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[讨论] 四面体中费马点计算

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发表于 2014-8-24 11:58:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于四面体\(D-ABC\)内的一点\(P\),成立\(\min\{|PA|+|PB|+|PC|+|PD|\}=|FA|+|FB|+|FC|+|FD|\),\(F\)点即为四面体费马点。

我们要讨论的就是如何得到\(|FA|=x,|FB|=y,|FC|=z,|FD|=w\)的显式计算式?

设四面体\(D-ABC\)各边长\(BC,AC,AB,AD,BD,CD\)为\(a,b,c,a_1,b_1,c_1\)

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 楼主| 发表于 2014-8-24 12:07:05 | 显示全部楼层
A. 对于四面体\(D-ABC\)的费马点\(F\),有\[\angle BFC=\angle AFD=\alpha,\angle AFC=\angle BFD=\beta,\angle AFB=\angle CFD=\gamma\]并且每对相等的角被两者所在平面的交线平分。即:
\[\left\{\begin{split}\frac{y^2+z^2-a^2}{2yz}=\frac{x^2+w^2-a_1^2}{2xw}=\cos(\alpha)\\ \frac{x^2+z^2-b^2}{2xz}=\frac{y^2+w^2-b_1^2}{2yw}=\cos(\beta)\\ \frac{x^2+y^2-c^2}{2xy}=\frac{z^2+w^2-c_1^2}{2zw}=\cos(\gamma)\end{split}\right.\]

点评

费马点问题还可以推广到高维空间中。是否可以类比三角形的费马点——以三角形ABC的每一条边为底边向外作正三角形,这三个正三角形的外接圆会有一个共同的交点?  发表于 2014-8-24 12:23
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 楼主| 发表于 2014-8-24 12:18:54 | 显示全部楼层
B, 对于空间四面体\(D-ABC\)及点\(F\)有 Cayley-Menger Determinant  公式:
\[\begin{vmatrix}
0 & c^2 & b^2 & a_1^2 & x^2 & 1\\
c^2 &  0 &  a^2 & b_1^2 & y^2 & 1\\
b^2 &  a^2 & 0 &  c_1^2 &  z^2 & 1\\
a_1^2 &  b_1^2 &  c_1^2 &  0 & w^2 & 1\\
x^2 &  y^2 &  z^2 &  w^2 &  0 & 1\\
1 & 1 &  1 & 1 & 1&  0
\end{vmatrix}=0\]
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发表于 2014-8-25 10:11:33 | 显示全部楼层
在三维空间与平面的情形类似吧。
当将三角形的费马点向平面四边形和多点集推广时,不是考虑一个点,而是多个点组成的斯坦纳树。
向空间推广时,同样也应该是多点形成的斯纳树更有漂亮的结果。即使是最简单的四面体(可以看作空间四边形),也不是考虑一点,而是与平面四边形一样,考虑增加2个结点形成的斯坦树更有意思。
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发表于 2014-8-25 11:07:04 | 显示全部楼层
如果规定是一个点,还满不满足平面三角费马点的力学公式? 这里是不是四点拉力相同?反正平面4点,加两个节点连接起来总长最短,是可以尺规作图的















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发表于 2014-8-25 15:28:43 | 显示全部楼层

四面体的等角中心

三角形的费马点又称为三角形的等角中心。四面体中确实有类似的点,四等分空间周角,并且具有类似的极值性质:

四面体的等角中心与四面体的六条棱所张的六个三角形的面积之和最小。

点评

四等分空间周角,如何定义? 能用数学符号说的更清楚一些吗?  发表于 2014-8-25 23:40
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发表于 2014-8-25 16:13:17 | 显示全部楼层
我感觉四个点最好去找他的斯坦纳树,尽管我一时半会想不出来如何构造。
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 楼主| 发表于 2014-8-25 22:44:37 | 显示全部楼层
对于四面体,Bortos用Gram矩阵定义了四面体各个顶点的空间角。

定义1: 设\(\overrightarrow{e_0},\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\)是顶点\(A_0,A_1,A_2,A_3\)所对的面上的单位法向量,则称

\[\alpha_i=\arcsin\Biggr|\det\Bigr[\frac{\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\}}{\{\overrightarrow{e_i}\}}\Bigl]\Biggl|\]

