和欧拉线垂直的梅涅劳斯线

mathe

为了更加清晰看清楚问题本质，我们将图上绿点相关的信息全部去除。
可以看出这时，蓝点三角形和红点三角形满足透视关系，所以它们对应顶点交于一个透视中心（留下的黑色小点），
而其中我们移动在固定直线上$P_1,P_2$其中一个点的位置时，由于不改变透视轴的位置，所以也不改变透视中心的位置。
由此我们证明了P点不论在直线OP上如何移动，三个小黑点位置都不改变，自然过三点的直线也不改变位置。

mathe

现在我们可以非常容易证明15#中hujunhua提出的wayne抛物线问题了。
由于我们已经知道CD,BE,AF交于一个点P，于是D,E,F可以看成过动点P连接PA,PB,PC分别和过三角形ABC外心得三边中垂线交于D,E,F三点。
然后派生出来的问题。实际上我们知道这时和P点轨迹关系已经不大了，出来的结果必然时wayne抛物线。我们还可以观察到这个图中得到的wayne抛物线可能是不全的，而且有些点会重复使用，这个是因为P点轨迹是二次曲线，上面点和O点连线会缺少某些方向，而另外几乎每个方向都有两个交点。
当然这时由于O点很特殊，选择D,E,F为三边中点时，发现二次曲线会和无穷远直线相切，所以这里的结果是抛物线，即wayne抛物线。

hujunhua

mathe 发表于 2019-4-14 18:36
是的，正常情况应该是四次，但是神奇的是三线共点时好像变成二次曲线了(抛物线？), 这种情况抛物线实际上应 ...

27#的证明并没有使用DEF共线的条件，所以证明对于不共线的情况也是成立的，即这时O的轨迹仍然是二次曲线。
只是曲线不再固定，而是随G点位置的连续移动而连续变化。即这种线-点的映射确实将不同的线束映射为不同的二次曲线。

用对偶的构图来说，就是当P沿一条直线滑动时，透视轴的包络不是24#估计的四次型，而是一条二级曲线。
只是曲线不再固定，而是与P所在直线位置密切相关。即这种点-线映射确实将不同的直线映射为不同的二级曲线。

mathe

33#结论正确，但是27#的证明过程我还是认为有问题。

我们看31#的图和30#的计算可以直到，对于31#中两种颜色点的图，其中如果动点P沿着OP移动(其中O点是红线和蓝线交点），那么对应的小黑点位置是不动的，但是如果P点沿着另外一条直线移动，30#的计算表明这时小黑点是一个一次点列。
所以即使三种色线不交于一点，各小黑点都是一次点列，其连线自然构成一个二次点列，所以是二次曲线。

如图，蓝色大点是动点，在直线上移动，三条色线不相交，紫色直线是目标直线，而紫色双曲线是目标直线的轨迹。

mathe

好像对于二次点列，在其轨迹上任意选择一点作为固定点，点列中点和这个固定点的连线又恢复了一次点列。
如图

A为直线上动点，绿色系列将它转变为二次点列B,在B的轨迹上（绿色虚点构成的圆锥曲线）选择定点C。
同样红色系列把A转变为二次点列D,在D的轨迹上（红色虚点构成的圆锥曲线）选择定点E。
于是CB和CD交点的轨迹还是圆锥曲线（粉色实线圆锥曲线），这些信息说明CB和CD都是一次点列。
这个就应该是hujunhua的方法的理论基础了。
这个方案我用射影方法有点难理解，那么还是通过计算来表示。
比如一般二次点列可以写成参数方程形如
\(\begin{bmatrix}a&b&c\\e&f&g\\h&i&j\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t^2\\t\\1\end{bmatrix}\)
也就是代表其齐次坐标各个分量都是参数$t$的二次函数。
于是我们可以通过射影变换\(\begin{bmatrix}a&b&c\\e&f&g\\h&i&j\end{bmatrix}^{-1}\)将其参数形式变成特殊形式
\(\begin{bmatrix}t^2\\t\\1\end{bmatrix}\)
也就是我们只要考虑这个特殊二次点列即可。
如果我们选择任意一个点$(a,b,1)$向这个二次点列引直线束，那么得到直线束
? matker([t^2,t,1;a,b,1])
%1 =
[   (t - b)/(b*t^2 - a*t)]
[(-t^2 + a)/(b*t^2 - a*t)]
[                       1]
显然其坐标都是二次形式，所以是二次线束。
但是如果选择二次点列自身上一个定点比如$(b^2,b,1)$,于是得到线束
? matker([t^2,t,1;b^2,b,1])
%2 =
[       1/(b*t)]
[(-t - b)/(b*t)]
[             1]
这个显然就是一次点列了，也就说明这个结论是没有问题的，这个应该是射影几何中很基本的理论基础。

