陈计的一道代数不等式

mathematica

不得不感叹Mathematica的强大，再一次感叹Mathematica的强大！

wayne

67# icesheep 呵呵，没细看，我这人向来粗心~~ 很不错，链接里的那个定理非常有用！

mathematica

楼上的代码不错呀，就是我有那么些看不明白

mathe

65# wayne 这不就验证了那个链接里的内容么 那个定理得意思就是， 取F=Fmin时有，x[1]=x[2]（这个只是说相等其实也是待定的）,x[4]=7,x[3]待定 这样吧x[3]当作主元，x[1]=x[2]可以从限制条件里解出来 ... icesheep 发表于 2010-7-2 17:42

如果这样，我们可以再添加一个条件，对于可导的情况，对于两个非边界的取值，要求它们导数再相等 另外，题目中表达方式不是很好，没包含x[k]不存在的情况。

056254628

以下是我的递推方法解N个数的陈计代数不等式：思想如下，请大师们指教. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ n个正数的和为T，那么这n个数的陈计代数不等式的最小值记做F(n,T). 那么n＝2时，引用29楼的结果： $T>=2*sqrt(2+sqrt(5)) $ $F(2,T)=2*sqrt(T^2+1)-2$ $T<2*sqrt(2+sqrt(5))$ $ F(2,T)=(T/2+2/T)^2 $ n=3时， $ a+b=T-c$ $F(3,T)=min{F(2,T-c)*(c+1/c)}$ 将F(2,T-c)的值根据c的取值范围代入上式解一元方程的最小值。 $ c<=T-2*sqrt(2+sqrt(5))$ 时 $F(2,T-c)=2*sqrt((T-c)^2+1)-2$ 式1 $c>T-2*sqrt(2+sqrt(5))$ 时 $F(2,T-c)=((T-c)/2+2/(T-c))^2$ 式2 其实原题不妨设a<＝b<=c时取最小值，这时c>=T/3, 若$T/3>T-2*sqrt(2+sqrt(5)) $ 那么就不需要计算式1了。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 求出了F(3,T)的表达式，F(4,T)也可以用上述方法转化为求一元方程的最小值。 依此类推。

wayne

74# mathe mathe你玩过根轨迹吗？ 你很早以前得到，式子取最值时，x1满足下面的方程 $f(X)=(n^2-2*n+1)*X^4+(2-2*n)*S*X^3+(S^2-n^2+4*n-4)*X^2+(2*n-4)*S*X-S^2-1$=0 考虑一下该方程的根随着S变化而变化？

mathe

进分析这个参数方程的根还没有用的，我们对于每个S,还需要比较对应的解X得出的极值和n个x全部相等时的值相比较哪个小。当然由于这个附近X的变换很大，所以大小发生变化也在这个附近

wayne

78# mathe 不外乎就两种状态，要么所有的x都相等，要么n-1个x相等，为r，最大的一个是S-(n-1)r。 发生锐变时，也就是这两种状态的跃迁，也就是说，不用比较

mathe

要不然你将两个正根都画出来？

wayne

80# mathe n=3， 方程 $f(X)=4*X^4-4*S*X^3+(S^2-1)*X^2+2*S*X-S^2-1$=0的四个根随S 如图变化 其中，我们关注的是那条蓝色的线：