差分方程求解问题

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kastin 发表于 2016-6-19 12:25
能证明那个不等式吗？

我有空试试。

kastin

若令 `c_n=a_n^{-1}`，显然 `c_n\to 0~(n\to \infty)`，递推式变为 `\D c_n=\frac{c_n}{1+c_n^3}=c_n-\frac{c_n^4}{1+c_n^3}`. 易知 `a_n=\sqrt[3]{3n}+o(1)`，令 `d_n=a_n^3-3n`，则有\[\begin{align*}c_n&=\frac{1}{\sqrt[3]{3n}}\left(1+\frac{d_n}{3n}\right)^{-\frac{1}{3}}\tag{1}\\
d_{n+1}-d_n&=3c_n^3+c_n^6\tag{2}\end{align*}\]现在可以使用反复迭代得到更精确的表达式了：
因 `c_n=o(1)` 代入(2)得 `d_{n+1}-d_n=o(1)`，故 `d_n=o(n)`. 继续代入(1)得 `\D c_n=\frac{1}{\sqrt[3]{3n}}+o(n^{-\frac{1}{3}})`，`\D d_{n+1}-d_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{9n^2}+o(\frac{1}{n})`，于是存在常数 `c` 使得 `\D d_n=\ln n+c-\frac{1}{9n}+o(\ln n)`. 代入(1)(2)得 `c_n=\D\frac{1}{\sqrt[3]{3n}}-\frac{c+\ln n}{9n\sqrt[3]{3n}}+\frac{1}{81n^2\sqrt[3]{3n}}+o(\frac{\ln n}{n\sqrt[3]{n}})`……后面的过程需要对 `\D\frac{(\ln x)^p}{x^q}` 使用欧拉求和公式。

mathe

我们假设\(u(x)=b_0+\sum_{h=1}^{\infty} b_h x^h\)在\(|x|\lt \frac1R\)绝对收敛，$b_0\gt 0$, 而且在区间\((0,\frac1R)\)单调。
我们可以分析递推数列\(a_{n+1}=a_n+u(\frac1{a_n})\)在$a_0$充分大时，必然可以得出楼上分析过程中的渐进公式。

1. 首先证明\(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty\). 由于对于充分大的$a_0$必然有\(u(\frac1{a_0}) \ge 0\), 所以$a_1 \ gt a_0$,同理$a_2 \gt a_1$,...,数列严格递增。如果不发散到无穷大，必然存在极限$A\gt a_0$,那么就可以得出\(A=A+u(\frac 1A)\),同 \(|u(\frac 1A) -b_0| \lt |u(\frac 1{a_0})-b_0| \)矛盾。

3. 由于u(x)在\((0,\frac1R)\)连续单调而且\(u(0)=b_0\), 所以对于充分大的n,必然有\(u(\frac1{a_n})\)充分接近\(b_0\),假设对于\(n\ge M\)都有\(|u(\frac1{a_n})-b_0| \lt e\),其中e是一个很小的正数。于是我们得出\( n(b_0-e) \lt a_{n+M}-a_M \lt n(b_0+e)\), 即\( n(b_0-e)+a_M \lt a_{n+M} \lt n(b_0+e)+a_M\)
4. 由于\(a_{n+1}-a_n = b_0 +\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{a_n^k}\), \(a_{n+M}-a_M = n b_0 + b_1 \sum_{h=M}^{n+M-1} \frac1{a_h}+\sum_{k=2}^{\infty} b_k \sum_{h=M}^{n-1+M} \frac1{a_n^k} = n b_0 + O(\ln(n))+ O(\frac 1n)= n b_0 + O(\ln(n))\)
所以我们可以得出 \(a_n = n b_0 + O(\ln(n))\), 于是我们可以假设存在 $c_1,c_2$使得对于充分大的n有\(nb_0 + c_1\ln(n) \lt a_n \lt nb_0+c_2 \ln(n)\)
5.再次代入上面递推式我们得到   \(a_{n+M}-a_M = n b_0 + b_1 \sum_{h=M}^{n+M-1} \frac1{a_h}+\sum_{k=2}^{\infty} b_k \sum_{h=M}^{n-1+M} \frac1{a_n^k} = n b_0 + \frac{b_1}{b_0} (\sum_{h=M}^n \frac1n) +O(\frac{\ln(n)}n)\). 由此，我们可以得出极限\( \lim_{n\to\infty} a_n-n b_0- \frac{b_1}{b_0} \ln(n) \)存在

