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[讨论] 经典初等几何题?

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发表于 2014-12-8 23:55:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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无标题.png

角BAC和角ABC为80度,角CAF为10度,角CBE为20度,求角EFA。

这道题经常出现在贴吧,我想不出初等解法,曾经试过用解析几何暴力,算得20度。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-12-9 09:39:42 | 显示全部楼层
延长FE至H,使得HE=BE,连结AH。

点评

有点问题~  发表于 2014-12-9 18:03
再详细点?  发表于 2014-12-9 15:20
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-12-9 10:35:29 | 显示全部楼层
找到本题解答,供参考:
我们首先从号称世界第二难的几何题“50-60三角形”(图一)入手。这个题目要稍微简单一些,因为有个已知条件很重要:∠1=50°=∠2,因此我们一开始就有了一个等腰三角形,其中BC=CD。过E作BC的平行线交AC于E'(图二),我们很快就可以知道两个蓝色三角形是等边三角形,于是BC=CP。这样的话三条红色线段都相等,△CPD是等腰三角形,即可算出∠3=80°,∠4=40°。而△BE'C中的∠5也是40°,于是△DPE'也是等腰三角形,DP=DE'。又EP=EE'(全等三角形的两边),ED=ED(公共边),因此△DEE'=△DEP。∠6=∠7=1/2∠PEE'=30°

    事实上,利用50-60问题的结论,我们能很快解决号称世界第一难的几何题“60-70三角形”(图三)。在AC上找一点F使得∠CBF=50°(图4),根据前面的结论,∠1=30°。而△BDC中的∠2也是30°。又∠3=∠4=20°,于是红色三角形和紫色三角形相似,CF/EF=BF/DF。而∠5=50°,∠6=∠1+∠3=50°,结合前面的比例关系,于是两个蓝色三角形相似。这样的话,∠EDF=∠CBF=50°。我们要求的角就等于∠EDF-∠2=20°

    解答很繁琐。目前我还没有找到什么简单而巧妙的解法。欢迎大家提供更多的解答思路


史上最难的初等几何问题.JPG

点评

我觉得只有普遍的方法才有意义,不追求奇技淫巧  发表于 2017-6-13 10:42
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=270&extra=page%3D2%26amp%3Bfilter%3Dtype%26amp%3Btypeid%3D2  发表于 2014-12-14 13:11
Langley问题&Machado的几何构型 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2500&extra=page%3D3%26amp%3Bfilter%3Dtype%26amp%3Btypeid%3D2  发表于 2014-12-14 13:11

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-12-9 12:33:53 | 显示全部楼层
傲游截图20141209123308.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-6-12 16:47:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-6-12 19:45 编辑


1,由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得:sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2,由DE/AE×AE/BE×BE/DE =1      推得:sin10/sin(170 - x)×sin80/sin70×sin(130 - x)/sin20=1
3,由BE/BD×BD/AB×AB/BE =1      推得:sin(130 - x)/sin(x+30)×sin80/sin40×sin30/sin70=1
4,由AB/AE×AE/AD×AD/AB=1      推得:sin30/sin80×sin(170 - x)/sinx×sin60/sin40=1

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发表于 2017-6-13 04:30:46 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2017-6-12 16:47
1,由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得:sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2,由DE/AE×AE ...

1,由AD/DE×DE/BD×BD/AD=1      推得(1):sinx/sin10×sin20/sin(x+30)×sin80/sin60=1
2,由DE/AE×AE/BE×BE/DE =1      推得(2):sin10/sin(170 - x)×sin80/sin70×sin(130 - x)/sin20=1
3,由BE/BD×BD/AB×AB/BE =1      推得(3):sin(130 - x)/sin(x+30)×sin80/sin40×sin30/sin70=1
4,由AB/AE×AE/AD×AD/AB=1      推得(4):sin30/sin80×sin(170 - x)/sinx×sin60/sin40=1
解(1),(2),(3),(4)中的某1个可得答案,组合(1),(2),(3),(4)中的某2个也可得答案。
    sin20sin20sin40=sin10sin30sin60
    sin20sin30sin30=sin10sin40sin50
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发表于 2017-6-13 10:34:28 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. FullSimplify@Solve[{Sin[x]/Sin[Pi/18]
  3.       +Sin[15/18*Pi-x]/Sin[Pi/9]
  4.      ==Sin[13/18*Pi-x]/Sin[Pi/9]
  5.       +Sin[01/18*Pi+x]/Sin[Pi/9]
  6.       ,0<x<Pi}
  7.       ,{x}]
复制代码

软件的运行结果是
\[\left\{\left\{x\to \frac{\pi }{9}\right\}\right\}\]

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. FullSimplify@Solve[{Sin[x*Degree]/Sin[10*Degree]
  3.       +Sin[(150-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  4.      ==Sin[(130-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  5.       +Sin[(10+x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  6.       ,0<x<90}
  7.       ,{x}]
复制代码

软件的运行结果是:
\[\left\{\left\{x\to \frac{2 \cot ^{-1}\left(\frac{2 (\sin (20 {}^{\circ})-\sin (40 {}^{\circ}))}{\sqrt{3} \tan (10 {}^{\circ})+\left(3 \sin (20 {}^{\circ})+2 \sin (40 {}^{\circ})-\sqrt{3}\right) \sec (10 {}^{\circ})-1}\right)}{{}^{\circ}}\right\}\right\}\]
一个用弧度制,一个用角度制,
但是角度制,就是算不出结果!
软件真笨!

上面的运行结果是假设EF=1,假设角EFA=x
然后利用正弦定理分别求的AE EC CF FB
然后AE+EC=CF+FB
然后求解方程,
然后得到结果

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解方程也可以手算,也能出结果  发表于 2017-6-13 10:46
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发表于 2017-6-13 10:38:24 | 显示全部楼层
这类问题没有技术含量,也就是正弦定理,然后求解方程!
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发表于 2017-6-13 10:50:10 | 显示全部楼层
我用CAD,结果就是20°
或者我觉得也可以考虑用计算器按一下,求解方程,省得自己化简麻烦

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http://i2.muimg.com/597488/0afbf11c914437c3.gif  发表于 2017-6-14 13:06
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发表于 2017-6-14 12:22:48 | 显示全部楼层
又是一个挖坟帖
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. NSolve[{Sin[x*Degree]/Sin[10*Degree]
  3.       +Sin[(150-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  4.      ==Sin[(130-x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  5.       +Sin[(10+x)*Degree]/Sin[20*Degree]
  6.       ,0<x<90}
  7.       ,{x},1000]
复制代码


\[\{\{x\to 20.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\}\}\]

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数值法万岁,完美地解决了这个问题  发表于 2017-6-14 12:24
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