关于五次代数方程可根式求解问题

God→Osiris

数学星空 发表于 2014-12-16 22:52
God->Osiris :

我相信你给出的显式解是有理论依据的.

Rogers-Ramanujan 函数那个是我从网上找到资料以后总结的，至于更高次的方程，这样的算法没有找到

数学星空

我现在不知道你48#给出的根式解哪里的符号或者数值写错了,但数值结果好像有点问题

数学星空

关于\(x^5+x^4-76x^3-359x^2-437x-155=0\)的根式解:



有兴趣也可以验算一下..

具体可见附件 五次方程根式解数值验算.pdf (495.37 KB, 下载次数: 2)

2014-12-18 00:25 上传

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God→Osiris

数学星空 发表于 2014-12-18 00:24
关于\(x^5+x^4-76x^3-359x^2-437x-155=0\)的根式解:

把每个根的最后一个五次根号里面的大根号前面的+改成-

数学星空

第12#:

\(x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0\)

其中一个根的表达式:

数学星空

第12#

\(x^5+\frac{625}{4}x+3750=0\)

的一个根的表达式:

数学星空

根据9#所提电子书:<Beyond the Quartic Equation>

我们可以得到:有关五次整系数方程

\(y^5+a[1]y^4+a[2]y^3+a[3]y^2+a[4]y+a[5]=0\)

可根式解的条件即预解式,下面六次方程有有理根

\(s^6+10js^5+(35j^2+10k)s^4+(60j^3+30jk+10l)s^3+(55j^4+30j^2k+50jl+25k^2)s^2+(26j^5+10j^3k+59j^2l+44jk^2+14kl)s+5j^6+20j^2k^2+20j^3l+20jkl+25l^2=0\)

其中:

\(j = -(500(-(2/25)a[1]a[3]+(3/100)a[2]^2+(1/5)a[4]))((1/5)a[1]a[5]-(2/25)a[2]a[4]+(3/100)a[3]^2)+125(-(3/25)a[1]a[4]+(1/50)a[2]a[3]+a[5])^2\)

\(k = (1000000(-(2/25)a[1]a[3]+(3/100)a[2]^2+(1/5)a[4]))((3(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4]))((1/50)a[1]a[3]a[5]-(1/125)a[1]a[4]^2-(1/100)a[2]^2a[5]+(1/250)a[2]a[3]a[4]-(1/1000)a[3]^3)-(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2)^2)-(500000(-(3/25)a[1]a[4]+(1/50)a[2]a[3]+a[5]))((9(-(1/125)a[1]^2a[4]+(1/250)a[1]a[2]a[3]-(1/1000)a[2]^3+(1/50)a[2]a[4]-(1/100)a[3]^2))((1/50)a[1]a[3]a[5]-(1/125)a[1]a[4]^2-(1/100)a[2]^2a[5]+(1/250)a[2]a[3]a[4]-(1/1000)a[3]^3)-(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4])(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2))+(1000000((1/5)a[1]a[5]-(2/25)a[2]a[4]+(3/100)a[3]^2))((3(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2))(-(1/125)a[1]^2a[4]+(1/250)a[1]a[2]a[3]-(1/1000)a[2]^3+(1/50)a[2]a[4]-(1/100)a[3]^2)-(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4])^2)\)

\(l = -(8000000000/3((3(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4]))((1/50)a[1]a[3]a[5]-(1/125)a[1]a[4]^2-(1/100)a[2]^2a[5]+(1/250)a[2]a[3]a[4]-(1/1000)a[3]^3)-(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2)^2))((3(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2))(-(1/125)a[1]^2a[4]+(1/250)a[1]a[2]a[3]-(1/1000)a[2]^3+(1/50)a[2]a[4]-(1/100)a[3]^2)-(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4])^2)+(2000000000/3)((9(-(1/125)a[1]^2a[4]+(1/250)a[1]a[2]a[3]-(1/1000)a[2]^3+(1/50)a[2]a[4]-(1/100)a[3]^2))((1/50)a[1]a[3]a[5]-(1/125)a[1]a[4]^2-(1/100)a[2]^2a[5]+(1/250)a[2]a[3]a[4]-(1/1000)a[3]^3)-(-(1/25)a[1]^2a[5]+(1/250)a[1]a[2]a[4]+(1/500)a[1]a[3]^2-(1/1000)a[2]^2a[3]+(1/10)a[2]a[5]-(1/50)a[3]a[4])(-(1/50)a[1]a[2]a[5]+(1/250)a[1]a[3]a[4]+(1/500)a[2]^2a[4]-(1/1000)a[2]a[3]^2+(1/10)a[3]a[5]-(1/25)a[4]^2))^2\)

可以用以检验12#所有的方程,均存在根式解.

xiaoshuchong

数学星空 发表于 2014-12-18 00:24
关于\(x^5+x^4-76x^3-359x^2-437x-155=0\)的根式解:

预解式对应四次方程
\[R^{4} - 254221 R^{3} - 160184386419 R^{2} - 64621682168885171 R + 64615048177878503606401=0\]