卧式罐体的体积与表面积

数学星空

在我们的生活中经常会碰到如下椭圆形的罐体，请分别给出如下三种情况下的体积（阴影部份）与表面积？

见下面三种情形A,B,C

1. A:为正常水平液面情形

2. B:为左右倾斜状态情形

3. C:为前后倾斜状态情形

请分别给出液体的体积及表面积计算公式：\(V_1,S_1,V_2,S_2,V_3,S_3\)?

注：\(0\leqslant x \leqslant  a \) ; \(0\leqslant \theta \leqslant  \frac{\pi}{2} \) ;

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kastin

这个题目让我想到了2010年全国大学生数学建模竞赛A题，比较贴近实际生活。

由于跟椭圆面积以及周长相关，因此可能会用到椭圆积分，只能数值求解了。

sheng_jianguo

包括椭球封头吗？如果包括，缺少椭球封头深度尺寸（b方向）。

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封头深度设为d(单个封头深度),这也是计算的难点

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sheng_jianguo

前几年看到过类似问题（A，a=c=d求体积），据说当时许多大学生纷纷解此题，但都没有能求出正确结果(故又称为大学生也不会计算的题目)。我当时分析一下，觉得此题实际并不难，难点在敢于一步步积分，不要算错。
我以为，此问题求表面积公式用初等函数公式是不可能的（当x=a时就不可能），如果用其它函数（如椭圆积分）表示，好像没多大意义。下面给出A的体积计算公式推导，B、C可通过坐标变换类似积分，但最后是否能得出初等函数就不知道了。
设椭球封头轴向直径为d，筒体部分液体体积为V1，封头部分液体体积为V2：

sheng_jianguo

注：我的公式中d是直径，6#楼图中d是半径。

wayne

A:
筒体的体积计算：因为筒体是一个柱体，长度是b,底面是椭圆被截的一部分。所以关键是要计算截面面积。
考虑到液体超过体积的一半的时候函数的多值性，根据对称性，选择c轴方向积分比较合适：
过程如下：
$V_1=b*S = b* 2\int_0^x(c/2*\sqrt{1-(t-a/2)^2/(a/2)^2})dt$

封头的体积 \(V_2\) 计算：  封头是椭球体的一半，其曲面方程是  \(\D\frac{\left(x-\frac{a}{2}\right)^2}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{c}{2}\right)^2}+\frac{z^2}{d^2}=1\) ,
从上往下看，截面是半个椭圆，所以体积就是这半个椭圆的面积微元 在上下方向的积分 ：
\(\D V_2 = {\Large\int}_{0}^{x}\frac{1}{2}\*\pi\*d\*\frac{c}{2}\left(1-\frac{(t-\frac{a}{2})^2}{(\frac{a}{2})^2}\right)\dif t =\frac{\pi cd}{4}(x-\frac{4}{3a^2}((x-\frac{a}{2})^3+\frac{a^3}{8}))\)

hujunhua

使用3D绘图软件可直接提取容积，得到容积-高度标识曲线。