数学星空

透视轴方程：

\(a^7k^3-2a^5b^2k^3-a^5c^2k^3+a^5k^4s+a^4b^2k^3x-a^4c^2k^3x+a^3b^4k^3-4a^3b^2c^2k^3-2a^3b^2k^4s-a^3c^4k^3-2a^3c^2k^4s-2a^2b^4k^3x+2a^2c^4k^3x+ab^4c^2k^3+ab^4k^4s-2ab^2c^4k^3-2ab^2c^2k^4s+ac^6k^3+ac^4k^4s+b^6k^3x-3b^4c^2k^3x+3b^2c^4k^3x-c^6k^3x+4a^4b^2k^2y+4a^4c^2k^2y+8a^4k^3sy-4a^2b^4k^2y-4a^2b^2k^3sy-4a^2c^4k^2y-4a^2c^2k^3sy-4b^4k^3sy+8b^2c^2k^3sy-4c^4k^3sy+a^7k-2a^5b^2k-a^5c^2k+2a^5k^2s+a^4b^2kx-a^4c^2kx+a^3b^4k-4a^3b^2c^2k-4a^3b^2k^2s-a^3c^4k-20a^3c^2k^2s-2a^2b^4kx-16a^2b^2k^2sx+2a^2c^4kx+16a^2c^2k^2sx+ab^4c^2k+2ab^4k^2s-2ab^2c^4k-4ab^2c^2k^2s+ac^6k+2ac^4k^2s+b^6kx-3b^4c^2kx+3b^2c^4kx-c^6kx+8a^4ksy-4a^2b^2ksy-4a^2c^2ksy-4b^4ksy+8b^2c^2ksy-4c^4ksy+a^5s-2a^3b^2s-2a^3c^2s+ab^4s-2ab^2c^2s+ac^4s=0\)

wayne抛物线方程：

\(a^{10}-2a^8b^2-4a^8c^2-4a^8y^2-2a^7b^2x+2a^7c^2x+a^6b^4+2a^6b^2c^2+4a^6b^2y^2+6a^6c^4+4a^6c^2y^2+4a^5b^4x+2a^5b^2c^2x-6a^5c^4x-2a^4b^4c^2+a^4b^4x^2+3a^4b^4y^2+2a^4b^2c^4-2a^4b^2c^2x^2-10a^4b^2c^2y^2-4a^4c^6+a^4c^4x^2+3a^4c^4y^2-2a^3b^6x+2a^3b^4c^2x-6a^3b^2c^4x+6a^3c^6x-2a^2b^6x^2-2a^2b^6y^2+a^2b^4c^4+2a^2b^4c^2x^2+2a^2b^4c^2y^2-2a^2b^2c^6+2a^2b^2c^4x^2+2a^2b^2c^4y^2+a^2c^8-2a^2c^6x^2-2a^2c^6y^2+2ab^6c^2x-6ab^4c^4x+6ab^2c^6x-2ac^8x+b^8x^2-b^8y^2-4b^6c^2x^2+4b^6c^2y^2+6b^4c^4x^2-6b^4c^4y^2-4b^2c^6x^2+4b^2c^6y^2+c^8x^2-c^8y^2+16a^7sy-24a^5b^2sy-8a^5c^2sy+16a^4b^2sxy-16a^4c^2sxy+8a^3b^4sy+8a^3b^2c^2sy-8a^2b^4sxy+8a^2c^4sxy-8ab^4c^2sy+16ab^2c^4sy-8ac^6sy-8b^6sxy+24b^4c^2sxy-24b^2c^4sxy+8c^6sxy=0\)

取\(a = 5, b = 4, c = 3, s = 6, k =\frac{1}{2}\)

