关于五次代数方程可根式求解问题

数学星空

对于特殊可根式求解的方程：

见http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B 中型式4

\(a^2x^5+5abx^3+5b^2x+c＝0\)

取\(a=b=c=1\)

得到：

\(x^5+5x^3+5x+1＝0\)

解之：

\(x_1=0.1559639295433540521196832796904686288242273398290129216821808037620692303700549313834412509453156576+1.181019123792378205433228616184661918616551598007594103004162320449122232417972498251126833898065897I\),

\(x_2=-0.5957292006656738112189120610147469683674101959031697365561514944086545225853646312659449103227157650e-1+1.910929083659687548304409767344815955689237637688022354420319496458040714839822683276874096501736738I\),

\(x_3=-0.1927820189535733419955841471779878639749726404773918960531313086424075562230369365136935198260881623\),

\(x_4= -0.5957292006656738112189120610147469683674101959031697365561514944086545225853646312659449103227157650e-1-1.910929083659687548304409767344815955689237637688022354420319496458040714839822683276874096501736738I\),

\(x_5=0.1559639295433540521196832796904686288242273398290129216821808037620692303700549313834412509453156576-1.181019123792378205433228616184661918616551598007594103004162320449122232417972498251126833898065897I\)

代入：
\(A_1=x_1^2(x_2x_5+x_3x_4)+x_2^2(x_1x_3+x_4x_5)+x_3^2(x_1x_5+x_2x_4)+x_4^2(x_1x_2+x_3x_5)+x_5^2(x_1x_4+x_2x_3)\)

\(A_2=x_2^2(x_1x_5+x_3x_4)+x_1^2(x_2x_3+x_4x_5)+x_3^2(x_1x_4+x_2x_5)+x_4^2(x_1x_2+x_3x_5)+x_5^2(x_1x_3+x_2x_4)\)

\(A_3=x_3^2(x_1x_4+x_2x_5)+x_2^2(x_1x_3+x_4x_5)+x_1^2(x_2x_4+x_3x_5)+x_4^2(x_1x_5+x_2x_3)+x_5^2(x_1x_2+x_3x_4)\)

\(A_4=x_4^2(x_1x_3+x_2x_5)+x_2^2(x_1x_5+x_3x_4)+x_3^2(x_1x_2+x_4x_5)+x_1^2(x_2x_4+x_3x_5)+x_5^2(x_1x_4+x_2x_3)\)

\(A_5=x_5^2(x_1x_2+x_3x_4)+x_2^2(x_1x_4+x_3x_5)+x_3^2(x_1x_5+x_2x_4)+x_4^2(x_1x_3+x_2x_5)+x_1^2(x_2x_3+x_4x_5)\)

\(A_6=x_1^2(x_2x_5+x_3x_4)+x_5^2(x_1x_3+x_2x_4)+x_3^2(x_1x_2+x_4x_5)+x_4^2(x_1x_5+x_2x_3)+x_2^2(x_1x_4+x_3x_5)\)

得到：

\(A_1=9.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999991-1. 10^{-100} I=10 ?? \)

这就说明了可根式解？

数学星空

关于首1整系数的五次方程是否有求根公式已通过了下面几个例子验证：

1. \(x^5+x^4-28x^3+37x^2+25x+1＝0\)

2. \(x^5+x^4-24x^3-17x^2+41x-13＝0\)

3. \(x^5+x^4-16x^3+5x^2+21x-9＝0\)

4. \(x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5＝0\)

5. \(x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1＝0\)

6. \( x^5-20x^3+170x+208＝0\)

7.\( x^5+110(5x^3+20x^2-360x+800)＝0\)

8. \(x^5-50x^3-600x^2-2000x-11200＝0\)

9. \( x^5-40x^3+160x^2+1000x-5888＝0\)

10.\(x^5-20x^3-80x^2-150x-656＝0\)

11. \(x^5+110(5x^3+60x^2+800x+8320)＝0\)

12.  \(x^5-20x^3+250x-400＝0\)

但是关于首1系数为分数的代数方程如何验算？还未弄明白

例如：下面例子

1.  \(x^5+(625/4)x+3750＝0\)

2.  \(x^5-(22/5)x^3-(11/25)x^2+(462/125)x+979/3125＝0\)

3. \( x^5-5x^3+(85/8)x-13/2＝0\)

