经典初等几何题？

282842712474

角BAC和角ABC为80度，角CAF为10度，角CBE为20度，求角EFA。

这道题经常出现在贴吧，我想不出初等解法，曾经试过用解析几何暴力，算得20度。

kastin

延长FE至H，使得HE=BE，连结AH。

sheng_jianguo

找到本题解答，供参考：
我们首先从号称世界第二难的几何题“50-60三角形”（图一）入手。这个题目要稍微简单一些，因为有个已知条件很重要：∠1=50°=∠2，因此我们一开始就有了一个等腰三角形，其中BC=CD。过E作BC的平行线交AC于E'（图二），我们很快就可以知道两个蓝色三角形是等边三角形，于是BC=CP。这样的话三条红色线段都相等，△CPD是等腰三角形，即可算出∠3=80°，∠4=40°。而△BE'C中的∠5也是40°，于是△DPE'也是等腰三角形，DP=DE'。又EP=EE'（全等三角形的两边），ED=ED（公共边），因此△DEE'=△DEP。∠6=∠7=1/2∠PEE'=30°

    事实上，利用50-60问题的结论，我们能很快解决号称世界第一难的几何题“60-70三角形”（图三）。在AC上找一点F使得∠CBF=50°（图4），根据前面的结论，∠1=30°。而△BDC中的∠2也是30°。又∠3=∠4=20°，于是红色三角形和紫色三角形相似，CF/EF=BF/DF。而∠5=50°，∠6=∠1+∠3=50°，结合前面的比例关系，于是两个蓝色三角形相似。这样的话，∠EDF=∠CBF=50°。我们要求的角就等于∠EDF-∠2=20°

    解答很繁琐。目前我还没有找到什么简单而巧妙的解法。欢迎大家提供更多的解答思路

chyanog

王守恩

chyanog 发表于 2014-12-9 12:33

1，由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得：sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2，由DE/AE×AE/BE×BE/DE =1      推得：sin10/sin(170 - x)×sin80/sin70×sin(130 - x)/sin20=1
3，由BE/BD×BD/AB×AB/BE =1      推得：sin(130 - x)/sin(x+30)×sin80/sin40×sin30/sin70=1
4，由AB/AE×AE/AD×AD/AB=1      推得：sin30/sin80×sin(170 - x)/sinx×sin60/sin40=1

王守恩

王守恩 发表于 2017-6-12 16:47
1，由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得：sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2，由DE/AE×AE ...

1，由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得(1)：sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2，由DE/AE×AE/BE×BE/DE =1      推得(2)：sin10/sin(170 - x)×sin80/sin70×sin(130 - x)/sin20=1
3，由BE/BD×BD/AB×AB/BE =1      推得(3)：sin(130 - x)/sin(x+30)×sin80/sin40×sin30/sin70=1
4，由AB/AE×AE/AD×AD/AB=1      推得(4)：sin30/sin80×sin(170 - x)/sinx×sin60/sin40=1
解(1)，(2)，(3)，(4)中的某1个可得答案，组合(1)，(2)，(3)，(4)中的某2个也可得答案。
    sin20sin20sin40=sin10sin30sin60
    sin20sin30sin30=sin10sin40sin50

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. FullSimplify@Solve[{Sin[x]/Sin[Pi/18]
   
3.       +Sin[15/18*Pi-x]/Sin[Pi/9]
   
4.      ==Sin[13/18*Pi-x]/Sin[Pi/9]
   
5.       +Sin[01/18*Pi+x]/Sin[Pi/9]
   
6.       ,0<x<Pi}
   
7.       ,{x}]
   

复制代码

软件的运行结果是
\[\left\{\left\{x\to \frac{\pi }{9}\right\}\right\}\]

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. FullSimplify@Solve[{Sin[x*Degree]/Sin[10*Degree]
   
3.       +Sin[(150-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
4.      ==Sin[(130-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
5.       +Sin[(10+x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
6.       ,0<x<90}
   
7.       ,{x}]
   

复制代码

软件的运行结果是：
\[\left\{\left\{x\to \frac{2 \cot ^{-1}\left(\frac{2 (\sin (20 {}^{\circ})-\sin (40 {}^{\circ}))}{\sqrt{3} \tan (10 {}^{\circ})+\left(3 \sin (20 {}^{\circ})+2 \sin (40 {}^{\circ})-\sqrt{3}\right) \sec (10 {}^{\circ})-1}\right)}{{}^{\circ}}\right\}\right\}\]
一个用弧度制，一个用角度制，
但是角度制，就是算不出结果！
软件真笨！

上面的运行结果是假设EF=1，假设角EFA=x
然后利用正弦定理分别求的AE EC CF FB
然后AE+EC=CF+FB
然后求解方程，
然后得到结果

mathematica

这类问题没有技术含量，也就是正弦定理，然后求解方程！

mathematica

我用CAD，结果就是20°
或者我觉得也可以考虑用计算器按一下，求解方程，省得自己化简麻烦

mathematica

又是一个挖坟帖

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. NSolve[{Sin[x*Degree]/Sin[10*Degree]
   
3.       +Sin[(150-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
4.      ==Sin[(130-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
5.       +Sin[(10+x)*Degree]/Sin[20*Degree]
   
6.       ,0<x<90}
   
7.       ,{x},1000]
   

复制代码

\[\{\{x\to 20.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\}\}\]