得到：如下透视轴和wayne抛物线方程

\(-6720x+15840y-115200=0\)

\(-28224x^2+193536xy-331776y^2+645120x+1244160y-3686400=0\)

我们将wayne双曲线与wayne直线放在一起得到：





注：对wayne双曲线

\(4a^5y-8a^4xy-6a^3b^2y+2a^3c^2y+4a^2b^2xy+4a^2c^2xy+2ab^4y-4ab^2c^2y+2ac^4y-4b^4xy+8b^2c^2xy-4c^4xy+8ab^2sx-8ac^2sx-8b^2sx^2+8b^2sy^2+8c^2sx^2-8c^2sy^2=0\)

作重心坐标反演

\(x = \frac{a^2x_1+2a^2z_1-b^2x_1+c^2x_1}{2a}, y =\frac{ 2x_1s}{a},x_1+y_1+z_1=1\)

代入化简得到：

\(a^2x_1^2+2a^2x_1y_1-2b^2x_1y_1-b^2y_1^2-c^2x_1^2+c^2y_1^2-a^2x_1+b^2y_1+c^2x_1-c^2y_1=0\)

进一步简化即为mathe 在11#指出的：

\(\frac{b^2-c^2}{x_1}+\frac{c^2-a^2}{y_1}+\frac{a^2-b^2}{z_1}=0\)

同理对wayne 直线作重心坐标反演得到

\(a^2x_1+2a^2y_1-2b^2x_1-b^2y_1+c^2x_1-c^2y_1-a^2+b^2=0\)

继续化简为：

\((-b^2+c^2)x_1+(a^2-c^2)y_1+(-a^2+b^2)z_1=0\)

对透视轴直线作重心坐标反演得到

\(a^6k^3x_1-2a^4b^2k^3x_1+a^4b^2k^3y_1-3a^4c^2k^3x_1-a^4c^2k^3y_1+a^2b^4k^3x_1-2a^2b^4k^3y_1+3a^2c^4k^3x_1+2a^2c^4k^3y_1+b^6k^3y_1-b^4c^2k^3x_1-3b^4c^2k^3y_1+2b^2c^4k^3x_1+3b^2c^4k^3y_1-c^6k^3x_1-c^6k^3y_1-a^6k^3+a^4b^2k^3+2a^4c^2k^3-a^4k^4s+a^2b^4k^3+4a^2b^2c^2k^3+2a^2b^2k^4s-a^2c^4k^3+2a^2c^2k^4s-b^6k^3+2b^4c^2k^3-b^4k^4s-b^2c^4k^3+2b^2c^2k^4s-c^4k^4s+a^6kx_1-2a^4b^2kx_1+a^4b^2ky_1-3a^4c^2kx_1-a^4c^2ky_1+a^2b^4kx_1-2a^2b^4ky_1-16a^2b^2k^2sx_1-16a^2b^2k^2sy_1+3a^2c^4kx_1+2a^2c^4ky_1+16a^2c^2k^2sy_1+b^6ky_1-b^4c^2kx_1-3b^4c^2ky_1+2b^2c^4kx_1+3b^2c^4ky_1+16b^2c^2k^2sx_1-c^6kx_1-c^6ky_1-a^6k+a^4b^2k+2a^4c^2k-2a^4k^2s+a^2b^4k+4a^2b^2c^2k+20a^2b^2k^2s-a^2c^4k+4a^2c^2k^2s-b^6k+2b^4c^2k-2b^4k^2s-b^2c^4k+4b^2c^2k^2s-2c^4k^2s-a^4s+2a^2b^2s+2a^2c^2s-b^4s+2b^2c^2s-c^4s=0\)


进一步化简得：

\((16s^3k^4+16(a^2+b^2）s^2k^3+2s(8a^2b^2+16s^2)k^2+16(a^2+b^2）s^2k+16s^3)z_1+(16s^3k^4+16(b^2+c^2)s^2k^3+2s(8b^2c^2+16s^2)k^2+16(b^2+c^2）s^2k+16s^3)x_1+(16s^3k^4+16(a^2+c^2）s^2k^3+2s(8a^2c^2+16s^2)k^2+16(a^2+c^2）s^2k+16s^3)y_1=0\)


