求三角形内的相交三角形面积

chyanog

@数学星空， @creasson 20#的结果应该是对的

1. area=Function[{a,b,c,k1,k2,k3,α,β,γ},With[{s=(Sqrt[a+b-c] Sqrt[a-b+c] Sqrt[-a+b+c] Sqrt[a+b+c])/4},(s (-4 s Cos[α] (4 s Cos[β] (4 s Cos[γ]-(a^2+b^2-c^2-2 b^2 k3) Sin[γ])+Sin[β] (4 (b^2-c^2+a^2 (-1+2 k2)) s Cos[γ]-(a^4 (-1+2 k2)-2 a^2 (c^2 k2+b^2 (k2-k3))-(b^2-c^2) (c^2+b^2 (-1+2 k3))) Sin[γ]))+Sin[α] (Sin[β] (-4 (-b^4+c^4 (1-2 k1)+2 b^2 c^2 k1+a^4 (-1+2 k2)-2 a^2 (b^2 (-1+k2)+c^2 (-k1+k2))) s Cos[γ]+(a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) (c^2 (-1+2 k1)+a^2 (-1+2 k2)+b^2 (-1+2 k3)) Sin[γ])+4 s Cos[β] (-4 (a^2-b^2+c^2 (-1+2 k1)) s Cos[γ]+(a^4+2 a^2 (c^2 (-1+k1)-b^2 k3)+(b^2-c^2) (c^2 (-1+2 k1)+b^2 (-1+2 k3))) Sin[γ])))^2)/((4 s Cos[α] (4 s Cos[β]-(a^2-b^2+c^2) Sin[β])-Sin[α] (-4 (a^2-b^2+c^2) s Cos[β]+(a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) Sin[β])) (4 s Cos[α] (4 s Cos[γ]+(-a^2+b^2+c^2) Sin[γ])-Sin[α] (-4 (a^2-b^2-c^2) s Cos[γ]+(a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) Sin[γ])) (4 s Cos[β] (4 s Cos[γ]-(a^2+b^2-c^2) Sin[γ])-Sin[β] (-4 (a^2+b^2-c^2) s Cos[γ]+(a^4+(b^2-c^2)^2-2 a^2 (b^2+c^2)) Sin[γ])))]];
   
2. (*Test*)
   
3. area[a,Sqrt[3]a,2a,1/2,1/2,1/2,Pi/6,Pi/3,Pi/2]//Simplify
   
4. area[2, 2, 2, 1/2, 1/2, 1/2,θ,θ,θ] // Simplify
   
5. area[9,10,8,3/8,4/9,5/10,Pi/2,Pi/6,Pi/3]//Simplify//N

复制代码

数学星空

不知chanog楼上的表达式是否由20＃简化而来，我对\(\alpha=\beta=\gamma=\theta\)时核算，结论与叶中豪结果一致

现重新粘贴如下：

\(s= (S(-4S\cos(\alpha)(4S\cos(\beta)(4S\cos(\gamma)-(a^2+b^2-c^2-2b^2k_3)\sin(\gamma))+\sin(\beta)(4(b^2-c^2+a^2(-1+2k_2))S\cos(\gamma)-(a^4(-1+2k_2)-  
2a^2(c^2k_2+b^2(k_2-k_3))-(b^2-c^2)(c^2+b^2(-1+2k_3)))\sin(\gamma)))+\sin(\alpha)(\sin(\beta)(-4(-b^4+c^4(1-2k_1)+2b^2c^2k_1+a^4(-1+2k_2)-2a^2(b^2(-1+k_2)+                     
c^2(-k_1+k_2)))S\cos(\gamma)+(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))(c^2(-1+2k_1)+a^2(-1+2k_2)+b^2(-1+2k_3))\sin(\gamma))+4S\cos(\beta)(-4(a^2-b^2+c^2(-1+2k_1))S\cos(\gamma)+                       
(a^4+2a^2(c^2(-1+k_1)-b^2k_3)+(b^2-c^2)(c^2(-1+2k_1)+b^2(-1+2k_3)))\sin(\gamma))))^2)/((4S\cos(\alpha)\(4S\cos(\beta)-(a^2-b^2+c^2)\sin(\beta))-\sin(\alpha)(-4(a^2-b^2+                 
c^2)S\cos(\beta)+(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2+c^2))\sin(\beta)))(4S\cos(\alpha)(4S\cos(\gamma)+(-a^2+b^2+c^2)\sin(\gamma))-\sin(\alpha)(-4(a^2-b^2- c^2)S\cos(\gamma)+                 
(a^4+(b^2-c^2)^2-2a^2(b^2 +c^2))\sin(\gamma)))(4S\cos(\beta)(4S\cos(\gamma)-(a^2+b^2-c^2)\sin(\gamma))-\sin(\beta)(-4(a^2+b^2-c^2)S\cos(\gamma)+(a^4+(b^2-c^2)^2-                 
2a^2(b^2+c^2))\sin(\gamma))))\)