4. \( x^5+(20/17)x+21/17＝0\)

5.  \(x^5-(4/13)x+29/65＝0\)

6.  \( x^5+(10/13)x+3/13＝0\)

无心人

第一个好像有个实根

数学星空

TO  science123:

你的结论存在一个很明显的错误：

任何一个五次方程可以化为缺4次项的方程，这句话没问题

但是\(x^5+a_1 x^3+a_2 x^2+a_3 x+a_4=(x^3+bx+c)(x^2+f)\)

成立的条件为：\(a_1 = \frac{a_3 a_2}{a_4}+\frac{a_4}{a_2}\)  这个结果直接展开上面方程对应系数相等即可得到

即\(x^5+a_1 x^3+a_2 x^2+a_3 x+a_4=(x^3+\frac{a_2 a_3}{a_4}x+a_2)(x^2+\frac{a_4}{a_2})\)

若条件成立：直接可以求解，一个三次方程和二次方程

若不成立，是无法分解成\((x^3+bx+c)(x^2+f)\)

再次强调对于一般的五次方程是不存在根式解的，除非使用超椭圆函数，具体可见8#的相关资料及9#结果

数学星空

为了便于网友使用软件将一般五次方程

x^5+x^4*a[1]+x^3*a[2]+x^2*a[3]+x*a[4]+a[5]＝0   （1）

简化为X^5+U*X+V＝0 （2）

我将具体结果和步骤粘贴过来
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作代换：x = y-(1/5)*a[1]  （3）

则（1）变成 y^5+a*y^3+b*y^2+c*y+d＝0（4）

其中 （5）

a = -(2/5)*a[1]^2+a[2],

b = (4/25)*a[1]^3-(3/5)*a[2]*a[1]+a[3],

c = -(3/125)*a[1]^4+(3/25)*a[2]*a[1]^2-(2/5)*a[3]*a[1]+a[4],

d = (4/3125)*a[1]^5-(1/125)*a[2]*a[1]^3+(1/25)*a[3]*a[1]^2-(1/5)*a[4]*a[1]+a[5]

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然后（4）与 z-p*y-y^2-q＝0 （6）

其中  （7）

  p = (1/10)*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))/a,

  q = (2/5)*a

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消元得到：

z^5+A*z^2+B*z+C＝0  （8）

其中：　（9）

A = -(3/250)*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2+(1/1000)*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^3/a^3+(2/25)*a^3-(13/50)*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))+(1/25)*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2/a^2-(2/5)*a*c-b^2+(1/2)*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))/a,

B = (3/625)*a*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2-(1/1250)*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^3/a^2+(1/10000)*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^4/a^4+(12/125)*a^4+(8/125)*a*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))-(11/500)*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2/a+(1/200)*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^3/a^3-(16/25)*a^2*c-(1/10)*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))+(4/5)*b^2*a-(1/10)*b*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))/a-2*b*d+c^2,

C = -(2/3125)*a^2*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2+(1/6250)*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^3/a-(1/25000)*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^4/a^3+(1/100000)*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^5/a^5-(72/3125)*a^5-(2/625)*a^2*b*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))+(3/1250)*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2-(1/1000)*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^3/a^2+(24/125)*a^3*c-(1/25)*a*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))-(4/25)*b^2*a^2+(1/25)*b*c*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))-(1/100)*b*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))^2/a^2+(4/5)*b*d*a-(2/5)*c^2*a+(1/10)*c*d*(-15*b+sqrt(60*a^3-200*a*c+225*b^2))/a-d^2

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最后将（8）与　X-z^4-z^3*b[1]-z^2*b[2]-z*b[3]-b[4]＝0　（10）

