求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积

hujunhua

看来猜想1只对25#这样特定类型的三次曲线成立。
不能搞矩形，矩形有限，构不成轨迹。

wayne

现在遇到了困难. 根据变量个数和 方程的个数, 感觉还缺了一个条件.

1. p1={x1,y1};p2={x2,y2};
   
2. p3=p2+t{c,s};p4=p1+t{c,s};
   
3. func=Function[{x,y},x(x^2-1)+2y(y^2-1)];
   
4. eqs=Flatten[{Thread[func@@@{p1,p2,p3,p4}==0],2x0==x1+x2+t c,2y0==y1+y2+t s,c^2+s^2==1}]
   
5. ans=GroebnerBasis[eqs,{},{t,c,s,x1,x2,y1,y2}]

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hujunhua

差一个约束，说明对于一般平面曲线，其上的平行四边形的中心X的自由度是2，即解空间是一个平面域，而不是一条曲线。
但是对于特定的平面曲线，这个自由度是有可能减少的。
比如对椭圆、双曲线以及1#那样的三次曲线，自由度是0（必在曲线的对称中心）。
对于抛物线，自由度是-1，即不存在。
显然，对于这类特定的曲线，存在1-2个隐含约束。
我觉得对于具有对称中心的一般三次曲线，自由度≤1。也就是至少存在 1 个隐含约束没有找到。

wayne

给定平行四边形的某一边的长度$t$和倾斜角$\theta$，其解是确定的，离散的。 但是对于$t$取任意正数值，选择合适的$\theta$值范围，都有对应的解。
换一种说法，平行四边形中心{x0,y0}的自由度是两个。

1. p1={x1,y1};p2={x2,y2};
   
2. p3=p2+t{Cos[\[Theta]],Sin[\[Theta]]};p4=p1+t{Cos[\[Theta]],Sin[\[Theta]]};
   
3. func=Function[{x,y},x(x^2-1)+2y(y^2-1)];
   
4. eqs=Flatten[{Thread[func@@@{p1,p2,p3,p4}==0],2x0==x1+x2+t Cos[\[Theta]],2y0==y1+y2+t Sin[\[Theta]]}]/.List->And;
   
5. pts=Block[{t=1,\[Theta]=70Pi/180,ans,sol},ans=NSolve[eqs&&x1>=x2&&(x1-x2)^2+(y1-y2)^2>0&&(x1-x2-t Cos[\[Theta]])^2+(y1-y2-t Sin[\[Theta]])^2>0&&(x1-x2+t Cos[\[Theta]])^2+(y1-y2+t Sin[\[Theta]])^2>0,{x0,y0,x1,x2,y1,y2},Reals,WorkingPrecision->100];Table[RootReduce[{{x0,y0},p1,p2,p3,p4}/.p],{p,ans}]];Length[pts]
   
6. With[{n=2},Table[ContourPlot[func[x,y]==0,{x,-n,n},{y,-n,n},ContourStyle->{Thickness[.01]},Prolog->{Opacity[.6],Hue[Norm[p]],Polygon[Rest@p],Opacity[1],PointSize[0.03],Red,Point[p]},Axes->True,Frame->False],{p,pts}]]
   

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比如，这个是平行四边形的一边是70°，长度为1的时候的解

wayne

竟然无意间发现了 消元的捷径。先化简消去角度和长度， 再化简消去两个坐标点的三个变量，得到出来的表达式还非常简单。
x1是平行四边形的其中一个顶点的x坐标。

1. -x^3+12 x^5-48 x^7+64 x^9-18 x^4 x1+144 x^6 x1-288 x^8 x1+9 x^3 x1^2-180 x^5 x1^2+576 x^7 x1^2+108 x^4 x1^3-648 x^6 x1^3-27 x^3 x1^4+432 x^5 x1^4-162 x^4 x1^5+27 x^3 x1^6+6 x^2 y-48 x^4 y+96 x^6 y+72 x^3 x1 y-288 x^5 x1 y-36 x^2 x1^2 y+360 x^4 x1^2 y-216 x^3 x1^3 y+54 x^2 x1^4 y-32 y^3+24 x^2 y^3-192 x^4 y^3+384 x^6 y^3-108 x x1 y^3+720 x^3 x1 y^3-1152 x^5 x1 y^3+54 x1^2 y^3-792 x^2 x1^2 y^3+1440 x^4 x1^2 y^3+432 x x1^3 y^3-1296 x^3 x1^3 y^3-108 x1^4 y^3+864 x^2 x1^4 y^3-324 x x1^5 y^3+54 x1^6 y^3+48 x y^4-192 x^3 y^4+288 x^2 x1 y^4-144 x x1^2 y^4+288 y^5-192 x y^6+768 x^3 y^6-1152 x^2 x1 y^6+576 x x1^2 y^6-768 y^7+512 y^9=0