此应该还可以进一步简化为更简洁而对称的形式？

注：\(16S^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4\)

creasson

chyanog 发表于 2015-12-17 13:26
@数学星空， @creasson 20#的结果应该是对的

，说明理论没有问题。此题是第一次应用，足让人认识到其强大。

creasson

数学星空 发表于 2015-12-17 20:09
不知chanog楼上的表达式是否由20＃简化而来，我对\(\alpha=\beta=\gamma=\theta\)时核算，结论与叶中豪结果 ...

要对称的结果也是容易的，做轮换，然后三式相加即可

creasson

chyanog 发表于 2015-12-17 13:26
@数学星空， @creasson 20#的结果应该是对的

此式极好，怎么得来的？

chyanog

creasson 发表于 2015-12-17 21:37
此式极好，怎么得来的？

我的思路是先把问题转化一下，如图

数学星空

经过化简，我们最终得到：


\(s=\frac{M^2}{N}\)


\(M=\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)(\frac{1}{2}(1-2k_2)a^2+\frac{1}{2}(1-2k_3)b^2+\frac{1}{2}(1-2k_1)c^2-(a^2\cot(A)k_2-b^2\cot(B)k_3+2S\cot(B)\cot(C))\cot(\alpha)-(-c^2\cot(C)k_1+b^2\cot(B)k_3+2S\cot(C)\cot(A))\cot(\beta)-(c^2\cot(C)k_1-a^2\cot(A)k_2+2S\cot(A)\cot(B))\cot(\gamma))+\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)((2S\cot(A)-c^2k_1)\tan(\alpha)+(2S\cot(B)-a^2k_2)\tan(\beta)+(-b^2k_3+2S\cot(C))\tan(\gamma)-2S)\)

\(N=4S(\cos(\alpha-\gamma)-\cot(A)\sin(\alpha-\gamma))(\cos(\alpha-\beta)+\cot(B)\sin(\alpha-\beta))(\cot(C)\sin(\beta-\gamma)+\cos(\beta-\gamma))\)

TSC999

对于27楼的公式，假定 a=b=c=1,  k1=k2=k3=0.25, α=30°，β=30°，γ=30°，计算结果是多少呢？
画图得到的结果大约是 0.08119。
  

TSC999

TSC999 发表于 2015-12-24 22:16
对于27楼的公式，假定 a=b=c=1,  k1=k2=k3=0.25, α=30°，β=30°，γ=30°，计算结果是多少呢？
画图得 ...

用12楼的公式计算，与画图直接测量结果相同。
但是用27楼的公式，算的结果很不一样，也许我对27楼的公式没有弄懂吧。

数学星空

27#结果没问题，例如
a=b=c=1;k1=k2=k3=0.25,α=β=γ=π/6可以得到是s=3√3/64=0.0811898816047

现给一个数值解便于检验结果是否正确
a=8、  b=5、.  c=6、k1=1/2、  k2=1/3、  k3=1/4、   α=arctan(4)、β=arctan(2),、    γ=arctan(1)
s=98329671653329√399/210472039308960-20033376020153/2192417076135=0.19446552212026