过三角形内一点与三角形两个顶点作圆，求半径之和的最小值

lsr314

如图。
点P不限制在三角形内，可以是平面上任意位置。点在三角形边上的时候，半径视为无限大，所以可以排除这种情况。

lsr314

点在三角形一个顶点上的时候，一个半径为原三角形外径，另外两个极限半径取决于逼近路径，这种情况应该也可以排除。

lsr314

假设点P到三条边$a,b,c$的张角分别是$x,y,z$,则应满足$(a cosx)/\sin^2 x=(b cosy)/\sin^2 y=(c cosz)/\sin^2 z$

lsr314

一般情况是无法尺规作出的，除了等边三角形，等腰三角形也不行

hujunhua

猜想是内心或垂心。

内心的话，三个外接圆圆心及原三角形的三个顶点，这六点共圆，可能是驻点条件。
垂心的话，三个半径相等，都等于原三角形的外径。这也可能是驻点条件。

hujunhua

第三种可能：P是三个圆心的等角中心。因为等角中心具有网络长度最小性。

mathe

lsr314的结论是对的，也就是P点对三边张角x,y,z满足条件
${1-\cos^2(x)}/{\cos(x)}:{1-\cos^2(y)}/{\cos(y)}:{1-\cos^2(z)}/{\cos(z)}=a : b : c$而且$x+y+z=2\pi$
对于三角形内部的点P,显然只能三个角都是钝角
由于函数${1-\cos^2(x)}/{\cos(x)}$在$x\in(pi/2,pi)$单调增,所以给定$a,b,c$后，这样的解最多只有唯一一组。
而由于函数${1-\cos^2(x)}/{\cos(x)}$值域覆盖$(-\infty,0)$整个区间，所以这样的解也必然存在。
设$u=cos(x),v=cos(y),w=cos(z)$
于是存在参数$h<0$使得
\(\begin{cases}u^2+v^2+w^2-1-2uvw=0\\
1-u^2-ahu=0\\
1-v^2-bhv=0\\
1-w^2-chw=0
\end{cases}\)
这个方程组的解正常情况应该无法尺规作图

mathe

试着计算了一下，h好像满足7次方程
$((c^2*b^4 + c^4*b^2)*h^6 + 3*c^2*b^2*h^4 - 1)*a^8 + ((2*c^3*b^5 + 2*c^5*b^3)*h^7 + 4*c^3*b^3*h^5 + (4*c*b^3 + 4*c^3*b)*h^3 + 8*c*b*h)*a^7 + ((-2*c^2*b^6 - 8*c^4*b^4 - 2*c^6*b^2)*h^6 + (5*c^2*b^4 + 5*c^4*b^2)*h^4 + 18*c^2*b^2*h^2 + (4*b^2 + 4*c^2))*a^6 + ((2*c^3*b^7 + 4*c^5*b^5 + 2*c^7*b^3)*h^7 + (28*c^3*b^5 + 28*c^5*b^3)*h^5 + (-8*c*b^5 + 12*c^3*b^3 - 8*c^5*b)*h^3 + (-8*c*b^3 - 8*c^3*b)*h)*a^5 + ((c^2*b^8 - 8*c^4*b^6 - 8*c^6*b^4 + c^8*b^2)*h^6 + (5*c^2*b^6 - 43*c^4*b^4 + 5*c^6*b^2)*h^4 + (92*c^2*b^4 + 92*c^4*b^2)*h^2 + (-6*b^4 + 124*c^2*b^2 - 6*c^4))*a^4 + ((2*c^5*b^7 + 2*c^7*b^5)*h^7 + (4*c^3*b^7 + 28*c^5*b^5 + 4*c^7*b^3)*h^5 + (4*c*b^7 + 12*c^3*b^5 + 12*c^5*b^3 + 4*c^7*b)*h^3 + (-8*c*b^5 - 176*c^3*b^3 - 8*c^5*b)*h)*a^3 + ((c^4*b^8 - 2*c^6*b^6 + c^8*b^4)*h^6 + (3*c^2*b^8 + 5*c^4*b^6 + 5*c^6*b^4 + 3*c^8*b^2)*h^4 + (18*c^2*b^6 + 92*c^4*b^4 + 18*c^6*b^2)*h^2 + (4*b^6 + 124*c^2*b^4 + 124*c^4*b^2 + 4*c^6))*a^2 + ((4*c^3*b^7 - 8*c^5*b^5 + 4*c^7*b^3)*h^3 + (8*c*b^7 - 8*c^3*b^5 - 8*c^5*b^3 + 8*c^7*b)*h)*a + (-b^8 + 4*c^2*b^6 - 6*c^4*b^4 + 4*c^6*b^2 - c^8)$

比如a=3,b=4,c=5代入，可以得出h的唯一实数解$h=-0.38445673438149049164823585238004813112$
对应$u=-0.57768299672889968309298431721915022210,v=-0.49252536148013458350913989330318536698,w=-0.42586704246792957863011894391215961291$
对应P对三边的张角为$2.1866836005523693131071085318687267947,2.0857854252597419702176222143504806709,2.0107162813674751936005560203397983028$
或者转化为角度分别为$125.28774144212152688480976856334790061°,119.50670183728282036588128918543970860°,115.20555672059565274930894225121239079°$
三个角还是挺接近的
其中
h满足的方程为$6534375*h^7 - 2098350*h^6 + 2379375*h^5 + 70000*h^4 + 66360*h^3 + 137600*h^2 - 18000*h + 9856=0$
$w=(3485*h^3 - 525*h^2 + 500*h + 12)/(17425*h^4 - 2250*h^3 + 3125*h^2 + 100)$
也可以写成
$w=-579816875/258888*h^6 + 860311245/345184*h^5 - 791608975/1035552*h^4 + 26134375/97083*h^3 + 39656453/258888*h^2 - 7436455/194166*h + 34475/1541$
$v=2617145696875/493440528*h^6 - 751565965225/164480176*h^5 + 11877977875/8811438*h^4 - 10393749725/26434314*h^3 - 3075977915/10280011*h^2 + 5985685925/92520099*h - 170465615/4405719$
$u=-145004315625/67138288*h^6 + 39222270225/19182368*h^5 - 62102287125/134276576*h^4 + 7871965425/33569144*h^3 + 4683924495/33569144*h^2 - 84892200/4196143*h + 11148845/599449$

mathe

利用链接https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... =%B8%F9%CA%BD%BD%E2
中工具判断a=3,b=4,c=5时对应的h的方程，得出Galios群得出
Symmetric group G acting on a set of cardinality 7
Order = 5040 = 2^4 * 3^2 * 5 * 7
所以显然这个值是不可以尺规作图的

hujunhua

昨天带个iPad出门，乱猜一气