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楼主: mathe

[讨论] 陈计的一道代数不等式

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发表于 2010-7-2 18:05:05 | 显示全部楼层
不得不感叹Mathematica的强大,再一次感叹Mathematica的强大!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-2 18:09:48 | 显示全部楼层
67# icesheep

呵呵,没细看,我这人向来粗心~~
很不错,链接里的那个定理非常有用!
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-2 18:43:52 | 显示全部楼层
楼上的代码不错呀,就是我有那么些看不明白
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 楼主| 发表于 2010-7-2 18:49:38 | 显示全部楼层
65# wayne


这不就验证了那个链接里的内容么

那个定理得意思就是,
取F=Fmin时有,x[1]=x[2](这个只是说相等其实也是待定的),x[4]=7,x[3]待定

这样吧x[3]当作主元,x[1]=x[2]可以从限制条件里解出来
...
icesheep 发表于 2010-7-2 17:42


如果这样,我们可以再添加一个条件,对于可导的情况,对于两个非边界的取值,要求它们导数再相等
另外,题目中表达方式不是很好,没包含x[k]不存在的情况。
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发表于 2010-7-5 19:09:47 | 显示全部楼层
以下是我的递推方法解N个数的陈计代数不等式:思想如下,请大师们指教.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
n个正数的和为T,那么这n个数的陈计代数不等式的最小值记做F(n,T).
那么n=2时,引用29楼的结果:
    $T>=2*sqrt(2+sqrt(5)) $        $F(2,T)=2*sqrt(T^2+1)-2$
    $T<2*sqrt(2+sqrt(5))$        $ F(2,T)=(T/2+2/T)^2 $
n=3时,
   $ a+b=T-c$
   $F(3,T)=min{F(2,T-c)*(c+1/c)}$
       将F(2,T-c)的值根据c的取值范围代入上式解一元方程的最小值。
    $ c<=T-2*sqrt(2+sqrt(5))$  时   $F(2,T-c)=2*sqrt((T-c)^2+1)-2$     式1
     $c>T-2*sqrt(2+sqrt(5))$ 时     $F(2,T-c)=((T-c)/2+2/(T-c))^2$      式2
其实原题不妨设a<=b<=c时取最小值,这时c>=T/3,
      若$T/3>T-2*sqrt(2+sqrt(5)) $  那么就不需要计算式1了。
---------------------
求出了F(3,T)的表达式,F(4,T)也可以用上述方法转化为求一元方程的最小值。
依此类推。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-7-6 17:10:22 | 显示全部楼层
74# mathe

mathe你玩过根轨迹吗?
你很早以前得到,式子取最值时,x1满足下面的方程
$f(X)=(n^2-2*n+1)*X^4+(2-2*n)*S*X^3+(S^2-n^2+4*n-4)*X^2+(2*n-4)*S*X-S^2-1$=0

考虑一下该方程的根随着S变化而变化?
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 楼主| 发表于 2010-7-6 17:44:06 | 显示全部楼层
进分析这个参数方程的根还没有用的,我们对于每个S,还需要比较对应的解X得出的极值和n个x全部相等时的值相比较哪个小。当然由于这个附近X的变换很大,所以大小发生变化也在这个附近
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发表于 2010-7-7 09:45:20 | 显示全部楼层
78# mathe
不外乎就两种状态,要么所有的x都相等,要么n-1个x相等,为r,最大的一个是S-(n-1)r。

发生锐变时,也就是这两种状态的跃迁,也就是说,不用比较
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 楼主| 发表于 2010-7-7 10:33:39 | 显示全部楼层
要不然你将两个正根都画出来?
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发表于 2010-7-7 11:15:57 | 显示全部楼层
80# mathe
n=3,
方程 $f(X)=4*X^4-4*S*X^3+(S^2-1)*X^2+2*S*X-S^2-1$=0的四个根随S 如图变化
其中,我们关注的是那条蓝色的线:

Untitled-1.png
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