一个广义定积分的求值证明

wayne

（一）一个广义定积分的值：

          A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx=0  （若用原函数求之，为不定型）

(我在原先的帖子22楼 已经用非常简单的方法阐述了问题的本质，这个积分是不存在的，其值依赖于上下限的关系, 或者说，这是二重极限，极限值是路径相关的。既然楼主无视这种方法，用晦涩的公式去推导，那我们奉陪到底)

（二）普西函数的狄利克莱公式：

          ψ(z)=∫(0,∞)[x^-1e^-x-x^-1(1+x)^-z]dx（ReZ＞0）(查了资料，没问题)

令z=1得

         欧拉常数γ=-ψ(1)=(-1)∫(0,∞)[x^-1e^-x-x^-1(1+x)^-1]dx(查了资料，没问题)
            
                        =∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx+∫(0,∞)[x^-1(1+x)^-1-(2x)^-1]dx (∞ +(-∞), ???，行，让我们走走看  )

                        
                        =γ+∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx   (出问题了，明明两个都是发散的，楼主却把第一个捣鼓成一个常数,发现楼主在下文单独拿出来证明，那我们继续走走看)

所以     A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx=0        得证(这结论下的太早了)

（三）欧拉常数γ=∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx的证明：（Γ函数证法）

         （1）  (ε→+0)[Γ(ε)-1/ε]=-γ、     (ε→+0)[Γ(-ε)+1/ε]=-γ (在0处是解析的，没问题)

         （2）  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=-2γ (没问题)

         （3）  (ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)x^ε-1e^-xdx+∫(0,∞)x^-ε-1(e^-x-1)dx] (1/ε抹掉就不解析了，他偷偷抹掉了,生生的让表达式在不解析的地方取极限,)

        
                                                 =∫(0,∞)(2x^-1e^-x-x^-1)dx ( ???  )

                                                 =-2γ

         （4）  γ=∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx


注：  ①还有“黎曼ζ函数证法”，参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 240622013921109818/

         ②用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。

         ③特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 09:11

“1/ε抹掉”？是何意？作为好友，望解释一下！

wayne

“1/ε抹掉”？是何意？作为好友，望解释一下！

抱歉，我的措辞有点模糊，既然你已经看完了，那我就不在原文改了，直接新开一贴。
(三)(3)第一行 等号左侧在0处是解析的，但在等号右侧，分别用定义式来代换是有问题的，因为各自的定义式都是在0处不解析的。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 09:32
抱歉，我的措辞有点模糊，既然你已经看完了，那我就不在原文改了，直接新开一贴。
(三)(3)第一行 等号左 ...

我的导师讲了，下面的两个广义积分属于“不定型广义积分”，其计算方法很简单：

（1）  A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx

             =∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx+∫(1,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx

将第二项积分取倒元变换得

           A=∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx-∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx
            
             =0

（2）  γ=∫(0,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx

            =∫(0,1)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx+∫(1,∞)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx

将第二项积分取倒元变换得

          γ=∫(0,1)[(2x)^-1-x^-1e^-x]dx+∫(0,1)[(2x)^-1-x^-1e^-1/x]dx

            =∫(0,1)(1-e^-x-e^-1/x)x^-1dx=欧拉常数γ

在《数学手册》的定积分表中，都有这个欧拉常数公式。参见http://wenku.baidu.com/view/ece5aed0360cba1aa811da9f.html?pn=201(226页)

wayne

这个是反常积分。当积分不存在的时候，是不能随随便便做 t-> 1/t的变换的,因为没有数学理论保证其正确性.  这个时候得老老实实回归到反常积分的定义，用极限来做。

反常积分的严格数学定义是： \(\displaystyle \int_a^{\infty}f(x)dx =\lim_{b\rightarrow \infty}\int_a^bf(x)dx\)

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/反常积分

定义是源自极限而来的。当极限不存在的时候，这个倒数变换就变的毫无意义了。

wayne

你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以积分\(\int_0^{\infty}f(x) dx \)存在瑕疵点x=0。对于无穷和瑕疵，在没有证明积分之存在性之前，我们都只能用取极限的方式处理，即： \[\int_0^{\infty}f(x) dx = \lim_{a\rightarrow 0,b\rightarrow \infty}\int_a^{b}f(x) dx=  \lim_{a\rightarrow 0,b\rightarrow \infty}\int_a^{b}\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x} dx \]

这个时候，对这种极限式子，你是可以用各种变量代换的，倒数变换当然欢迎了，你试试吧！

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 22:40
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以 ...

针对你提出的有关问题，李老师给我们几个硕士生在课堂上连续讲解了两个小时，并且还讲解了普西函数两大公式的变换方法。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 22:40
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以 ...

我的老师讲了，你在22#楼中的结论非常正确。本人特在该帖子中给予支持和嘉奖。

zuijianqiugen

zuijianqiugen 发表于 2014-6-2 23:30
我的老师讲了，你在22#楼中的结论非常正确。本人特在该帖子中给予支持和嘉奖。

就是有一个问题你理解错了。积分的发散分为“定发散(积分值为∞)"和“不定发散(积分值不固定)”两大类。22#的积分是“不定发散”类，而你理解成了“定发散”。

wayne

zuijianqiugen 发表于 2014-6-2 23:39
就是有一个问题你理解错了。积分的发散分为“定发散(积分值为∞)"和“不定发散(积分值不固定)”两大类。2 ...

不行啊，你的思路还是没跟上我们的拍子啊。

1）我在那个主题的22#的推导怎么就被你解读成“定发散” 呢？你要不要再看一遍？
2）我在那个主题的24#的帖子，还有与kastin的对话，你是不是没看懂意思呢？
     24#我发的帖子目的是为了特地澄清“定”和“不定”不是一码事，kastin则 立马补充说 不管定还是不定，统统都归为发散。
3） “定发散”和“不定发散” 没有这个术语吧，最好以后别再叫了，仅限内部交流。
4） 好心叫你加入我们的QQ群，你不加，我和kastin早就把这题目榨的一点营养都没有了！后面跟你纠缠那么多，主要是想直接分析你的思路，从而彻底结束你的敌对状态。