陈计的一道代数不等式

mathe · 发表于 2008-2-6 09:59:23

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陈计是武汉大学数学系的，曾自称中国不等式第一人。擅长各种几何不等式。不过他的一道代数不等式给我留下很深的影响如果 a,b>0,而且a+b=4 求证 $(a+1/a)(b+1/b)>=25/4$ 同样，三个数时如果a,b,c>0,而且a+b+c=6 求证 $(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=125/8$ 如果四个数时，那么情况如何？请问这时最小值是多少，5个以上的数又如何？一般解法在107#

troy · 发表于 2008-2-6 21:46:34

看了下，会证简单的，2个数的时候，以上的不会了

mathe · 发表于 2008-2-7 08:46:49

贴出来看看，3个数的可以把2个数情况稍微推广一下加以利用的。 4个以上应该要用微积分了，至少我无法用初等方法解答

kofeffect · 发表于 2008-2-7 11:26:28

这里提供两个附件，看官们可以瞧瞧^_^

Topics in inequalities.pdf (382.88 KB, 下载次数: 88)

Problems in Elementary Number Theory.pdf (415.92 KB, 下载次数: 34)

mathe · 发表于 2008-2-7 16:28:24

你提供的附件里面有没有包含上面的不等式？内容太多了

kofeffect · 发表于 2008-2-8 17:17:05

不好意思那，我看了一下是没有mathe说的题目的！原本是想给各位看官看看，因为也是关于不等式滴，希望能给大家提供点思路偶也没有细看（该打PP，不认真！！

）

cauchy · 发表于 2008-2-9 12:59:16

中国不等式第一人？冷刚松的不等式也很强

troy · 发表于 2008-2-9 21:08:22

下载看看~~~~~~~~~

troy · 发表于 2008-2-9 21:41:01

证明：as a,b>0 and a+b=4 assume $f=(a+1/a)(b+1/b)=ab+(a^2+b^2+1)/(ab)$ as $a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$ then $f>=ab+[(a+b)^2-2ab+1]/(ab)=ab+(16-2ab)/(ab)+1/(ab)=ab+17/(ab)-2$ assume $ab=t$ then $f>=t+17/t-2$ 所以$a,b$是$x^2-4x+t=0$的两个根所以$\Delta=4^4-4*t>=0$ 所以$t<=4$ 即$ab<=4$ 易证：$y=x+17/x$在$(0,sqrt(17))$是递减的,即在(0,4]是递减的所以当x=4时，$ymin=4+17/4$ 所以 $f=t+17/t-2>=4+17/4-2=25/4$ [ 本帖最后由 mathe 于 2008-2-12 17:18 编辑 ]

kenmark · 发表于 2008-2-9 21:56:15

这样看起来就是累啊，好希望数学论坛多一个数学公式的嵌入啊～

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[讨论] 陈计的一道代数不等式

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2个数的时候，不知道对不对

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