和欧拉线垂直的梅涅劳斯线

数学星空

透视轴和三边交点关于各边中点的对称点共线，此线方程为：

\(4ak^2s^2+(2a^4y-a^2b^2y-a^2c^2y-b^4y+2b^2c^2y-c^4y+4ab^2s-4b^2sx+4c^2sx)k+4as^2=0\)

即：

\(\frac{1+k^2}{k}+\frac{2a^4y-a^2b^2y-a^2c^2y-b^4y+2b^2c^2y-c^4y+4ab^2s-4b^2sx+4c^2sx}{4as^2}=0\)


简化成重心坐标为：


\(\frac{1+k^2}{k}+\frac{a^2x_1+b^2y_1+c^2z_1}{s}=0\)

mathe

数学星空的表达式验证了透视轴的对偶三坐标变换全部平行，也就是方向不变，这个就是wayne方向。梅涅劳斯线总是和欧拉线垂直，不知道wayne方向是否有类似的优秀性质。
，如图三种颜色分别代表从三个不同的点出发直至wayne方向直线，最后得到三条彩色直线就是目标直线，它们平行。

mathe

作图结果显示wayne方向还是欧拉线的垂直方向，或者说它们和梅涅劳斯线平行。

hujunhua

hujunhua 发表于 2019-4-13 16:42
ABC是静止三角形，DEF是滑动三角形，两者保持着透视关系。
我们关注了透视中心关于静三角形ABC的梅涅劳斯 ...

这几天试用geogebra的各种数学软件，发现一点都不简陋，其实代数区功能强大的很。即使iPad版的也很强大。
看帮助文件发现的。不过帮助文档不完善，好些命令和函数的帮助文档还空着待人（有权限的用户）撰写。

mathe

代数区基本没接触，不过几何区已经很强大了，不过有些界面没处理好，有点不方便

mathe

52#发现wayne方向总是和梅涅劳斯线平行，那么给定AB中垂线上一点D,是否比如可以找到AB中垂线上唯一的D',使得D对应的梅涅劳斯线等于D'的wayne方向？这个D和D'之间的对应关系是AB中垂线上的射影变换吗？

mathe

52#/53#发现了wayne方向和梅涅劳斯线应该都同欧拉线垂直，但是没有相应的证明。
从上面图中可以发现，对于任意三角形ABC,以三边为底向三角形内部做相似等腰三角形ABD, BCE, CAG,
那么当CD//AE//BG时（通常有两个解），wayne方向将和梅涅拉斯线完全重合。而我们如果能够证明这一点，就可以证明wayne方向和梅涅拉斯线总是平行的
也就是需要证明图上有${AJ}/{JC}={CO}/{AO}$等
这个等式应该同样可以通过三角函数计算得出

mathe

看右图，有${AJ}/{JC}={AB}/{BH}$而${CO}/{AO}={CD}/{AE}$
设$/_EAC=t, /_BAD=\alpha$
而${AH}/{BH}={S_{\Delta ADC}}/{S_{\Delta BDC}}={AC\sin(t)}/{BC\sin|C-t|}={sin(B)\sin(t)}/{sin(A)\sin|C-t|}$
$EC=a/{2\cos(\alpha)}$,而${EC}/{sin(t)}={AE}/{sin|\alpha-C|}$,得出$AE={a\sin|\alpha-C|}/{2\cos(\alpha)\sin(t)}$
而$DA=c/{2\cos(\alpha)},{DA}/{sin(t)}={DC}/{sin|\alpha-A|}$,得出$DC={c\sin|\alpha-A|}/{2\cos(\alpha)\sin(t)}$
类似由$BD=c/{2\cos(\alpha)}$,以及${BD}/{sin|C-t|}={CD}/{sin|B-\alpha|}$得出
$DC={c\sin|B-\alpha|}/{2\cos(\alpha)\sin|C-t|}$, 所以${\sin|\alpha-A|}/{\sin(t)}={\sin|B-\alpha|}/{sin|C-t|}$
于是我们可以有
$AH : BH={\sin|\alpha-A|}/{sin(A)} : {\sin|B-\alpha|}/{sin(B)}$  （1）
$CD : AE = {sin(C)}/{sin|alpha-C|} : {sin(A)}/{sin|\alpha-A|}$      (2)
同理，类似(1)式，我们应该可以有$AJ : JC = {\sin|\alpha-A|}/{sin(A)} : {\sin|C-\alpha|}/{sin(C)} = CD : AE= CO : AO$

wayne

额。才留意到，我啥都没干，竟然在这个主题里 出现频次 这么高，