贝特朗三种方法算出的应该都是条件概率，题意要求的是整体概率，这好象是一个无限集问题。
因为投针角度在任意方向上产生试验结果可能相同，所以可仅考虑投针在一方向情况而将问题简单化为二维问题。经简单积分计算，圆内针长超过√3的事件发生的概率
P=(6L-3√(3)-2π)/(12L-6π) (1)
其中L是针长
L=2时，P=0.10109…≈37/366
L= 2.255649583…时，P=1/4
L= 2.598076211…时，P=1/3
L=20时，P= 0.49070…
L=∞时，P= 1/2
概率和针长有关，那一种情况更能反映随机性呢？
我认为L趋于无穷时更能反映随机性（L≥20时，已很接近无穷时概率），此时投针试验中，仅要改为针的延长线就可以了。而“无穷长针”的结果就是我当初认可的沿直径均匀分布结果，即贝特朗第二种算法。
有兴趣者可通过实际投针试验来验证上面的概率计算公式(1)
本帖最后由 wayne 于 2010-8-26 09:43 编辑
90# wayne
继续：
红色区域表示针与圆有两交点且弦长大于根号3，蓝色加红色区域表示针与圆有两交点。
比较明显，这个积分是 与针长同圆的半径的比例(L/R)有关的。
由于海伦公式是根式里面还套有根式，不定积分无初等原函数，故只能数值积分了。
下面的数据是 L/R 的比值 对应的概率：
{{2, 0.137081}, {3, 0.382352}, {4, 0.558076}, {5, 0.676251}, {6, 0.755738}, {7, 0.810429}, {8, 0.849152}, {9, 0.877355}, {10,0.898436}, {11, 0.914561}, {12, 0.927148}, {13, 0.93715}, {14, 0.945224}, {15, 0.951832}, {16, 0.957307}, {17, 0.961894}, {18,0.965774}, {19, 0.969085}, {20, 0.971934}, {21, 0.974403}, {22,0.976556}, {23, 0.978445}, {24, 0.980113}, {25, 0.981592}, {26,0.982909}, {27, 0.984089}, {28, 0.985148}, {29, 0.986104}, {30,0.986969}, {31, 0.987755}, {32, 0.988471}, {33, 0.989125}, {34, 0.989724}, {35, 0.990274}, {36, 0.99078}, {37, 0.991247}, {38,0.991679}, {39, 0.99208}, {40, 0.992451}, {41, 0.992797}, {42,0.993119}, {43, 0.99342}, {44, 0.993701}, {45, 0.993964}, {46,0.994211}, {47, 0.994443}, {48, 0.99466}, {49, 0.994865}, {50,0.995059}, {51, 0.995241}, {52, 0.995413}, {53, 0.995576}, {54,0.995731}, {55, 0.995877}, {56, 0.996016}, {57, 0.996147}, {58,0.996272}, {59, 0.996392}, {60, 0.996505}, {61, 0.996613}, {62,0.996716}, {63, 0.996814}, {64, 0.996908}, {65, 0.996998}, {66,0.997084}, {67, 0.997166}, {68, 0.997244}, {69, 0.99732}, {70,0.997392}, {71, 0.997461}, {72, 0.997528}, {73, 0.997592}, {74,0.997653}, {75, 0.997712}, {76, 0.997769}, {77, 0.997824}, {78,0.997877}, {79, 0.997927}, {80, 0.997976}, {81, 0.998023}, {82, 0.998069}, {83, 0.998113}, {84, 0.998155}, {85, 0.998196}, {86, 0.998236}, {87, 0.998274}, {88, 0.998311}, {89, 0.998347}, {90, 0.998382}, {91, 0.998416}, {92, 0.998448}, {93, 0.99848}, {94, 0.99851}, {95, 0.99854}, {96, 0.998569}, {97, 0.998596}, {98,0.998624}, {99, 0.99865}, {100, 0.998675}}
本帖最后由 wayne 于 2010-8-26 09:50 编辑
92# sheng_jianguo
我的好像有问题，:L 。
所以可仅考虑投针在一方向情况而将问题简单化为二维问题
sheng_jianguo 发表于 2010-8-26 09:38 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
这个不妥吧，本来就只有两个自由变量的：
问题相当于 定长线段在平面上随便放置 ，线段的两个端点到定点(即圆心) 的距离是 自由变量，我们要求的是条件概率。
问题本来是三维，针中点相对于圆心坐标（2维），针与水平线夹角（1维）。但对于任意一个夹角，试验结果可能性是相同的，举例说，所有15度夹角中，圆内针长超过√3的事件发生的概率与所有30度夹角中，圆内针长超过√3的事件发生的概率是相同的，并且等于所有夹角中，圆内针长超过√3的事件发生的概率。所以只需考虑某一特定夹角（如水平夹角）情况。
本帖最后由 wayne 于 2010-8-26 12:58 编辑
96# sheng_jianguo
问题本来是三维
你是对的，问题本身的确是三个自由度的。我是在前面的推导过程中 消去了角度这个变量，但还没马上去有意识的形成观念上的认识，呵呵。所以就视为二维了。
那固定了一个方向之后，你具体是怎么计算的呢？
这里似乎有一个弦的定义问题，弦是定义为任意直线与圆相割所得的线段，还是定义为连接圆周上任意两点的线段，若是前一种定义，则是投针法的结果1/2，若是后一种定义，则是1/3，贝特朗第二种算法也应该得到1/3的结果，因为弦数应该按弧长来计算，第三种算法则不符合定义，故不能得出正确结果。
当然，按后一种定义，则弦在圆面内的分布是不均匀的，越靠近圆周，弦越稠密。
98# mjs1wh
你这两个定义好像是一回事吧，:Q: :lol
第三种算法则不符合定义，故不能得出正确结果。 ...
mjs1wh 发表于 2010-8-26 13:06 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
第三种算法将弦定义为圆中一点，过这点与直径垂直的直线与圆相割所得的线段。