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楼主: mathe

[讨论] 陈计的一道代数不等式

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 楼主| 发表于 2009-3-23 10:48:23 | 显示全部楼层
原帖由 wayne 于 2009-3-22 13:22 发表
为了说明我的意思,先考虑最简单的n=2的情形:


在一般的情况下,即 b=T-a 。代入目标式子,得一关于a的五次多项式方程,该方程的各项系数含有T,以及具体的数值。也就是说,该方程不齐次。

进而可以说明,对 ...

呵呵,不过问题是这个五次方程求解还是比较容易的(至少用计算机非常容易解出 ),
$[x=T/2,x=T/2-sqrt(T^2-4*sqrt(T^2+1))/2,x=sqrt(T^2-4*sqrt(T^2+1))/2+T/2,x=T/2-sqrt(4*sqrt(T^2+1)+T^2)/2,x=sqrt(4*sqrt(T^2+1)+T^2)/2+T/2]$
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发表于 2009-3-23 13:39:19 | 显示全部楼层

回复 31# mathe 的帖子

n=3的情况,手算很复杂,我借助软件得到了解决:
当a+b+c=T>=$3 sqrt(2 + sqrt(5))=6.174513081814477$时,目标式的最小值在a=T-2r,b=r,c=r时取得,其中r为
关于x的一元四次方程 $4 x^4-4 T x^3+(T^2-1) x^2+2T x-1-T^2=0$的一正实根,
$r=T/4 - sqrt(T^2/4 + (1 - T^2)/4 + (-1 + T^2)/12 + (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) + (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12)/2 +sqrt(T^2/2 + (1 - T^2)/3 - (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) - (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12 - (-4*T + T^3 - T*(-1 + T^2))/(4*sqrt(T^2/4 + (1 - T^2)/4 + (-1 + T^2)/12 + (-47 - 26*T^2 + T^4)/(12*(-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)) + (-145 - 33*T^2 - 39*T^4 + T^6 + 12*sqrt(3)*sqrt(289 + 421*T^2 + 234*T^4 + 29*T^6 - T^8))^(1/3)/12)))/2$

否则,目标式的最小值 在三者相等时取得。

[ 本帖最后由 wayne 于 2009-3-23 13:51 编辑 ]
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发表于 2009-3-23 14:49:51 | 显示全部楼层
用数值解法求极值,通过夹逼原理一个一个尝试,却发现那个临界的T=6.0043029605431965656237025541486。精确度为最后一位,跟上面的用符号运算得到的值不一样, ,想不明白。

T=6.0043029605431965656237025541486时,最小值为15.645183630346711\`, {a=2.0014343198884506\`, b= 2.001434319722351\`, c= 2.001434320932394\`}

T=6.0043029605431965656237025541487时,最小值为15.64641104873914\`,
{a= 2.672257691572129\`, b=1.6660226344588271\`, c=1.6660226345122404\`}
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 楼主| 发表于 2009-3-23 16:12:46 | 显示全部楼层
$n>=3$时的一般情况我也没有解决,只是提供了数值解算法.
不过你上面的理论边界值$3sqrt(2+sqrt(5))$如何得出?感觉有问题.
我觉得应该是T<20.4176时肯定是全相等时
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发表于 2009-3-23 18:00:23 | 显示全部楼层

回复 34# mathe 的帖子

今天好累,下午睡了一觉,现在有精神专注这个题了

编了程一个小程序,得到数据如下,依次代表(T,Min,aMin,bMin,cMin):
5.        11.645629629629628        {1.6666666655686029, 1.6666666668495747, 1.6666666675818222}
6.        15.624999999999998        {2.000000022277276, 2.0000000100459974, 1.9999999676767264}
7.        19.809021501153637        {4.350981297069273, 1.324509350577613, 1.324509352353114}
8.        23.87617143253472        {5.525569422111218, 1.237215288944328, 1.2372152889444539}
9.        27.91208298442635        {6.621543831525104, 1.1892280842167524, 1.189228084258143}
10.        31.934018261081896        {7.68390673000415, 1.1580466257874857, 1.1580466442083637}
11.        35.94852735276476        {8.728120306039568, 1.1359398469802164, 1.1359398469802167}
12.        39.958667911249044        {9.761254137563444, 1.1193729258217893, 1.1193729366147671}
13.        43.96605230982182        {10.787073092844249, 1.1064634532963247, 1.106463453859426}
14.        47.97160489901868        {11.807788618659542, 1.0961056906459448, 1.0961056906945121}
15.        51.97588952703774        {12.82479306504345, 1.0876034684862255, 1.0876034664703251}
16.        55.97926721093165        {13.839010079202765, 1.0804949575180882, 1.080494963279147}
17.        59.98197832493005        {14.851077984470912, 1.0744610077403525, 1.074461007788737}
18.        63.984188188422664        {15.861452791999216, 1.0692736039296842, 1.0692736040711004}
19.        67.98601365568287        {16.870469306017096, 1.064765347005559, 1.0647653469773446}
20.        71.98753928488613        {17.87837909015774, 1.0608104550155792, 1.0608104548266788}
21.        75.98882752337985        {18.885374937926727, 1.0573125310366371, 1.0573125310366371}
22.        79.98992532107854        {19.891607152896214, 1.0541964235515253, 1.054196423552261}
23.        83.99086853936525        {20.89719468439609, 1.0514026578026514, 1.051402657801257}
24.        87.991684959302                {21.90223292347443, 1.0488835382627837, 1.0488835382627837}
25.        91.99239637681097        {22.906799277797912, 1.0466003619355462, 1.0466003602665415}
26.        95.99302008903095        {23.910957221554426, 1.0445213892579266, 1.0445213891876484}
27.        99.99356996636286        {24.91475931725877, 1.0426203415559931, 1.0426203411852373}
28.        103.9940572373623        {25.918249456205892, 1.040875271850282, 1.0408752719438263}
29.        107.99449107128284        {26.921464583661063, 1.0392677081694692, 1.039267708169469}
30.        111.99487901585799        {27.924436022947617, 1.0377819885054531, 1.0377819885469288}
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发表于 2009-3-23 18:16:58 | 显示全部楼层
令 我在第32楼提到的那个四次方程的一个根 与T/3 相等,解出来,得到四个解:
${-3 I sqrt(sqrt(5)-2),3 I sqrt(sqrt(5)-2),-3 sqrt(2+sqrt(5)),3 sqrt(2+sqrt(5))}$
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发表于 2009-3-24 13:56:01 | 显示全部楼层
刚才看了一下mathe一年前写的文档,很有收获。可以说,n=3的情况得到了解决