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1. Block[{n=3},ContourPlot3D[-x^3+12 x^5-48 x^7+64 x^9-18 x^4 x1+144 x^6 x1-288 x^8 x1+9 x^3 x1^2-180 x^5 x1^2+576 x^7 x1^2+108 x^4 x1^3-648 x^6 x1^3-27 x^3 x1^4+432 x^5 x1^4-162 x^4 x1^5+27 x^3 x1^6+6 x^2 y-48 x^4 y+96 x^6 y+72 x^3 x1 y-288 x^5 x1 y-36 x^2 x1^2 y+360 x^4 x1^2 y-216 x^3 x1^3 y+54 x^2 x1^4 y-32 y^3+24 x^2 y^3-192 x^4 y^3+384 x^6 y^3-108 x x1 y^3+720 x^3 x1 y^3-1152 x^5 x1 y^3+54 x1^2 y^3-792 x^2 x1^2 y^3+1440 x^4 x1^2 y^3+432 x x1^3 y^3-1296 x^3 x1^3 y^3-108 x1^4 y^3+864 x^2 x1^4 y^3-324 x x1^5 y^3+54 x1^6 y^3+48 x y^4-192 x^3 y^4+288 x^2 x1 y^4-144 x x1^2 y^4+288 y^5-192 x y^6+768 x^3 y^6-1152 x^2 x1 y^6+576 x x1^2 y^6-768 y^7+512 y^9==0,{x,-n,n},{y,-n,n},{x1,-8n,8n},PlotPoints->200]]

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wayne

更进一步。我们再加一个条件， 四个顶点都在 三次曲线的上的 菱形，这样就只有一个自由度了，计算得到菱形的中心的轨迹是三个曲线的组合，一个是该三次曲线本身，另外两个是六次曲线。

1. (-x+x^3-2 y+2 y^3)^2 (17 x^2-16 x^4+17 x^6-40 x y+58 x^3 y-72 x^5 y+32 y^2-144 x^2 y^2+99 x^4 y^2+202 x y^3-40 x^3 y^3-136 y^4+99 x^2 y^4-288 x y^5+257 y^6) (-x^2-7 x^4+17 x^6+5 x y-5 x^3 y+36 x^5 y+14 y^2+18 x^2 y^2-9 x^4 y^2-50 x y^3-40 x^3 y^3-127 y^4-9 x^2 y^4+144 x y^5+257 y^6)=0

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1. 
   
2. p1={x1,y1};p2={x2,y2};{c,s}=.;
   
3. p3=p2+t{c,s};p4=p1+t{c,s};
   
4. func=Function[{x,y},x(x^2-1)+2y(y^2-1)];
   
5. eqs=Flatten[{Thread[func@@@{p1,p2,p3,p4}==0],2x==x1+x2+t c,2y==y1+y2+t s,Total[(p2-p1)^2]==Total[(p2-p3)^2],c^2+s^2==1}]/.List->And;
   
6. Block[{n=2},ContourPlot[{x(x^2-1)+2y(y^2-1)==0,(-x+x^3-2 y+2 y^3)^2 (17 x^2-16 x^4+17 x^6-40 x y+58 x^3 y-72 x^5 y+32 y^2-144 x^2 y^2+99 x^4 y^2+202 x y^3-40 x^3 y^3-136 y^4+99 x^2 y^4-288 x y^5+257 y^6) (-x^2-7 x^4+17 x^6+5 x y-5 x^3 y+36 x^5 y+14 y^2+18 x^2 y^2-9 x^4 y^2-50 x y^3-40 x^3 y^3-127 y^4-9 x^2 y^4+144 x y^5+257 y^6)==0},{x,-n,n},{y,-n,n},PlotPoints->200,Axes->True,Frame->False,ContourStyle->{Directive[Blue,Thickness[.01]],Directive[Red,Opacity[.9],Thickness[.005]]}]]

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如果是平行四边形的两边长度之比是$1:2$，那么中心轨迹也是三个曲线的组合，一个是 该三次曲线本身，另外是六次曲线和24次曲线。