其中：（11）

(-27*A^4-300*A*B*C+160*B^3)*b[1]^2+(-27*A^3*B-375*A*C^2+400*B^2*C)*b[1]+45*A^3*C-18*A^2*B^2+250*B*C^2＝0

b[2]+(4*B*b[1]+5*C)/(3*A)＝0

b[4]-(3*A*b[1]+4*B)*(1/5)＝0

675*A^3*b[3]^3+(-2025*A^4+3375*A^2*C*b[1]-3600*A*B^2*b[1]-4500*A*B*C)*b[3]^2+(675*A^3*B*b[1]^2+2025*A^5-4050*A^3*C*b[1]+7200*A^2*B^2*b[1]+6000*B^2*C*b[1]^2+9675*A^2*B*C+15000*B*C^2*b[1]+9375*C^3)*b[3]-54*A^5*b[1]^3-756*A^4*B*b[1]^2-225*B*C*b[1]^3*A^2-320*A*B^3*b[1]^3-675*A^6+1485*A^4*C*b[1]-3843*A^3*B^2*b[1]-1125*C^2*b[1]^2*A^2-3900*A*B^2*C*b[1]^2-960*B^4*b[1]^2-4770*A^3*B*C-108*A^2*B^3-9375*A*B*C^2*b[1]-2400*B^3*C*b[1]-6250*A*C^3-1500*B^2*C^2＝0

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消元得到结果：X^5+U*X+V＝0 （12）

其中：（13）

-37665*A^5*B^2*C-178200*A^3*B^3*C*b[1]^2+88000*A*B^4*C*b[1]^4+290000*A*B^3*C^2*b[1]^3+262500*A*B^2*C^3*b[1]^2-15625*A*B*C^4*b[1]-288000*A^3*B^2*C^2*b[1]+25200*A^2*B^4*C*b[1]-90000*A^2*B^2*C^2*b[1]^4-225000*A^2*B*C^3*b[1]^3-19575*A^5*B*C*b[1]^4-78435*A^6*B*C*b[1]+56700*B^2*C*b[1]^3*A^4+121500*B*C^2*b[1]^2*A^4-250000*B^3*C^3*b[1]-3969*A^7*B*b[1]^3-10125*B*b[3]^4*A^4+9495*B^3*b[1]^4*A^4-29280*A^3*B^4*b[1]^3+10080*A^2*B^5*b[1]^2+15750*A^2*B^3*C^2-138750*A^3*B*C^3-140625*A^2*C^4*b[1]^2-160000*B^5*C*b[1]^3-300000*B^4*C^2*b[1]^2-50868*A^6*B^2*b[1]^2+37665*A^7*C*b[1]^2-57375*A^5*C^2*b[1]^3-31671*A^5*B^3*b[1]+73125*C^3*b[1]*A^4-54000*A^6*C^2+243*B^4*A^4+10125*U*A^4-972*A^8*b[1]^4-12150*A^9*b[1]-16200*A^8*B-32000*B^6*b[1]^4-78125*B^2*C^4-78125*A*C^5+(12150*A^6*b[1]+46575*A^5*B+67500*A^3*B*C*b[1]+84375*A^3*C^2)*b[3]^3+(-36450*A^7*b[1]+30375*A^5*C*b[1]^2-44550*A^4*B^2*b[1]^2-78975*A^6*B-202500*A^4*B*C*b[1]-32400*A^3*B^3*b[1]-202500*A^4*C^2-40500*A^3*B^2*C)*b[3]^2+(2025*A^6*B*b[1]^3+36450*A^8*b[1]-72900*A^6*C*b[1]^2+95175*A^5*B^2*b[1]^2+50625*A^4*C^2*b[1]^3-94500*A^3*B^2*C*b[1]^3+48000*A^2*B^4*b[1]^3+58725*A^7*B+208575*A^5*B*C*b[1]+64800*A^4*B^3*b[1]-185625*A^3*B*C^2*b[1]^2+180000*A^2*B^3*C*b[1]^2+172125*A^5*C^2+76950*A^4*B^2*C-84375*A^3*C^3*b[1]+225000*A^2*B^2*C^2*b[1]+93750*A^2*B*C^3)*b[3]＝0

