为了说明我的意思，先考虑最简单的n=2的情形：
在一般的情况下，即 b=T-a 。代入目标式子，得一关于a的五次多项式方程，该方程的各项系数含有T，以及具体的数值。也就是说，该方程不齐次。
进而可以说明，对 ...
呵呵,不过问题是这个五次方程求解还是比较容易的(至少用计算机非常容易解出:) ),
$$
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n=3的情况，手算很复杂，我借助软件得到了解决：当a+b+c=T>=$3 sqrt(2 + sqrt(5))=6.174513081814477$时，目标式的最小值在a=T-2r,b=r,c=r时取得，其中r为
关于x的一元四次方程 $4 x^4-4 T x^3+(T^2-1) x^2+2T x-1-T^2=0$的一正实根，
$r=T/4 - sqrt(T^2/4 + (1 - T^2)/4 + (-1 + T^2)/12 + (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) + (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12)/2 +sqrt(T^2/2 + (1 - T^2)/3 - (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) - (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12 - (-4*T + T^3 - T*(-1 + T^2))/(4*sqrt(T^2/4 + (1 - T^2)/4 + (-1 + T^2)/12 + (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) + (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12)))/2$
否则，目标式的最小值 在三者相等时取得。
[ 本帖最后由 wayne 于 2009-3-23 13:51 编辑 ] 用数值解法求极值，通过夹逼原理一个一个尝试，却发现那个临界的T=6.0043029605431965656237025541486。精确度为最后一位，跟上面的用符号运算得到的值不一样，:Q: ，想不明白。
T=6.0043029605431965656237025541486时，最小值为15.645183630346711\`, {a=2.0014343198884506\`, b= 2.001434319722351\`, c= 2.001434320932394\`}
T=6.0043029605431965656237025541487时，最小值为15.64641104873914\`,
{a= 2.672257691572129\`, b=1.6660226344588271\`, c=1.6660226345122404\`} $n>=3$时的一般情况我也没有解决,只是提供了数值解算法.
不过你上面的理论边界值$3sqrt(2+sqrt(5))$如何得出?感觉有问题.
我觉得应该是T<20.4176时肯定是全相等时
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今天好累，下午睡了一觉，现在有精神专注这个题了:)编了程一个小程序，得到数据如下，依次代表(T,Min,aMin,bMin,cMin)：
5. 11.645629629629628 {1.6666666655686029, 1.6666666668495747, 1.6666666675818222}
6. 15.624999999999998 {2.000000022277276, 2.0000000100459974, 1.9999999676767264}
7. 19.809021501153637 {4.350981297069273, 1.324509350577613, 1.324509352353114}
8. 23.87617143253472 {5.525569422111218, 1.237215288944328, 1.2372152889444539}
9. 27.91208298442635 {6.621543831525104, 1.1892280842167524, 1.189228084258143}
10. 31.934018261081896 {7.68390673000415, 1.1580466257874857, 1.1580466442083637}
11. 35.94852735276476 {8.728120306039568, 1.1359398469802164, 1.1359398469802167}
12. 39.958667911249044 {9.761254137563444, 1.1193729258217893, 1.1193729366147671}
13. 43.96605230982182 {10.787073092844249, 1.1064634532963247, 1.106463453859426}
14. 47.97160489901868 {11.807788618659542, 1.0961056906459448, 1.0961056906945121}
15. 51.97588952703774 {12.82479306504345, 1.0876034684862255, 1.0876034664703251}
16. 55.97926721093165 {13.839010079202765, 1.0804949575180882, 1.080494963279147}
17. 59.98197832493005 {14.851077984470912, 1.0744610077403525, 1.074461007788737}
18. 63.984188188422664 {15.861452791999216, 1.0692736039296842, 1.0692736040711004}
