关于五次代数方程可根式求解问题

mathe

不要依赖于数学工具。你说它是复数就是复数，说它实数就是实数。需要注意，复数范围冪运算是多值函数。而且你这种写法不是很规范

数学星空

通过几天的努力终于找到了\(k=101,131,151\)的整系数五次方程:

\(k=101时, y^5+y^4-40y^3+93y^2-21y-17\)

\(k=131时, y^5+y^4-52y^3-89y^2+109y+193\)

\(k=151时, y^5+y^4-60y^3-12y^2+784y+128\)



有兴趣的可以按照图片中的命令验算一下.

数学星空

寻找k值的思路如下:

1.先试着分解\(\frac{x^k-1}{x-1}\),\(k=10m+1\),若不能分解,则转到下一步

2.寻找 \(y^i \mod k (i=1..k,y=1..k)\)使其解集数目\(=2m\) 的\(y\)值,找到后,取最小的\(y\)值,及其解集\(A\)

3.作差集\(\{0...{k-1}\}-A\)得到集合\(B\)

4.则有\(y=-\sum_{j\in B}^{} \beta^j\)

5.寻找最小五次多项式使\(f(y)=0\) 即可

6.使用maple软件验算,\(f(y)\)能否在\(Root(\frac{x^k-1}{x-1})\)三角函数域内分解.

数学星空

对于一般的整系数\(p\)次方程寻找\(k\)的问题:我们可以按照楼上的方案得到找到对应的分圆域内的分解实例.

只需要\(k=2pm+1\),且\(p,k\)均为素数.其它的求解步骤是一致的.

例如对于\(p=7\)有

我们可设\(\beta\)为\(\frac{x^{29}-1}{x-1}=0\)最小幅角的复根.

\(y^7+y^6-12y^5-7y^4+28y^3+14y^2-9y+1\)

\(=(\beta^{18}+\beta^{16}+\beta^{13}+\beta^{11}-y)(\beta^{25}+\beta^{19}+\beta^{10}+\beta^{4}-y)(\beta^{26}+\beta^{22}+\beta^{7}+\beta^{3}-y)(\beta^{27}+\beta^{24}+\beta^{5}+\beta^{2}-y)(\beta^{23}+\beta^{15}+\beta^{14}+\beta^{6}-y)(\beta^{27}+\beta^{26}+\beta^{25}+\beta^{24}+\beta^{23}+\beta^{22}+\beta^{21}+\beta^{20}+\beta^{19}+\beta^{18}+\beta^{16}+\beta^{15}+\beta^{14}+\beta^{13}+\beta^{11}+\beta^{10}+\beta^9+\beta^8+\beta^7+\beta^6+\beta^5+\beta^4+\beta^3+\beta^2+y+1)(\beta^{21}+\beta^{20}+\beta^9+\beta^8-y)\)

可以得到一般的可利用\(k\)次分圆域进行分解的\(p\)次整系数有如下形式:

\(y^p+y^{p-1}-m(p-1)y^{p-2}+...=0 \)

上面的问题还有另一种描述:

记\(A_0\)={\(e^{\frac{2n\pi I}{k}},n=0..2pm\)},则需要寻找一种分类方式满足下列要求:

1.对于集合\(A_0\)需要除掉\(2m\)个元素后得到集合\(B_0\)

2.然后对\(B_0\)除去1元素后,分成\(p-1\)组子集,使每组有\(2m\)个元素,并记每个子集为\(B_i ( i=1..p-1)\)

3.分别记\(B_j (j=0..p-1)\)中各个元素之和为\(s_j (j=0..p-1)\)

4.使其\(s_j(j=0..p-1)\)为\(p\)次整系数方程的根.

mathe

如果你那个k是素数，很容易证明p模10余1

mathe

另外由于Q[x^k-1]是Q的k-1次阶扩张而且是可解群，那么子群都是正规的

数学星空

不知mathe能否算出能在分圆域内(\(k=2mp+1\))分解的一般五次方程的具体系数?

通过计算,我们可以得到

\(x^5+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0\)

\(a_4=1\)

\(a_3=-m(p-1)\)

\(a_2=?\)

\(a_1=?\)

\(a_0=?\)

God→Osiris

数学星空 发表于 2014-12-2 21:50
TO  science123:

你的结论存在一个很明显的错误：

只要使用椭圆函数，不需要超椭圆函数

God→Osiris

其实我不知道大家是否关注代数方程的非初等函数解，已经研究代数方程几年了，也有了不少成果，现在对可以根式解的方程已经没有什么兴趣，

God→Osiris

http://tieba.baidu.com/p/2698454 ... p;cid=0#41513461069