mathe

下一步我们可以先计算\(\int_x^{\infty}\frac{\ln^a(x)}{x^b}dx=-\frac{b-1}{x^{b-1}}\ln^a(x)|_{x}^{\infty}+\int_x^{\infty}\frac{b-1}{x^{b-1}}\frac{a\ln^{a-1}(x)}{x}dx=\frac{(b-1)\ln^a(x)}{x^{b-1}}+(b-1)a\int_x^{\infty}\frac{\ln^{a-1}(x)}{x^b}dx=\frac{P(\ln(x))}{x^{b-1}}=O(\frac{\ln^a(x)}{x^{b-1}})\), 其中P是一个a次多项式。
由此可以得到\(\sum_{h=n}^{\infty}\frac{\ln^a(h)}{h^b}=O(\frac{(\ln^a(n))}{n^{b-1}})\)
定义\(f_{a,b}(x)=\sum_{h=0}^{\infty}\frac{\ln^a(h+x)}{(h+x)^b}\), 对于整数$a\ge 0, b\ge 2$，对于复数$\Re(x) \ge e\gt 1$一致连续，所以是解析函数
我们可以猜测\(f_{a,b}(x)=\sum_{k=b-1}^m \frac{P_{k,a,b}(\ln(x))}{x^k}+O(\frac{\ln(x)^{m+a-b}}{x^{m+1}})\), 其中多项式\(P_{k,a,b}(x)\)次数不超过$a-1+k-b$

mathe

然后我们可以用数学归纳法，假设已知
\[a_n=nb_0+\frac{b_1}{b_0}\ln(n)+c+\sum_{h=1}^{k-1}\frac{P_h(\ln(n))}{n^h}+O((\frac{\ln(n)}{n})^k)\]
其中\(P_h(x)\)是次数小于h的多项式。43#已经证明了k=1的情况。

如同43#过程，我们同样可以先计算
\(a_{n+M}-a_M=nb_0+\sum_{s=1}^{\infty}b_s\sum_{h=M}^{n-1+M}\frac1{a_h^s}\)
其中\(\frac1{a_h^s}=\frac1{(hb_0)^s\left(1+\frac{b_1}{b_0^2}\frac{\ln(h)}{h}+\frac{c}{hb_0}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{P_t(\ln(h))}{h^{t+1}b_0}+O(\frac{\ln^k(h)}{h^{k+1}})\right)^s}\)
这个s次方括号里各项都形如\(\frac{Q_{s,t}(h)}{h^t}\),其中\(Q_{s,t}(h)\)的次数不超过t,所以倒数再s次方展开后各项还是这种形式（多个这样的式子的乘积还是满足同样条件），由于\(O(\frac{\ln^k(h)}{h^{k+1}})\), 分母阶数大于k+1的可以抛弃。得到
\( \frac1{a_h^s}=\frac1{(hb_0)^s} \left(1+\sum_{t=1}^k \frac{Q_{s,t}(h)}{h^t} +O(\frac{\ln^{k+1}(h)}{h^{k+1}})\right)\), 其中\(Q_{s,t}(h)\)的次数不超过t
于是对于\(s\ge 1\)，我们可以先对s求和并且抛弃高阶无穷小项，最后得到结果形如
\(a_{n+M}-a_M=nb_0+\sum_{h=M}^{n-1+M}\frac{b_1}{hb_0}+\sum_{h=M}^{n-1+M}\left(\sum_{t=2}^k \frac{Q_t(h)}{h^t} +O(\frac{\ln^{k+1}(h)}{h^{k+2}})\right)\)， 其中\(Q_t(h)\)的次数小于t

