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楼主: mathe

[原创] 和欧拉线垂直的梅涅劳斯线

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发表于 2019-4-17 19:42:38 | 显示全部楼层
透视轴和三边交点关于各边中点的对称点共线,此线方程为:

\(4ak^2s^2+(2a^4y-a^2b^2y-a^2c^2y-b^4y+2b^2c^2y-c^4y+4ab^2s-4b^2sx+4c^2sx)k+4as^2=0\)

即:

\(\frac{1+k^2}{k}+\frac{2a^4y-a^2b^2y-a^2c^2y-b^4y+2b^2c^2y-c^4y+4ab^2s-4b^2sx+4c^2sx}{4as^2}=0\)


简化成重心坐标为:


\(\frac{1+k^2}{k}+\frac{a^2x_1+b^2y_1+c^2z_1}{s}=0\)

点评

方程显示直线的斜率不变与K值无关,k值变化时是一组平行线  发表于 2019-4-17 22:08
是的,目前得到结果显示没有不动点。  发表于 2019-4-17 21:40
奇怪,这个透视轴的对偶三坐标反演好像不过固定点?在Geogebra里面作图好像也是没有固定点  发表于 2019-4-17 20:29
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-18 06:38:36 来自手机 | 显示全部楼层
数学星空的表达式验证了透视轴的对偶三坐标变换全部平行,也就是方向不变,这个就是wayne方向。梅涅劳斯线总是和欧拉线垂直,不知道wayne方向是否有类似的优秀性质。
,如图三种颜色分别代表从三个不同的点出发直至wayne方向直线,最后得到三条彩色直线就是目标直线,它们平行。

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 楼主| 发表于 2019-4-18 08:00:56 | 显示全部楼层
作图结果显示wayne方向还是欧拉线的垂直方向,或者说它们和梅涅劳斯线平行。
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发表于 2019-4-21 20:12:57 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-4-13 16:42
ABC是静止三角形,DEF是滑动三角形,两者保持着透视关系。
我们关注了透视中心关于静三角形ABC的梅涅劳斯 ...

这几天试用geogebra的各种数学软件,发现一点都不简陋,其实代数区功能强大的很。即使iPad版的也很强大。
看帮助文件发现的。不过帮助文档不完善,好些命令和函数的帮助文档还空着待人(有权限的用户)撰写。
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 楼主| 发表于 2019-4-21 21:23:45 来自手机 | 显示全部楼层
代数区基本没接触,不过几何区已经很强大了,不过有些界面没处理好,有点不方便

点评

代数区非常非常的灵活,可能代数区 才是 geogebra 的灵魂  发表于 2019-4-30 13:08
点线标签的编辑很简单,直接从属性里面就可以。倒是三次曲线的确需要代数区帮助。 另外比如做轨迹需要定义点之间依赖关系,如果事先有些点的顺序每设定对,就没法做轨迹了。但是这时在代数区可以编辑它们的顺序  发表于 2019-4-22 17:35
不使用代数区,点,线等几何对象的标签都没法编辑。更不用说画三次曲线了。  发表于 2019-4-22 00:36
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 楼主| 发表于 2019-4-26 17:20:54 来自手机 | 显示全部楼层
52#发现wayne方向总是和梅涅劳斯线平行,那么给定AB中垂线上一点D,是否比如可以找到AB中垂线上唯一的D',使得D对应的梅涅劳斯线等于D'的wayne方向?这个D和D'之间的对应关系是AB中垂线上的射影变换吗?
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 楼主| 发表于 2019-4-28 16:44:56 | 显示全部楼层

52#/53#发现了wayne方向和梅涅劳斯线应该都同欧拉线垂直,但是没有相应的证明。
从上面图中可以发现,对于任意三角形ABC,以三边为底向三角形内部做相似等腰三角形ABD, BCE, CAG,
那么当CD//AE//BG时(通常有两个解),wayne方向将和梅涅拉斯线完全重合。而我们如果能够证明这一点,就可以证明wayne方向和梅涅拉斯线总是平行的
也就是需要证明图上有${AJ}/{JC}={CO}/{AO}$等
这个等式应该同样可以通过三角函数计算得出

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 楼主| 发表于 2019-4-29 14:32:10 | 显示全部楼层
看右图,有${AJ}/{JC}={AB}/{BH}$而${CO}/{AO}={CD}/{AE}$
设$/_EAC=t, /_BAD=\alpha$
而${AH}/{BH}={S_{\Delta ADC}}/{S_{\Delta BDC}}={AC\sin(t)}/{BC\sin|C-t|}={sin(B)\sin(t)}/{sin(A)\sin|C-t|}$
$EC=a/{2\cos(\alpha)}$,而${EC}/{sin(t)}={AE}/{sin|\alpha-C|}$,得出$AE={a\sin|\alpha-C|}/{2\cos(\alpha)\sin(t)}$
而$DA=c/{2\cos(\alpha)},{DA}/{sin(t)}={DC}/{sin|\alpha-A|}$,得出$DC={c\sin|\alpha-A|}/{2\cos(\alpha)\sin(t)}$
类似由$BD=c/{2\cos(\alpha)}$,以及${BD}/{sin|C-t|}={CD}/{sin|B-\alpha|}$得出
$DC={c\sin|B-\alpha|}/{2\cos(\alpha)\sin|C-t|}$, 所以${\sin|\alpha-A|}/{\sin(t)}={\sin|B-\alpha|}/{sin|C-t|}$
于是我们可以有
$AH : BH={\sin|\alpha-A|}/{sin(A)} : {\sin|B-\alpha|}/{sin(B)}$  (1)
$CD : AE = {sin(C)}/{sin|alpha-C|} : {sin(A)}/{sin|\alpha-A|}$      (2)
同理,类似(1)式,我们应该可以有$AJ : JC = {\sin|\alpha-A|}/{sin(A)} : {\sin|C-\alpha|}/{sin(C)} = CD : AE= CO : AO$
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发表于 2019-4-29 22:47:58 | 显示全部楼层
额。才留意到,我啥都没干,竟然在这个主题里 出现频次 这么高,

点评

这可折煞我了, ^O^  发表于 2019-4-30 13:07
精神领袖终于现身了 :)  发表于 2019-4-30 10:28
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