关于五次代数方程可根式求解问题

数学星空

关于整系数的五次代数方程的根式求解一直是我们感兴趣的话题：

\(x^5+a_1 x^4+a_2 x^3+a_3x^2+a_4 x+a_5=0\)

1.有哪些特殊的类型可以根式求解？

2.如何判断一定存在根式解？

3.如何将其简化为\(X^5+UX+V=0\)

4.若允许使用三角函数如何求解代数方程的根？

当然，我确信以上问题利用现有数学理论中都可以解决，但是对于业余的数学爱好者来说可能并不清楚？

我们现在是收集相关的资料并展开讨论。

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对于问题1和3

已有解答：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B

mathe

zgg给出的方法应该比较简单易懂了
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 5742&fromuid=20

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对于问题2，可能要利用群论中的可解群来解释。

若利用数学软件和数值计算如何来快速判断一定有根式解？

网友zgg_ 给出了很简洁的描述

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 42&fromuid=1455

以上方法是否能通过我们的检验？

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对于问题4，网友 God->Osiris 给出一个有趣的例子：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 18&fromuid=1455

我们能否给出一般三角函数表达的描述和结论？

mathe

三角函数肯定是不够的。我记得在哪儿看到过五次方程的解可以用椭圆函数给出

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更讽刺的是：

中国科学院 力学研究所 吴中祥  居然在科学网的博客中得到了：

‘’任意n次不可约代数方程的根式解‘’
任何高次不可约代数方程的根式解(本文的创新)

综上所述，早已解得：2至4次不可约代数方程的根式解，本文又已求得：5和6次不可约代数方程的根式解，再按本文2m(m>1)次和2m(m>2)次不可约代数方程的根式解的解法，当逐次增大m，即可逐次解得任何高次不可约代数方程的根式解。

而且，它们都不含大于3次的根式。因而，它们的得解也都不与Galois理论相矛盾。


http://blog.sciencenet.cn/home.p ... d=space&uid=226

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mathe 发表于 2014-11-30 13:51
三角函数肯定是不够的。我记得在哪儿看到过五次方程的解可以用椭圆函数给出

关于五次方程根的超椭圆函数表示可见：

http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

http://www.doc88.com/p-7562045137232.html

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谁能下载并提供 http://www.doc88.com/p-7562045137232.html 的电子书？多谢

数学星空

数学星空 发表于 2014-11-30 13:43
对于问题2，可能要利用群论中的可解群来解释。

若利用数学软件和数值计算如何来快速判断一定有根式解？
...

其中有一步：

1、先把它弄成首1整系数的。
\(f=15377302441624829616294559439+147013447513276833423286x-585145514845851080x^2-5941616812296x^3+3349456x^4+32x^5 \)
就变成了
\(f=15377302441624829616294559439+73506723756638416711643x-146286378711462770x^2-742702101537x^3+209341x^4+x^5\)

上面变成首1方程，得到的结果为什么只保留上系数的分子？
\(f=x^5+(209341/2) x^4-(742702101537/4) x^3-(73143189355731385/4) x^2+(73506723756638416711643/16) x+15377302441624829616294559439/32 \)