-62500000*B^2*C^5*b[1]^2+135000*A^3*B^4*C^2-3200000*B^5*C^2*b[1]^5-785700*A^6*B^3*C+86400*A^3*B^6*b[1]^2-9765625*C^7+1597725*A^8*B*C*b[1]^2+3193425*A^7*B^2*C*b[1]-7155000*A^5*B^2*C^2*b[1]^2+8808750*A^4*B^3*C^2*b[1]-6115500*A^6*B^2*C*b[1]^4-11593125*A^6*B*C^2*b[1]^3-729000*A^5*B^3*C*b[1]^3+1687500*A^4*B^2*C^2*b[1]^5+421875*A^4*B*C^3*b[1]^4+9342000*A^4*B^4*C*b[1]^2-18450000*A^3*B^3*C^2*b[1]^4-38812500*A^3*B^2*C^3*b[1]^3-41484375*A^3*B*C^4*b[1]^2-303750*A^7*B*C*b[1]^5+216000*A^3*B^5*C*b[1]-7500000*A^2*B^4*C^2*b[1]^3-18000000*A^2*B^3*C^3*b[1]^2-12421875*A^2*B^2*C^4*b[1]-3960000*A^3*B^4*C*b[1]^5+1920000*A^2*B^5*C*b[1]^4+9600000*A*B^6*C*b[1]^3+18000000*A*B^5*C^2*b[1]^2+15000000*A*B^4*C^3*b[1]+1012500*B*C^3*b[1]*A^5-644355*A^6*B^4*b[1]-2343750*A^2*B*C^5-17578125*A^3*C^5*b[1]-225990*A^9*B*b[1]^4+3146400*A^4*B^5*b[1]^3+3240000*A^7*B*C^2-929475*A^9*C*b[1]^3+4687500*A*B^3*C^4+2559375*A^4*B^2*C^3+181035*A^8*B^2*b[1]^3+1440000*A^2*B^6*b[1]^5+2430000*A^8*C^2*b[1]-50000000*B^3*C^4*b[1]^3-5062500*A^6*C^3*b[1]^2-759375*C*b[3]^5*A^5+1920000*A*B^7*b[1]^4+26325*A^6*B^3*b[1]^5+117855*A^7*B^3*b[1]^2+2346300*A^5*B^4*b[1]^4+759375*A^7*C^2*b[1]^4-39062500*B*C^6*b[1]+729000*A^10*B*b[1]-2109375*A^4*C^4*b[1]^3-20000000*B^4*C^3*b[1]^4-759375*C^3*b[1]^5*A^5+(455625*A^6*B*b[1]+2278125*A^6*C+607500*A^5*B^2)*b[3]^4+(-273375*A^8*b[1]^2-2095875*A^7*B*b[1]-1518750*A^5*B*C*b[1]^2-2278125*A^7*C-2308500*A^6*B^2-3796875*A^5*C^2*b[1])*b[3]^3+(820125*A^9*b[1]^2-759375*A^7*C*b[1]^3+546750*A^6*B^2*b[1]^3+3553875*A^8*B*b[1]+5315625*A^6*B*C*b[1]^2+243000*A^5*B^3*b[1]^2-5062500*A^4*B*C^2*b[1]^3+3600000*A^3*B^3*C*b[1]^3+759375*A^8*C+3280500*A^7*B^2+10631250*A^6*C^2*b[1]+3442500*A^5*B^2*C*b[1]-648000*A^4*B^4*b[1]-6328125*A^4*C^3*b[1]^2+13500000*A^3*B^2*C^2*b[1]^2+3543750*A^5*B*C^2-810000*A^4*B^3*C+16875000*A^3*B*C^3*b[1]+7031250*A^3*C^4)*b[3]^2+(182250*A^8*B*b[1]^4-820125*A^10*b[1]^2+1640250*A^8*C*b[1]^3-759375*A^7*B^2*b[1]^3-759375*A^6*C^2*b[1]^4+4910625*A^5*B^2*C*b[1]^4-2160000*A^4*B^4*b[1]^4-2642625*A^9*B*b[1]-5467500*A^7*B*C*b[1]^2-364500*A^6*B^3*b[1]^2+15440625*A^5*B*C^2*b[1]^3-4050000*A^4*B^3*C*b[1]^3-2880000*A^3*B^5*b[1]^3+9000000*A^2*B^3*C^2*b[1]^4-2400000*A*B^5*C*b[1]^4-2065500*A^8*B^2-9264375*A^7*C^2*b[1]-6672375*A^6*B^2*C*b[1]+1296000*A^5*B^4*b[1]+11390625*A^5*C^3*b[1]^2-9112500*A^4*B^2*C^2*b[1]^2-9180000*A^3*B^4*C*b[1]^2+33750000*A^2*B^2*C^3*b[1]^3-12000000*A*B^4*C^2*b[1]^3-6783750*A^6*B*C^2+1589625*A^5*B^3*C-19406250*A^4*B*C^3*b[1]-9450000*A^3*B^3*C^2*b[1]+42187500*A^2*B*C^4*b[1]^2-22500000*A*B^3*C^3*b[1]^2-12656250*A^4*C^4-3093750*A^3*B^2*C^3+17578125*A^2*C^5*b[1]-18750000*A*B^2*C^4*b[1]-5859375*A*B*C^5)*b[3]+5400000*C^4*A^5+759375*V*A^5-17496*A^10*b[1]^5+972*A^5*B^5+273375*A^11*b[1]^2+486000*A^9*B^2＝0

