和欧拉线垂直的梅涅劳斯线

mathe

直接做一条三次点列图：

红色一次点列（大点）在红色固定直线上移动，分别通过蓝色以及绿色，黄色虚线变换到不同的黑色一次点列。
连接两个一次点列得出一个二次线束，和紫色一次线束交出一个“三次点列”，这时其轨迹红色曲线显然不是二次曲线，而是三次的。
而这个三次曲线有一个自相交的奇异点，而任何过这个奇异点的直线还会和三次曲线交于另外一个唯一点，这种关系确定了这个三次点列和一次点列的对应关系。所以现在的问题是三次点列对应的三次曲线是不是都是自相交的。

mathe

由于上面三次点列的定义是通过圆锥曲线的切线和过一个点的对应线束相交而成，于是对于过这个固定点向圆锥曲线引出的两切线，都会被映射为三次点列中的这个固定点，这说明这条三次曲线必须两次穿过这个固定点。

mathe

再换一个更简单的构图，圆锥曲线上绿点切线构成一个二次线束，任意选择的粉色定点对绿点进行对合，然后通过曲线上固定蓝点构成一个一次线束，两者相交得出点的轨迹形成另外一个三次线束。这时同样有一个特殊点(自相切于这一点)，通过这个点的直线构成三次点列和一次点列直接的对应关系。所以三次点列只能处理特殊的退化的三次曲线，不是很有用。

hujunhua

过定圆上动点A的切线形成一个二次线簇，定点B与A的连线形成一个与之对应的线束，将线束B-A平移为线束C。
线束C与圆的切线簇的对应交点D形成三次点列。

mathe

我们得出的线是齐次坐标下的三次参数曲线，这个和三次曲线是不等价的，刚才通过计算能够证明三次参数曲线可以转化为三次曲线，但是哪些三次曲线可以表示为齐次坐标下的三次参数曲线未知

mathe

我们查看一下二次线束和一次线束相交的一般情况。
由于二次线束会和一个圆锥曲线相切，我们不妨假设有射影变换将这个圆锥曲线变化为曲线xy=1。
由于同时我们还可以任意选择圆锥曲线上一点和圆锥曲线外一个点的坐标，不妨设这个一次线束从原点发出。
而这条圆锥曲线上任意一点可以用参数(t,1/t)表示，其切线方程为$x/t+ty-2=0$,写成射影坐标形式为$[1: t^2: -2t]$，而且这个参数t可以在射影变换下被影射为一次点列的线性参数
而我们还需要确定这个二次线束和原点的线束的一种对应关系，假设其对应为过原点的一次线束$[a+bt: c+dt: 0]$
于是我们需要求这两个线束的交点，通过pari/gp计算matker([1,t^2,-2*t; a+b*t,c+d*t,0]),可以获得这个三次点列的参数形式为
$( 2*d*t^2 + 2*c*t: -2*b*t^2 - 2*a*t: -b*t^3 - a*t^2 + d*t + c)$
于是我们只要做射影变换（齐次坐标下线性变换），使得在新坐标下上面点的参数形式变化为$( -bt^3+c: t^2: t)$(这里漏了一种点列参数方程前两项成比例的退化成的直线情况)
或者说在这个坐标下平面曲线的参数方程为$x=-bt^2+c/t, y=t$,即三次点列的轨迹必然可以通过射影变换转化为 $xy=-by^3+c$

这个曲线的自相交点在无穷远点，不明显，我们将其通过射影变换，变化为$yx=-by^3+cx^3$, 于是可以进一步转为
$x^3-y^3=xy$

这个说明了三次点列在射影变换认为等价的情况下其本底曲线只有如图一种曲线。
前面这里还漏了一种c=0的情况，对应$x=y^3$,射影变换后可以变为$y^2=x^3$

