若“高斯积分公式”与“狄利克莱积分公式”之间能进行直接变换，那数学家分别取名“高斯积分公式”与“狄利克莱积分公式”有何意义？