数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 48169|回复: 107

[讨论] 陈计的一道代数不等式

[复制链接]
发表于 2008-2-6 09:59:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
精华
陈计是武汉大学数学系的,曾自称中国不等式第一人。
擅长各种几何不等式。不过他的一道代数不等式给我留下很深的影响
如果
a,b>0,而且a+b=4
求证
$(a+1/a)(b+1/b)>=25/4$
同样,三个数时
如果a,b,c>0,而且a+b+c=6
求证
$(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=125/8$
如果四个数时,那么情况如何?请问这时最小值是多少,5个以上的数又如何?

一般解法在107#
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-6 21:46:34 | 显示全部楼层
看了下,会证简单的,2个数的时候,以上的不会了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-2-7 08:46:49 | 显示全部楼层
贴出来看看,3个数的可以把2个数情况稍微推广一下加以利用的。
4个以上应该要用微积分了,至少我无法用初等方法解答
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-7 11:26:28 | 显示全部楼层
这里提供两个附件,看官们可以瞧瞧^_^
Topics in inequalities.pdf (382.88 KB, 下载次数: 88)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-2-7 16:28:24 | 显示全部楼层
你提供的附件里面有没有包含上面的不等式?
内容太多了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-8 17:17:05 | 显示全部楼层
不好意思那,我看了一下是没有mathe说的题目的!

原本是想给各位看官看看,因为也是关于不等式滴,希望能给大家提供点思路

偶也没有细看(该打PP,不认真!!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-9 12:59:16 | 显示全部楼层
中国不等式第一人?
冷刚松的不等式也很强
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-9 21:08:22 | 显示全部楼层
下载看看~~~~~~~~~
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-9 21:41:01 | 显示全部楼层

2个数的时候,不知道对不对

证明:as a,b>0 and a+b=4
      assume $f=(a+1/a)(b+1/b)=ab+(a^2+b^2+1)/(ab)$
      as $a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$
      then $f>=ab+[(a+b)^2-2ab+1]/(ab)=ab+(16-2ab)/(ab)+1/(ab)=ab+17/(ab)-2$
      assume $ab=t$ then $f>=t+17/t-2$
      所以$a,b$是$x^2-4x+t=0$的两个根
      所以$\Delta=4^4-4*t>=0$
      所以$t<=4$
      即$ab<=4$
      易证:$y=x+17/x$在$(0,sqrt(17))$是递减的,即在(0,4]是递减的
            所以当x=4时,$ymin=4+17/4$
      所以  $f=t+17/t-2>=4+17/4-2=25/4$

[ 本帖最后由 mathe 于 2008-2-12 17:18 编辑 ]

评分

参与人数 1威望 +3 贡献 +1 经验 +2 鲜花 +2 收起 理由
mathe + 3 + 1 + 2 + 2 没有错误。其中有一处拼写错误,这也实在是 ...

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-9 21:56:15 | 显示全部楼层
这样看起来就是累啊,好希望数学论坛多一个数学公式的嵌入啊~

评分

参与人数 1威望 +2 鲜花 +2 收起 理由
troy + 2 + 2 赞一个,问题提的很好,期待数学公式的嵌入

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-1-21 23:38 , Processed in 0.099136 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表