不过利用凹凸函数的性质的确有些证明可以简单很多。
像本题中由于不存在边界情况，函数先凸后凹，那么马上可以知道，取最小值时，要么所有$x_i$相等，要么凸函数部分n-1个$x_i$相等,而凹函数部分只能一个$x_i$.
但是对于有边界条件的更加一般的情况，我现在觉得还不能排除另外一种可能取3个值的情况，比如同样先凸后凹的情况取最小值，可以若干个$x_i$在凸函数部分，若干个取最大的边界，还有一个$x_i$取凹函数非最大值的情况（相当于是边界条件情况）。所以链接中的结论可能完全不正确
61# mathe
赞同~~
我已经见证mathe用这种思想攻克了好几个不等式！！
61# mathe
我现在觉得还不能排除另外一种可能取3个值的情况
个人直觉，取值应该是一边倒的，不会出现两个边界值都能娶到的例子
直觉错误！！！找到一个例子了：
1<=xi<=7,x1+x2+x3+x4=14,
(x_1+1/{x_1})(x_2+1/{x_2})(x_2+1/{x_2})(x_2+1/{x_2})的最小值为141.493, {x1 -> 1.32451, x2 -> 1.32451, x3 -> 4.35098, x4 -> 7.}
奇怪的是新产生了两个非边界值
更有意思的是：
2<=x_i<=7,x_1+x_2+x_3+x_4=14，
(x_1+1/{x_1})(x_2+1/{x_2})(x_2+1/{x_2})(x_2+1/{x_2})
取最小值的时候，x取值为2，2，3，7
本题是可以转化为链接中的情况的，只是链接中至少顶楼的结论是错误的（它总是去两个值而且要在边界上）。
mathe 发表于 2010-7-2 16:29 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
你看清楚点啊。。。x是待定的。。。另外两个值也只有一个是边界，另一个也是待定的。
其实就是你61楼说的内容。。。
65# wayne
这不就验证了那个链接里的内容么
那个定理得意思就是，
取F=Fmin时有，x=x（这个只是说相等其实也是待定的）,x=7,x待定
这样吧x当作主元，x=x可以从限制条件里解出来
问题就变成1元函数了
56# mathe
对于a b c d都大于0，a+b+c+d=8，(a + 1/a) (b + 1/b) (c + 1/c) (d + 1/d)的最小值可以使用Mathematica，
其命令如下：
NMinimize[{(a + 1/a) (b + 1/b) (c + 1/c) (d + 1/d),
a + b + c + d == 8 && a > 0 && b > 0 && c > 0 && d > 0}, {a, b, c,
d}, WorkingPrecision -> 50, PrecisionGoal -> 25, AccuracyGoal -> 25]
其运行结果如下
{38.399750503490688967449062368187965191039707221513, {a ->
3.846052645527913657767176560064946302605320584530,
b -> 1.3846491181573621140776078132549798731074904473035,
c -> 1.3846491181573621140776078133166724608638443820893,
d -> 1.3846491181573621140776078133634013634233445860772}}
我使用的是Mathematica7.0.0
我也很感叹，最小值居然不是在a=b=c=d=2的情况下取得的，真是让我大开眼界了一下。
如果不是自己亲自计算了一下，那是不会相信计算结果的