1. (-x+x^3-2 y+2 y^3)^2 (17 x^2-16 x^4+17 x^6-40 x y+58 x^3 y-72 x^5 y+32 y^2-144 x^2 y^2+99 x^4 y^2+202 x y^3-40 x^3 y^3-136 y^4+99 x^2 y^4-288 x y^5+257 y^6) (3118771 x^12-79369458 x^14+523981455 x^16-1432479152 x^18+1924806048 x^20-1273788672 x^22+337510144 x^24-45185532 x^11 y+867186012 x^13 y-2556948912 x^15 y+1953614400 x^17 y+1453869312 x^19 y-2551738368 x^21 y+855023616 x^23 y-340968 x^10 y^2+255043308 x^12 y^2-1101756600 x^14 y^2-562067232 x^16 y^2+4867552896 x^18 y^2-4172530176 x^20 y^2+667938816 x^22 y^2+844893164 x^9 y^3-2970813180 x^11 y^3+5956917792 x^13 y^3-7698095568 x^15 y^3+14201892288 x^17 y^3-9423637248 x^19 y^3+1664668672 x^21 y^3-351360432 x^8 y^4+2984263188 x^10 y^4-3041108844 x^12 y^4-3802785600 x^14 y^4+18712957248 x^16 y^4-15210935808 x^18 y^4+5812236288 x^20 y^4+352299024 x^7 y^5-1776122688 x^9 y^5+11908836000 x^11 y^5-47218773120 x^13 y^5+56328104448 x^15 y^5-35450984448 x^17 y^5+9197862912 x^19 y^5+5235505152 x^6 y^6-11305124244 x^8 y^6+9870652464 x^10 y^6-55106413728 x^12 y^6+88343337024 x^14 y^6-70134755328 x^16 y^6+12064801792 x^18 y^6-251827344 x^5 y^7-19557235440 x^7 y^7+11883421632 x^9 y^7-59225434752 x^11 y^7+139313677824 x^13 y^7-101074931712 x^15 y^7+24476221440 x^17 y^7+665458128 x^4 y^8-44116777584 x^6 y^8+113238851472 x^8 y^8-180982421376 x^10 y^8+294041970432 x^12 y^8-175015434240 x^14 y^8+47172796416 x^16 y^8+9310240256 x^3 y^9-14734494912 x^5 y^9+190621996608 x^7 y^9-247234031360 x^9 y^9+400195230720 x^11 y^9-286572926976 x^13 y^9+68397899776 x^15 y^9+778388352 x^2 y^10-63818868432 x^4 y^10+197984716224 x^6 y^10-426535650816 x^8 y^10+557395805184 x^10 y^10-437210370048 x^12 y^10+112215638016 x^14 y^10+209356032 x y^11-117813636480 x^3 y^11+225594270720 x^5 y^11-840208873728 x^7 y^11+916993858560 x^9 y^11-681937551360 x^11 y^11+163636641792 x^13 y^11+4352118016 y^12-9950739072 x^2 y^12+618800192256 x^4 y^12-910148997888 x^6 y^12+1245775018752 x^8 y^12-833911246848 x^10 y^12+193628065792 x^12 y^12-41450399232 x y^13+624655315968 x^3 y^13-1029283491840 x^5 y^13+1932172886016 x^7 y^13-1120558792704 x^9 y^13+369820827648 x^11 y^13-74774208768 y^14+118172459520 x^2 y^14-2306645460480 x^4 y^14+2301005251584 x^6 y^14-1725926400000 x^8 y^14+519793606656 x^10 y^14+473850734592 x y^15-2048386179072 x^3 y^15+2241155469312 x^5 y^15-2330810707968 x^7 y^15+416080543744 x^9 y^15+505703639040 y^16-702867628032 x^2 y^16+4280085900288 x^4 y^16-2380442001408 x^6 y^16+663486529536 x^8 y^16-1962800578560 x y^17+4037759557632 x^3 y^17-2285995917312 x^5 y^17+1206673735680 x^7 y^17-1707006390272 y^18+1618552283136 x^2 y^18-4114542133248 x^4 y^18+939528404992 x^6 y^18+3567394848768 x y^19-3757120684032 x^3 y^19+581797675008 x^5 y^19+2993753407488 y^20-1190929268736 x^2 y^20+1518473576448 x^4 y^20-2796208914432 x y^21+1405693984768 x^3 y^21-2549098217472 y^22+193464631296 x^2 y^22+756777222144 x y^23+827130118144 y^24)=0

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wayne

但是如果添加的约束条件是 角度约束关系，比如其中一个角度是90°，或者45°，都化简失败，好像是无解。只有约束边，比如某个固定的比例才有解。