对wayne 抛物线作重心坐标反演得到

\(a^4x_1^2+2a^2b^2x_1y_1-2a^2c^2x_1^2-2a^2c^2x_1y_1+b^4y_1^2-2b^2c^2x_1y_1-2b^2c^2y_1^2+c^4x_1^2+2c^4x_1y_1+c^4y_1^2-2a^4x_1+2a^2b^2x_1+2a^2b^2y_1+2a^2c^2x_1-2a^2c^2y_1-2b^4y_1-2b^2c^2x_1+2b^2c^2y_1+a^4-2a^2b^2+b^4=0\)

继续化简为：

\((b^2-c^2)^2x_1^2+(a^2-c^2)^2y_1^2+(a^2-b^2)^2z_1^2+2(-b^2+c^2)(-a^2+c^2)x_1y_1+2(b^2-c^2)(-a^2+b^2)x_1z_1+2(a^2-b^2)(a^2-c^2)y_1z_1=0\)

hujunhua

mathe 发表于 2019-4-15 21:55
好像对于二次点列，在其轨迹上任意选择一点作为固定点，点列中点和这个固定点的连线又恢复了一次点列。
如 ...

概念有点纠缠啊。
直线上的点列就是一次点列，二次曲线上的点列就是二次点列。
所谓线束就是过一个定点的直线束，对偶地说肯定是一次线束，但可能由于“束”这个词的独特而狭窄的含义，没有“一次线束”，“二次线束”的提法，二次曲线的切线集一般称为“簇”。

过平面上一定点向一个二次点列引直线，得到的不是点列，而是线束，不管那定点在二次点列上还是在外，对偶地讲，都是一次线束。
（当然，将该线束截于一条直线可以得到一次点列。）
假定直线 a 上的点 A 的一维坐标为 x，直线 b  上对应点B 的一维坐标是  y。
假定 y=x^3. 当A扫遍 a 时，B亦扫遍 b，点列 A 是一次点列，点列B还是一次点列而不是3次点列。

总之，点列、线束（簇）的次数指的是其本底的次数。

29#的计算中得到两个点列的坐标是 u 的一次式，说明两者都与一次点列 P 是射影对应的，确有其巧。
27#的证明中只得到了两个线束是射影对应线束，未能揭示它们与线束GH之间的射影对应关系，确属遗珠，但于证明足矣。
证明中提到点列N，M为二次点列，与线束AN与BM可能与GH射影对应不矛盾。35#已有所明，不再赘言。

mathe

对于二次点列我的理解一直不够明晰。根据定义，应该圆锥曲线上固定一点和直线上一次点列的连线与该圆锥曲线的交点构成该圆锥曲线上的一个二次点列。而两个射影对应的一次线束的交点也构成了二次点列，下面的图充分说明了这一点性质。其中红色线的红色动点分别通过蓝色定点交蓝色线成两个对应的一次点列，然后它们分别以黄色定点为中心构成两个一次线束，它们交成一个二次点列，而这个二次点列必然过两个黄色定点。于是两个黄色点分别将二次点列映射为蓝线的一次点列

hujunhua

二次点列的定义就是二次曲线上的全体点的集合，并不需要依赖其它元素。
当然，这不像一个有用的定义，它没有包含与外部的对应关系。事实上孤立地谈一个点列是没有意义的。

mathe

得到二次点列以后，一个很自然的想法是我们是否能够类似得出一个“三次点列”。
由于两个射影对应线束交出了二次点列，两个射影对应的一次点列连接出一个二次线束，那么一个一次点列和一个对应的二次点列是否连出一个“三次线束”呢？
为此做了上面的图，其中一次点列红色点在红色线上移动，分别通过两个蓝色固定点映射到一条实线上形成两个对应的一次点列，然后分别通过黄色定点引出黄色线束交于一个绿色二次点列。
另外一方面，一次点列红色点通过粉色固定点映射到另外一条实线上形成另外一个对应的一次点列，连接这个一次点列和前面的二次点列形成橙色目标虚线。
然后我们将橙色目标虚线关于任意选择的虚线圆做极点产生橙色动点，然后做这个橙色动点的橙色轨迹。
比较奇怪的是这个橙色轨迹怎么看都像一条二次曲线加一条直线（但是被限定了范围）而不是一个普通的三次曲线。