另外一方面，齐次坐标下任意一个三次参数点列可以写成
$(a_1+b_1t+c_1t^2+d_1t^3:a_2+b_2t+c_2t^2+d_2t^3:a_3+b_3t+c_3t^2+d_3t^3)$
先通过射影变换（齐次坐标下线性变换）把上面情况转变为$(u_1+v_1t: u_2+v_2 t^2: u_3+v_3t^3)$
然后我们可以把$u_1+v_1t$看成新参数$s$，可以转化为形如$(s: u_4+v_4s+w_4s^2: u_5+v_5s+w_5s^2+h_5s^3)$
同样再次使用上面的变化过程转变为$(s: u_6+v_6s^2: u_7+v_7 s^3)$
于是如果$v_6$或$v_7$是0，退化为曲线$y=x^3+c$或二次曲线，可以坐标转化为$x^3-y^3=x^2$,正好对应存在一个自相切的奇点的情况。
如果$v_6$或$v_7$都不是0，可以简化为$( s^3+a: s^2+b: s)$, 也就是平面上参数曲线$x =s^2+a/s, y=s+b/s$
所以$s^2-ys+b=0, s^3-xs+a=0$, 所以$s(ys-b)-xs+a=0$, $y(ys-b)-bs-xs+a=0$,于是$(y^2-b-x)s-yb+a=0$,得出$s={yb-a}/{y^2-b-x}$,代入$s^2-ys+b=0$得出
$-b*x^2 + xy*a -2b^2 x + bxy^2 + 3aby - ay^3  -a^2- b^3=0$ 必然是三次曲线, 但是好像可以产生不含奇异点的三次曲线，所以应该不是所有的三次参数曲线都是三次点列。
同样，三次参数曲线和三次曲线是否等价也是一个问题。至少对于n充分大时，n次曲线的自由参数数目远远多余n次参数曲线，所以两者不同。

mathe

本来还想查看一下“三次线束”继续和对应的一次线束相交后得出的图和两个对应的二次线束相交后是否相同。
但是在Geogebra,虽然能够正确作出三次曲线的切线，但是好像制作轨迹过程如果使用了三次曲线的切线，轨迹就不正确了。
所以这里就只能给个两个二次线束相交后的图了(L为动点， I,J,K不动点，P为目标点）

mathe

46#中我们已经得出对于三次点列，其曲线方程是自相交的, 也就是说应该有两个不同的t的取值使得对应的点相同
可以看出其中参数坐标$( 2*d*t^2 + 2*c*t: -2*b*t^2 - 2*a*t: -b*t^3 - a*t^2 + d*t + c)$ 在c不等于0时，在$t=0和t=\infty$都对应原点(0:0:1)，所以其在原点自相交。而在c等于0时，在$t=0$, 其参数坐标退化为奇异情况$(0:0:0)$。这就是两种不同的奇异情况。
而一般的三次参数方程简化为$(s^3+a:s^2+b:s)$后，只有在$a=b=0$时才会出现退化为$(0:0:0)$的情况
我们计算是否有两个不同的s对应同一个点，由于$s=\infty$对应$(1:0:0)$，如果还有其它s对应这个点，只能$s^2+b=s=0$,所以$b=0$。如果有另外两个不同的$s_1,s_2$使得$s_1^2+a/{s_1}=s_2^2+a/{s_2}, s_1+b/{s_1}=s_2+b/{s_2}$, 得出$s_1s_2=b,s_1+s_2=a/b$，这个关于$s_1,s_2$的二次方程通常时有解，只是有可能有时候是复数根或重根，也就是说，它也是可以转化为可以自相交的三次曲线。于是我们通过对s参数进行分数线性变换使得这两个解分别映射到0和$\infty$就会返回前面三次点列的形式。
所以我们可以得出齐次坐标下任意三次参数方程都应该是三次点列，在复数范围其必然包含奇异点（如果是复奇异点，我们作图会看不出来）。

mathe

如果我们继续扩充，把所有通过k次线束和n-k次线束相交得出的称为n次点列；把所有k次点列和n-k次点列连接形成的轨迹称为n次线束。
那么很显然，在代数形式，n次点列(线束)的齐次坐标的参数形式都是一个参数的不超过n次的多项式。（猜测所有这种参数形式都构成n次点列或n次线束）
另外，我们类似应该可以证明，n次点列构成的曲线必然包含奇异点。
另外还有一个没有解决的问题是，齐次坐标的n次参数方程是不是必然代表一条包含奇异点的n次曲线。

mathe

15#的wayne抛物线的对偶双坐标反演应该是一个线束，请问，这个线束经过的定点是什么？也就是透视轴和三边交点关于各边中点的对称点共线，此线要经过定点