上面的结果与http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B的过程及结果一致，有兴趣大家可以直接复制后验算一遍。

数学星空

对于问题4，网友 God->Osiris 给出一个有趣的例子：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 18&fromuid=1455

我现在来验证一下：

\(32x^5+3349456x^4-5941616812296x^3-585145514845851080x^2+147013447513276833423286x+15377302441624829616294559439＝0\)    (1)

的实根为：(为了区别特将实根x记为y)

\(y=\frac{\sqrt{-11(-1451316\cos(2\theta))+69291\cos(4\theta)+149151\cos(6\theta)-486583cos(8\theta)-581326cos(10\theta))^2+19812679276093}}{11}\)    (2)

\(y=\sqrt{\frac{-(-297638912t^{10}+681814656t^8-521747040t^6+148072200t^4-14267886t^2+1466199)^2+1801152661463}{11}}\)    (2')

其中：

\(\theta=\frac{\pi}{11}\)   (3)

由下面方程：

\(t^{11}-1=(t-1)(32t^5+16t^4-32t^3-12t^2+6t+1)^2\)　　　（4）

知\(t=cos(\theta)\)是下面方程的根

\(32t^5+16t^4-32t^3-12t^2+6t+1=0\)     (5)

又由（2'）变形得：

\((-297638912t^{10}+681814656t^8-521747040t^6+148072200t^4-14267886t^2+1466199)^2+11y^2-1801152661463=0\)   (6)

然后将（6）与（5）消元t,得到：

\(199371481266949778652778855399424(32y^5+3349456y^4-5941616812296y^3-585145514845851080y^2+147013447513276833423286y+15377302441624829616294559439)(32y^5-3349456y^4-5941616812296y^3+585145514845851080y^2+147013447513276833423286y-15377302441624829616294559439)＝0\)    (7)

由于（7）中有一个因式

\(32y^5+3349456y^4-5941616812296y^3-585145514845851080y^2+147013447513276833423286y+15377302441624829616294559439=0\)　　（8）

（8）与（1）为同一个方程，即可说明 'x=y'即

\(x=\frac{\sqrt{-11(-1451316\cos(2\theta))+69291\cos(4\theta)+149151\cos(6\theta)-486583cos(8\theta)-581326cos(10\theta))^2+19812679276093}}{11}\)  (9)

liangbch

楼上能否学学Latex语法，将上面的贴图改成公式。贴图会导致论坛空间消耗的很快，而且网页刷新也慢。

liangbch

20楼的转为Latex格式
$X^3+X^2-x+1=0$

这是我解出的一个根
${(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{2/3}-(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{1/3}+4}/{3(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{1/3}}$

这是一个根
$x=({\sqrt{11}}/{3^{3/2}}-19/27)^{1/3}+{4}/(9({\sqrt{11}}/{3^{3/2}}-19/27)^{1/3})-1/3$

这个方程有一个实根，两个虚根。
如果不用序数i来表达虚根？
用我推到的解方程公式完全可以办到。

mathe

如果根的判别式是负的（三个实根），还是会出现对负数开平方的，也就是需要用虚数来表示了

数学星空

关\(x^3+x^2-x+1=0\)的根很容易求解:

其中实根为:

\(x_0=-\frac{(19+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}}{3}-\frac{4}{3(19+3\sqrt{33})^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{3}=-1.8392867552141611325\)

22#给出的两个根为虚根,且相等\(x_1=x_2\)

$x_1={(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{2/3}-(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{1/3}+4}/{3(3^{3/2}\sqrt{11}-19)^{1/3}}=0.41964337760708056626-0.60629072920719936909I$

$x_2=({\sqrt{11}}/{3^{3/2}}-19/27)^{1/3}+{4}/(9({\sqrt{11}}/{3^{3/2}}-19/27)^{1/3})-1/3=0.41964337760708056626-0.60629072920719936909I$