当 $T>=3\sqrt{2+\sqrt{5}}$,式子取最小值,则一个为
$\frac{r+\sqrt{-1+r^2+r^4}}{-1+r^2}$,其它2个数均为r,r为方程$2 r + \frac{r+\sqrt{-1+r^2+r^4}}{-1+r^2} = T$的一正根。

当 $T<3\sqrt{2+\sqrt{5}}$,式子取最小值,则所有的数都相等。

[ 本帖最后由 wayne 于 2009-3-24 14:00 编辑 ]
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 楼主| 发表于 2009-3-24 14:00:36 | 显示全部楼层
原帖由 wayne 于 2009-3-23 18:16 发表
令 我在第32楼提到的那个四次方程的一个根 与T/3 相等,解出来,得到四个解:
${-3 I sqrt(sqrt(5)-2),3 I sqrt(sqrt(5)-2),-3 sqrt(2+sqrt(5)),3 sqrt(2+sqrt(5))}$

这种方法的确应该能够得到一个临界状态,但是不能够说明所有的临界状态都是这些数
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 楼主| 发表于 2009-3-24 14:47:10 | 显示全部楼层
试着用pari/gp写个程序来将极值的图画出来看看:
其中横坐标是和的值.图上三条曲线,最高红色曲线是极小值的对数.绿色曲线是取极值时一个变量的取值(小的那个),另外一条红色的折线是这个变量的数目.
n=2:
t2.GIF
n=3:
t3.GIF
n=4:
t4.GIF
n=5:
t5.GIF

代码:
get_error()=
{
    0.00001
}

img(x)=
{
    component(x,2)
}

get_roots(n,u,S)=
{
    polroots(t^2*(S-u*t)^2/(n-u)^2-(t+(S-u*t)/(n-u))^2-1)
}

sv(n,S)=
{
    local(x,v,mk,mv,mx,rts,r,r2);
    mk=0;
    mx=x=S/n;
    mv=n*log(x+1.0/x);
    for(u=1,n-1,
        rts=get_roots(n,u,S);
        for(h=1,length(rts),
           r=rts[h];
           if(abs(img(r))<get_error(),
               r=real(r);
               if(r>0&&r<x,
                   r2=(S-u*r)/(n-u);
                   v=u*log(r+1.0/r)+(n-u)*log(r2+1.0/r2);
                   if(v<mv,
                       mk=u;mx=r;mv=v
                   )
               )
           )
        )
    );
    [mk,mx,mv]
}
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 楼主| 发表于 2009-3-24 15:16:14 | 显示全部楼层
从上面的图中可以看出,对于n比较大的情况,结论也是挺简单的.也就是n个数相等或n-1个较小的数相等时才取到最小值.
现在我们证明这个结论.而这个结论我们已经知道在n=2时成立.
假设对于n=k-1时上面结论已经成立,
对于$n=k>=3$,我们根据我的附件里面的分析,可以知道,只有在k个数$x_1,x_2,...,x_k$的只取最多两种不同的值时达到最小值,也就是
$x_1=x_2=...=x_k=T/k$或$x_1=x_2=...=x_h,x_{h+1}=...=x_k,x_1^2x_k^2=(x_1+x_k)^2+1$时取到最小值
现在假设如果在某个$2<=h<=k-2$时可以取到最小值,那么我们得到
$x_2,x_3,...,x_h,x_{h+1},...,x_k$是k-1个数之和为$T-x_1$时的最小值情况,这个同归纳假设矛盾,所以不成里.
而对于h=1的情况,我们知道$x_1<x_2=...=x_h=...=x_{k-1}$是k-1个数和为$T-x_k$时的最小值情况,也同归纳假设矛盾,不成里.
所以我们知道只可能k个数都相同或较小的k-1个数相等这两种情况.
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