论坛 › 趣题妙解 › 陈计的一道代数不等式

lykin 发表于 2008-12-29 13:01:42

还有不全相等的时候啊,我还没想过这问题

仙剑魔 发表于 2008-12-29 15:43:59

好象直接拉格朗日乘数法可以做
我是野兽派的,向来暴力解决问题...:lol

ljq279318147 发表于 2009-1-1 14:23:02

3个以上不知道怎么做！数学功底还有待加强

winxos 发表于 2009-1-2 20:34:52

静下心好好想想这个问题，
感觉还比较有意思。

mathabc 发表于 2009-3-21 18:31:58

记住了，陈计、冷刚松，去查查。

wayne 发表于 2009-3-22 13:14:09

回复 1# mathe 的帖子

其实像这样的不等式我觉得是不值得去推广的。
因为： a+1/a并不齐次

wayne 发表于 2009-3-22 13:22:34

为了说明我的意思，先考虑最简单的n=2的情形：


在一般的情况下，即 b=T-a 。代入目标式子，得一关于a的五次多项式方程，该方程的各项系数含有T，以及具体的数值。也就是说，该方程不齐次。

进而可以说明，对于不同的T，方程完全会有不同的解，最终导致a与b可能不想等。

也就是说，这道题如果不合理限定a+b的值，将没有推广的价值

wayne 发表于 2009-3-22 13:42:39

当T=5时，式子的最小值是$2 (sqrt(26)-1)$

a或b 为 方程 x^4- 10 x^3+25 x^2 -26=0的一实根1.4271624137797285

wayne 发表于 2009-3-22 22:15:29

当$a+b=T>=2 sqrt(2 + sqrt(5))=4.116342054542985$时，$(1/a + a)(b + 1/b)$的最小值在
a取方程$ a^4 + a^2 T^2- 2 a^3 T - T^2 -1 = 0$的一根T=$1/2 (a + sqrt(a^2 - 4 sqrt(1 + a^2))) $时取得，此时最小值为$2 sqrt(T^2 + 1) - 2$
否则，最小值在a=T/2处取得。

wayne 发表于 2009-3-22 22:21:31

n=3的情况比较复杂，等我有时间了再考虑

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