卧式罐体的体积与表面积

wayne

其他情况下的体积的计算都不是特别的麻烦。只需计算 椭圆与直线相交构成的面积的表达即可。
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至于表面积的计算，个人感觉理论意义不是很大，因为最简单的椭球的表面积以及 椭圆的周长 都不能用初等函数表达。更何况计算截体的表面积了

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对于7#计算结果：

\(V_1=\frac{bc}{8a}(\pi a^2+4(2x-a)\sqrt{x(a-x)}-2a^2\arcsin{\frac{a-2x}{a}})\)

\(V_2=\frac{\pi cdx^2(3a-2x)}{6a^2}\)

当\(x=a\)时

\(V_1=\frac{\pi abc}{8}\)

\(V_2=\frac{\pi acd}{6}\)

然而当\(x=a\)时

\(V_1=\pi\frac{a}{2}\frac{c}{2}b=\frac{\pi abc}{4}\)   椭圆柱的体积公式

\(V_2= \frac{4\pi}{3}\frac{a}{2}\frac{c}{2}d=\frac{\pi acd}{3}\)  椭球的体积公式

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为了将问题更数学表述：



可以得到左边封头半椭球方程：

\(\frac{(x+\frac{a}{2})^2}{(\frac{a}{2})^2}+\frac{(y+\frac{b}{2})^2}{d^2}+\frac{z^2}{(\frac{c}{2})^2}=1\) ..................................(1)  
            
椭圆柱方程：

\(\frac{x^2}{(\frac{a}{2})^2}+\frac{z^2}{(\frac{c}{2})^2}=1\) .................................................................................................(2)

\(-\frac{b}{2}\leq y \leq  \frac{b}{2}\)......................................................................................................................................(3)

可以得到右边封头半椭球方程：

\(\frac{(x-\frac{a}{2})^2}{(\frac{a}{2})^2}+\frac{(y-\frac{b}{2})^2}{d^2}+\frac{z^2}{(\frac{c}{2})^2}=1\) .....................................(4)  

A类:   截面方程:    \(x=h\)  (为了不引起混淆设为h)................................................................................................................(5)

B类:   截面方程:    \(\frac{x-h}{y}=\tan(\theta)\)...................................................................................................................(6)

C类:   截面方程:    \(\frac{x-h}{z}=\tan(\theta)\)...................................................................................................................(6)

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为了数学结果的简洁,我采纳sheng_jianguo 的建议,重新描述如下:

可以得到左边封头半椭球方程：

\(\frac{(x+a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{d^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) ..................................(1)  
            
椭圆柱方程：

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) .................................................................................................(2)

\(-b\leq y \leq  b\)......................................................................................................................................(3)

可以得到右边封头半椭球方程：

\(\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{d^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) .....................................(4)  

A类:   截面方程:    \(x=h\)  ...........................................................................................................................(5)

B类:   截面方程:    \(\frac{x-h}{y}=\tan(\beta)\)...................................................................................................................(6)

C类:   截面方程:    \(\frac{x-h}{z}=\tan(\theta)\)...................................................................................................................(6)

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先求椭圆柱内液体的体积:

A.水平放置时

当 \(0 \leqslant h \lt a\)时

\(V_{10}=\frac{2bc}{a}((h-a)\sqrt{h(2a-h)}+a^2\arctan{(\frac{\sqrt{h(2a-h)}}{a-h})})\)

当 \(a\leqslant h \lt 2a\)时

\(V_{10}=\frac{2bc}{a}((a-h)\sqrt{h(2a-h)}+a^2(\pi-\arctan{(\frac{\sqrt{h(2a-h)}}{h-a})}))\)





B.当左右倾斜放置时:

记

\(k_1=\tan(\theta)\)

\(h_1=h+bk_1,h_2=h-bk_1\)

\(S_{10}=\frac{c}{a}((h-a)\sqrt{h(2a-h)}+a^2\arctan{(\frac{\sqrt{h(2a-h)}}{a-h})})\)

\(S_{11}=\frac{c}{a}((a-h)\sqrt{h(2a-h)}+a^2(\pi-\arctan{(\frac{\sqrt{h(2a-h)}}{h-a})}))\)

1.当 \(0 \leqslant k_1  \lt \frac{h-a}{b}\)时

    \(V(h)=b(S_{10}(h_1)+S_{10}(h_2))\)

2.当 \( \frac{h-a}{b} \leqslant k_1  \leqslant \frac{h+a}{b}\)时

    \(V(h)=b(S_{11}(h_1)+S_{10}(h_2))\)

3.当 \( \frac{h+a}{b} \leqslant k_1 \)时

    \(V(h)=b(S_{11}(h_1)+S_{11}(h_2))\)





C.前后倾斜放置时

记:

\(k=\tan{\beta}\)

\(F_1(x)=ax-\frac{ax\sqrt{c^2-x^2}}{2c}-\frac{ac}{2}\arctan{(\frac{x}{\sqrt{c^2-x^2}})}\)

\(F_2(x)=2ab(\frac{x\sqrt{c^2-x^2}}{c}+c\arctan{(\frac{x}{\sqrt{c^2-x^2}})})\)

\(V_0(h)=\frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2}=\frac{2a^2c(ha+c^2k^2)\sqrt{c^2k^2+2ah-h^2}}{(a^2+c^2k^2)^2}\)

\(y_1=\frac{a(ha+c^2k^2+ck\sqrt{2ha+c^2k^2-h^2})}{a^2+c^2k^2}\)

\(y_2=\frac{a(ha+c^2k^2-ck\sqrt{2ha+c^2k^2-h^2})}{a^2+c^2k^2}\)

\(x_1=\frac{c(kc(a-h)+a\sqrt{2ha+c^2k^2-h^2})}{a^2+c^2k^2}\)

\(x_2=\frac{c(kc(a-h)-a\sqrt{2ha+c^2k^2-h^2})}{a^2+c^2k^2}\)

1.当\(0 \leqslant h \lt a\),且  \(0 \leqslant k \lt  \frac{a-h}{c}\) 时

  \(V_{11}(h)=2b(V_0(h)-(F_1(x_1)-F_2(x_2)))\)

2.当\(0 \leqslant h \lt a\),且  \(\frac{a-h}{c} \leqslant   k \)  时

  \(V_{12}(h)=2b(V_0(h)-(F_1(x_1)-F_1(x_2))+(F_2(c)-F_2(x_1)))\)

3.当\(a \leqslant  h \lt 2a\),且 \( 0 \lt k  \leqslant   \frac{h-a}{c}\) 时

  \(V_{13}(h)=2b(V_0(h)-(F_1(x_1)-F_1(x_2))+(F_2(c)-F_2(x_1)))\)

4.当\(a \leqslant  h \lt 2a\),且   \(\frac{a-h}{c} \leqslant   k\)  时

  \(V_{14}(h)=2b(V_0(h)-(F_1(x_1)-F_1(x_2))+(F_2(c)-F_2(x_1))+(F_2(x_2)-F_2(-c)))\)

  

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下面是网络上截取的有关水平放置 时的容积计算公式

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楼上是 卧式贮罐任一液位容积计算软件PLJ-5
http://pan.baidu.com/share/link? ... 77&uk=354741210
下载的计算软件,但没有找到注册码,谁有兴趣提供注册码?

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有关椭球冠的体积与表面积公式很复杂: