一个广义定积分的求值证明

zuijianqiugen

zuijianqiugen 发表于 2014-6-2 23:39
就是有一个问题你理解错了。积分的发散分为“定发散(积分值为∞)"和“不定发散(积分值不固定)”两大类。2 ...

“不定发散”类的广义积分，其中有一类，称为“不定型广义定积分”，22#的积分就是此类，这类积分就像六种不定型“0/0、∞/∞、0×∞、0⁰、1^∞、∞-∞”一样，在具体运算中就有可能存在确定的值。并且在傅立叶积分变换中就有这样的例子：一个广义积分在通常情况下“不定发散”，而通过傅立叶积分变换就可求出其积分值。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-3 00:05
不行啊，你的思路还是没跟上我们的拍子啊。

1）我在那个主题的22#的推导怎么就被你解读成“定发散” ...

看来我没把话说明白：我的老师讲了，你在《求广义定积分》22#帖子的推导非常正确；只是你在《一个广义定积分的求值证明》11#帖子里，把该积分理解成了∞，这是不正确的。

Lwins_G

zuijianqiugen 发表于 2014-6-3 00:11
“不定发散”类的广义积分，其中有一类，称为“不定型广义定积分”，22#的积分就是此类，这类积分就像六 ...

这也是在把函数经过测函数的辅助推广成广义函数才得到的结果，并不是随意指定上下界的变化方式就可得到，不可混为一谈。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-3 00:05
不行啊，你的思路还是没跟上我们的拍子啊。

1）我在那个主题的22#的推导怎么就被你解读成“定发散” ...

我的老师还讲了，kastin的幂级数解法是错误的，因为幂级数是有收敛半径的。除非是整函数，才可以用幂级数求积分。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-2 22:40
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以 ...

我的老师讲了，“倒元”不是他自己发明的新词。在国外的一些数学专著中，就有“倒数”和“倒元”两个概念。

wayne

（1）  A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx

             =∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx+∫(1,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx

将第二项积分取倒元变换得

           A=∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx-∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx

zuijianqiugen
“倒元变换”这可是我的老师讲的：“1/常量”叫倒数，“1/变量”叫倒元。  发表于 11 小时前
wayne
既然知道，那你还在14# 瞎贴什么“倒元变换”,扰乱视听，多看看书吧。 -_-  发表于 昨天 23:33
zuijianqiugen
我的老师也是这样讲的。  发表于 昨天 23:18  删除

你的理解力是不是有问题啊，我这句话的意思是，你的老师既然也这么讲，那你干嘛在你老师“这么讲”之后 还发 这个错误的“倒元变换” ？
你这样会让我误以为你征询你老师之后，你老师用倒元变换得出这个发散积分的结果为0

真够乱的。

wayne

看来，最近纠缠那么多，你的症结浮出水面了。

我原先 是把你想象成 那种基础不扎实，却还对我们忠言逆耳的帮助持敌对姿态的那种类似于民科的人。
现在，我觉得 根本原因 是你跟人沟通存在问题，理解能力让人捉急(当然，这又跟理论基础有一定的关系)。

可你又对数学感兴趣，这点我不否认。
要知道，优秀的理解能力洞察力，保持话题的中心不转移，是一个科研工作者的一个基本的优良素质。
你这样话题分散，东一榔锤，西一棒子，没有完整清晰的思维流动，是一个硕士不应该有的。

zuijianqiugen

Lwins_G 发表于 2014-6-3 01:30
这也是在把函数经过测函数的辅助推广成广义函数才得到的结果，并不是随意指定上下界的变化方式就可得到， ...

我觉得mathe版主才是我心目中的大神。虽然我所学的专业没有《射影几何》这门课程，但mathe版主的射影几何理论，令我觉得mathe版主特别高大。

zuijianqiugen

wayne 发表于 2014-6-3 00:05
不行啊，你的思路还是没跟上我们的拍子啊。

1）我在那个主题的22#的推导怎么就被你解读成“定发散” ...

你说的意思我明白：

（1）本帖子的积分在通常情况下是发散的，就像 0⁰ 无意义一个样；


（2）我的老师是这样讲的：此类“不定发散”积分(严格的讲，是“不定型广义积分”)在有些数学理论中必须按“收敛”处理，就象(x→+0)x^x=0⁰=1 一个样。

即在解决普西函数两大公式的变换问题时，本帖子的积分=0。


（3）认为本帖子的积分=∞，是完全错误的。

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-6-3 14:26
你说的意思我明白：

（1）本帖子的积分在通常情况下是发散的，就像 0 无意义一个样；

既然你知道`\D\lim_{x\to0^+}x^x=1`，那么显然有`\D\lim_{x\to0^+}x\ln x=0`
即
$$\begin{equation}\tag{1}\lim_{x\to0^+}\frac{x}{\frac{1}{\ln x}}=0\end{equation}$$
或者
$$\begin{equation}\tag{2}\lim_{x\to 0+}\frac{\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=0\end{equation}$$
`(2)`式亦可写作
$$\begin{equation}\tag{3}\lim_{x\to +\oo}\frac{\ln x}{x}=0 \end{equation}$$
上面的`(1)`和`(3)`是互为对偶的（零点和无穷远点处的结果），各自阐述了一个关于阶的信息：
(1)式说明了，`x\to 0^+`时，`x`是`1/\ln x`的高阶无穷小，也就是说，x接近0的速度比1/ln(x)接近要快得多。
(3)式说明了，`x\to +\oo`时，`x`是`\ln x`的高阶无穷大（注意这里的顺序），也就是说，x接近+∞的速度比ln(x)要快得多。

因此，在你的倒元代换中，积分上下限`\varepsilon`到`1/\varepsilon`为何不换为`\varepsilon`到`\ln(1/\varepsilon)`或者`-1/\ln(\varepsilon)`到`1/\varepsilon`呢？显然这样替换之后，积分结果就不是0了。你之所以不这样做，难道是因为你知道上述`(1)\sim (3)`的结论，从而有意回避之？