和欧拉线垂直的梅涅劳斯线

mathe

应该将wayne双曲线表示为重心坐标或线坐标方程。由于已知wayne直线经过重心和hujunhua位似中心，方程还是很简单的，比如wayne双曲线应该满足方程$(b^2-c^2)/x+(c^2-a^2)/y+(a^2-b^2)/z=0$.
另外把z=1-x-y代入上面方程可以得出曲线在仿射坐标系下方程，通过判断二次项系数容易得出a,b,c互不相等时曲线是双曲线，由此确定了wayne双曲线在非退化形式只能是双曲线。
于是我们可以有一个问题，既然wayne双曲线只能是双曲线，其离心率必然有一个下确界，这个下确界是多少呢？会是1吗？还是$sqrt{2}$?

mathe

另外需要提及一下，当三角形为等腰三角形时，wayne双曲线退化为直线，即三角形对称轴，这时曲线不经过底边俩端点。而三角形为正三角形时，曲线退化为一点。这从重心坐标方程也能看出其异样。

mathe

非常让人惊讶，一直以为wayne双曲线应该有着不同的离心率，可是刚刚查询了一下，发现垂心的等角共轭是外心，也就是说wanye双曲线的等角共轭，称其为wayne伴侣直线吧，必然经过三角形的外心，这意味着根据老封给出的离心率公式$e^2=2/{1+-d/R}$，d为0,离心率必然为常数$sqrt{2}$。也就是说，所有的wayne双曲线都是相似的！
于是我们还可以得出所有wayne双曲线的两条渐近线相互垂直，或者说它和反比例函数$y=1/x$是相似的。

mathe

由此我们可以构造一道几何练习题，已知三角形ABC,分别以AB,BC为底边向三角形内侧方向做相似的等腰三角形ABD和BCF使得CD平行AF. 再分别以BC和CA为底边向三角形内侧方向做相似的等腰三角形BCG和CAH使得AG平行BH,而且G点不同于F点，求证AF垂直AG。

hujunhua

可以研究一下问题的对偶

三角形ABC与DEF有透视中心（即对应顶点的连线共点），按迪沙格定理必有透视轴（对应边的交点共线）。
我们研究了透视中心（及其梅涅劳斯线），发现了一些有趣的关系。
对偶地，透视轴（及其塞瓦点——梅涅劳斯线的逆）也肯定蕴藏了一些宝石。

透视轴的轨迹（即包络，可视为线素曲线）是一条二级曲线，三角形ABC的三边是它的切线。
重心的对偶——无穷远线也是它的切线，故它应该是一条抛物线。
我们就叫它 wayne 抛物线吧
垂心的对偶也应是它的切线，还不清楚它的特性。
在滑动过程中，DEF有三次机会退化到共线，其中一次是无穷远线，前已述。还有两次是有穷远线。
由于有穷的DEF的重心为不动点，即ABC的重心，所以这两条有穷远线相交于重心。
这两条有穷远线当然也是 wayne抛物线的切线。

类比透视中心的梅涅劳斯线共点（一个无穷远点），猜想透视轴的塞瓦点共线。
诚如是，则该线亦必过重心。猜想它就是 wayne 直线。
该线的对偶（一个点，可视为线束）应是 wayne 抛物线的三坐标反演。只是这种反演如何定义还是问题。

手头只有一个平板，不方便画图，只好瞎猜一气了。

(配一个wayne抛物线的图，绿色wayne抛物线，红色为wayne双曲线)

hujunhua

ABC是静止三角形，DEF是滑动三角形，两者保持着透视关系。
我们关注了透视中心关于静三角形ABC的梅涅劳斯线，却忽视了透视中心关于动三角形的梅涅劳斯线。
用板板上简陋的GeoGebra画了一下，发现这两条梅涅劳斯线及透视轴三线共点。
对偶地，透视轴分别关于动静两个三角形的塞瓦点应该与透视中心三点共线。

mathe

垂心时D,E,F都是无穷远点，三点共线，结果竟然和重心相同？

mathe

前面对偶问题弄错了。如果我们对偶的把A,B,C三点对偶成三角形三条边，并且指定三角形重心为无穷远直线的对偶(这样在三坐标反演中正好对偶的点和直线坐标形式相同)，那么三角形中线的对偶就是三角形一边和无穷远直线的交点，所以为边上的无穷远点才对。于是过三角形顶点做对边平行线的对偶才是对边的中点。
而垂直关系的直线被映射为对原点(重心)张角为直角的两点，所以中垂线被映射为过重心做重心和顶点连线的垂线和过顶点平行线的交点，所以后面形式会很复杂。

mathe

看来透视轴的轨迹不是二次曲线。
由于Geogebra不提供直线系的包络功能，而我们知道二次直线系关于一条圆锥曲线的配极变换是二次曲线，
所以我做了透视轴LMK关于三角形ABC外接圆的极点$A_1$,然后让Geogebra描出了$A_1$的轨迹（图上绿色曲线）
然后下一步在绿色曲线上取五个点，过五点做二次曲线判断是否和这个轨迹重叠。开始我五点取得很分散，得到结果是非常匹配的
所以判断轨迹是二次曲线，然后在对过五点的二次曲线上一个动点做切线，做切线关于三角形外接圆的极点的轨迹就可以得到原先透视轴的包络曲线了。
但是我现在将绿色曲线上五个点移动到比较接近的位置（为了避免计算误差问题，把Geogebra计算精度设置为精确到小数点后10位），马上发现过五点的圆锥曲线（蓝色曲线）远远偏离绿线，说明绿线应该不是二次曲线，只是非常奇怪和二次曲线很接近。

根据另外一个帖子经验，作图偏移更应该是由计算误差被放大引起。所以绿色曲线是圆锥曲线的可能性更大。

mathe

透视轴还不明白其中道理，但是DF的轨迹是和角B平分线，对应中位线和AB,BC中垂线相切的抛物线