19. 67.98601365568287 {16.870469306017096, 1.064765347005559, 1.0647653469773446}
20. 71.98753928488613 {17.87837909015774, 1.0608104550155792, 1.0608104548266788}
21. 75.98882752337985 {18.885374937926727, 1.0573125310366371, 1.0573125310366371}
22. 79.98992532107854 {19.891607152896214, 1.0541964235515253, 1.054196423552261}
23. 83.99086853936525 {20.89719468439609, 1.0514026578026514, 1.051402657801257}
24. 87.991684959302 {21.90223292347443, 1.0488835382627837, 1.0488835382627837}
25. 91.99239637681097 {22.906799277797912, 1.0466003619355462, 1.0466003602665415}
26. 95.99302008903095 {23.910957221554426, 1.0445213892579266, 1.0445213891876484}
27. 99.99356996636286 {24.91475931725877, 1.0426203415559931, 1.0426203411852373}
28. 103.9940572373623 {25.918249456205892, 1.040875271850282, 1.0408752719438263}
29. 107.99449107128284 {26.921464583661063, 1.0392677081694692, 1.039267708169469}
30. 111.99487901585799 {27.924436022947617, 1.0377819885054531, 1.0377819885469288} 令 我在第32楼提到的那个四次方程的一个根 与T/3 相等，解出来，得到四个解：
${-3 I sqrt(sqrt(5)-2),3 I sqrt(sqrt(5)-2),-3 sqrt(2+sqrt(5)),3 sqrt(2+sqrt(5))}$ 刚才看了一下mathe一年前写的文档，很有收获。可以说，n=3的情况得到了解决
当 $T>=3\sqrt{2+\sqrt{5}}$,式子取最小值，则一个为
$\frac{r+\sqrt{-1+r^2+r^4}}{-1+r^2}$，其它2个数均为r，r为方程$2 r + \frac{r+\sqrt{-1+r^2+r^4}}{-1+r^2} = T$的一正根。
当 $T<3\sqrt{2+\sqrt{5}}$,式子取最小值，则所有的数都相等。
[ 本帖最后由 wayne 于 2009-3-24 14:00 编辑 ] 原帖由 wayne 于 2009-3-23 18:16 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
令 我在第32楼提到的那个四次方程的一个根 与T/3 相等，解出来，得到四个解：
${-3 I sqrt(sqrt(5)-2),3 I sqrt(sqrt(5)-2),-3 sqrt(2+sqrt(5)),3 sqrt(2+sqrt(5))}$
这种方法的确应该能够得到一个临界状态,但是不能够说明所有的临界状态都是这些数 试着用pari/gp写个程序来将极值的图画出来看看:
其中横坐标是和的值.图上三条曲线,最高红色曲线是极小值的对数.绿色曲线是取极值时一个变量的取值(小的那个),另外一条红色的折线是这个变量的数目.
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
代码:
get_error()=
{
0.00001
}
img(x)=
{
component(x,2)
}
get_roots(n,u,S)=
{
polroots(t^2*(S-u*t)^2/(n-u)^2-(t+(S-u*t)/(n-u))^2-1)
}
sv(n,S)=
{
local(x,v,mk,mv,mx,rts,r,r2);
mk=0;
mx=x=S/n;
mv=n*log(x+1.0/x);
for(u=1,n-1,
rts=get_roots(n,u,S);
for(h=1,length(rts),
r=rts;
if(abs(img(r))<get_error(),
r=real(r);
if(r>0&&r<x,
r2=(S-u*r)/(n-u);
v=u*log(r+1.0/r)+(n-u)*log(r2+1.0/r2);
if(v<mv,
mk=u;mx=r;mv=v
)
)
)
)
);
} 从上面的图中可以看出,对于n比较大的情况,结论也是挺简单的.也就是n个数相等或n-1个较小的数相等时才取到最小值.
现在我们证明这个结论.而这个结论我们已经知道在n=2时成立.
假设对于n=k-1时上面结论已经成立,
对于$n=k>=3$,我们根据我的附件里面的分析,可以知道,只有在k个数$x_1,x_2,...,x_k$的只取最多两种不同的值时达到最小值,也就是
$x_1=x_2=...=x_k=T/k$或$x_1=x_2=...=x_h,x_{h+1}=...=x_k,x_1^2x_k^2=(x_1+x_k)^2+1$时取到最小值
现在假设如果在某个$2<=h<=k-2$时可以取到最小值,那么我们得到
$x_2,x_3,...,x_h,x_{h+1},...,x_k$是k-1个数之和为$T-x_1$时的最小值情况,这个同归纳假设矛盾,所以不成里.
而对于h=1的情况,我们知道$x_1<x_2=...=x_h=...=x_{k-1}$是k-1个数和为$T-x_k$时的最小值情况,也同归纳假设矛盾,不成里.
所以我们知道只可能k个数都相同或较小的k-1个数相等这两种情况.