            为顶点\(A_i\)所对应的空间角,其中\(\det(\overrightarrow{e_0},\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})\)表示由\(\overrightarrow{e_0},\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\)构成的Gram矩阵的行列式的值,即

\[\det(\overrightarrow{e_0},\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_0}\*\overrightarrow{e_0}&\overrightarrow{e_0}\*\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_0}\*\overrightarrow{e_2}\\
\overrightarrow{e_1}\*\overrightarrow{e_0}&\overrightarrow{e_1}\*\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_1}\*\overrightarrow{e_2}\\
\overrightarrow{e_2}\*\overrightarrow{e_0}&\overrightarrow{e_2}\*\overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}\*\overrightarrow{e_2}\\
\end{vmatrix}\]

正弦定理1:设\(S_i\)为四面体\(A_0 A_1 A_2 A_3\)的顶点\(A_i\) 所对面的面积,\(\alpha_i\) 为顶点\(A_i\) 所对应的空间角,\(V\)为四面体的体积,则

             \[\frac{S_0}{\sin(\alpha_0)}=\frac{S_1}{\sin(\alpha_1)}=\frac{S_2}{\sin(\alpha_2)}=\frac{S_3}{\sin(\alpha_3)}=\frac{2S_0 S_1 S_2 S_3}{(3V)^2}\]


中国数学学者重新定义了顶点的空间角
   
定义2: 设\(O\)为四面体\(A_0 A_1 A_2 A_3\) 的外接球球心,令\(\alpha_{ij}=A_i O A_j (0\leqslant i,j \leqslant 3)\),则称\(\theta_k=\arcsin(\sqrt{-M_k})\)为顶点\(A_k\)所对应的顶点角,其中

\[ M_0=\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{12}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{13}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{21}}{2})^2&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{23}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{31}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{32}}{2})^2&0\\
\end{vmatrix}\]

\[ M_1=\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{02}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{03}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{20}}{2})^2&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{23}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{30}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{32}}{2})^2&0\\
\end{vmatrix}\]

\[ M_2=\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{01}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{03}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{10}}{2})^2&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{13}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{30}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{31}}{2})^2&0\\
\end{vmatrix}\]

\[ M_3=\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{01}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{02}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{10}}{2})^2&0&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{12}}{2})^2\\
1&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{20}}{2})^2&-\frac{1}{2}\sin(\frac{\alpha_{21}}{2})^2&0\\
\end{vmatrix}\]

      正弦定理2: 设\(R\)为四面体\(A_0 A_1 A_2 A_3\) 的外接球半径,\(A_i\)所对面的面积为\(S_i\),顶点角为\(\theta_i\)

\[\frac{S_0}{\sin(\theta_0)}=\frac{S_1}{\sin(\theta_1)}=\frac{S_2}{\sin(\theta_2)}=\frac{S_3}{\sin(\theta_3)}=2R^2\]
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 楼主| 发表于 2014-8-26 00:05:44 | 显示全部楼层
现在有几个问题,需要讨论:

1.每对相等的角被同一条直线平分如何用方程来表述??

2.hujunhua 提出:四面体中的等角中心四等分空间周角,并且具有类似的极值性质?

3.hujunhua 提出:四面体的等角中心与四面体的六条棱所张的六个三角形的面积之和最小?

4.hujunhua 提出:四面体中增加2个结点形成的斯坦树,如何计算?
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发表于 2014-8-26 10:24:43 | 显示全部楼层
1.每对相等的角被同一条直线平分如何用方程来表示?

当`f(P)=P_A+P_B+P_C+P_D`取极值时,驻点方程为`f'(P)=0`,在`P`点属于一个三维域时,可表为`\nabla f=0`,即:
\[\nabla P_A+\nabla P_B+\nabla P_C+\nabla P_D=0\]
`\nabla P_A`有一个特别的几何解释,就是矢量`PA`的单位矢量`PA^0`,其它也一样。上述方程可以写成以下3种形式:
\[ \nabla P_A+\nabla P_B=-\nabla P_C-\nabla P_D\]\[\nabla P_A+\nabla P_C=-\nabla P_B-\nabla P_D\]\[ \nabla P_A+\nabla P_D=-\nabla P_B-\nabla P_C\]一对单位矢量之和与另一对单位矢量之和相等,就是所夹角相等并且同轴(即角平分线)的表现。
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