由于\(\sum_{h=M}^{\infty}\frac{Q_t(h)}{h^t}\)收敛，我们可以写成\(\sum_{h=M}^{n-1+M}\frac{Q_t(h)}{h^t}=\sum_{h=M}^{\infty}\frac{Q_t(h)}{h^t} - \sum_{h=n+M}^{\infty}\frac{Q_t(h)}{h^t}\), 其中前面部分是常数，后面部分可以用44#的猜想转化为我们希望的格式，从而完成归纳证明。

mathe

这个问题一般情况的严格证明比较困难。
7#的计算过程对于递推\(a_{n+1}=a_n+u(\frac1{a_n})\), \(u(x)=\sum_{h=0}^{\infty}b_h x^h\), 并且记\(v(x)=x+u(\frac1x)\)
那么我们可以有渐进式\[a_n \approx nb_0+\frac{b_1}{b_0}\ln(n)+c_{a_0}+\sum_{h=1}^{\infty}\frac{P_h(\frac{b_1}{b_0}\ln(n)+c_{a_0})}{n^h}\]
其中多项式$P_h(x)$和$a_0$的选择没有关系。其中\(c_{a_0}=\lim_{n\to\infty} a_n - nb_0-\frac{b_1}{b_0}\ln(n)\), 即假设数列首项为\(a_0\)后这个极限值。
7#建议将表达式写成形式级数\[a_n \approx \frac{b_0}y+X+\sum_{h=1}^{\infty} P_h(X)y^h\]
然后在表达式中用\(\frac y{1+y}\)替换y, \(X+\frac{b_1}{b_0}\ln(1+y)\)替换X可以得到\[a_{n+1} \approx \frac{b_0(1+y)}{y}+X+\frac{b_1}{b_0}\ln(1+y)+\sum_{h=1}^{\infty} P_h(X+\frac{b_1}{b_0}\ln(1+y))\frac{y^h}{(1+y)^h}\]
然后我们通过公式\(a_{n+1}=a_n+u(\frac1{a_n})\)可以解得$P_h(.)$, 上面形式计算过程中$a_0,c_{a_0}$都不需要参与，所以得到的函数\(P_h(x)\)和它们没有关系。

18#中定义\(g(c_{a_0},m)=a_m\),即数列首项为$a_0$时$a_m$的取值。这个定义可以推广到m为任意实数，而且有关系\(g(c,m)=g(c+d b_0,m-d)\).
所以对于给定的\(c_{a_0}\),对于每个n,如果我们能够找到m使得\(\frac{b_1}{b_0}\ln(m)+c_{a_0}- b_0(m-n)=0\), 那么\(a_n=g(c_{a_0},n)=g(c_{a_0}-(m-n) b_0, m) \approx m b_0 + \sum_{h=1}^{\infty} \frac{P_h(0)}{m^h}\), 我们可以记\(s(x)\approx \frac{b_0}x+\sum_{h=1}^{\infty} P_h(0) x^h\), 即\(a_n \approx s(\frac 1m)\).
由于同样会有\(m'\)使得\(\frac{b_1}{b_0}\ln(m')+c_{a_0}- b_0(m'-n-1)=0\), 那么\(a_{n+1}\approx s(\frac1{m'})\)
从上面m,m'的关系式中消除$c_{a_0}-b_0n$可以得出$m',m$的关系式\(\frac{b_1}{b_0}\ln(m) - m b_0=\frac{b_1}{b_0}\ln(m')- (m'-1)b_0\), 而18#中使用这个等式关系先计算出隐函数$m'=J(m)$的泰勒展开式。
然后由于\(a_{n+1}=a_n+u(\frac1{a_n}) =v(a_n)\), 代入我们可以得到\(s(\frac1{J(m)}) = v(s(\frac1m))\)并且可以利用这个等式关系求得$s(x)$的渐进式（很可能是泰勒展开式).
然后我们就可以求得s(x)的逆函数\(s^{-1}(x)\)的泰勒展开式 。对于已知的$a_n$,n足够大时，我们可以通过\(s^{-1}(a_n)\)计算出对应的m,然后利用公式\(\frac{b_1}{b_0}\ln(m)+c_{a_0}- b_0(m-n)=0\)求得$c_{a_0}$的数值近似。
此后对于给定的其它n,都可以利用公式\(\frac{b_1}{b_0}\ln(m)+c_{a_0}- b_0(m-n)=0\)先求对应的m,在计算\(a_n=s(\frac1m)\)

mathe

由于对于任意充分大的$a_0$, 使用迭代函数$a_{n+1}=v(a_n)$, 那么$C(a_0) = \frac1{b_0}(\lim_{n\to \infty} a_n- n b_0 - \frac{b_1}{b_0}\ln(n))$存在。
而且显然$C(v(x))=C(x)+1$, 设$x=D(y)=C^{-1}(y)$, 那么$y =C(x)$, 会有$D(y+1)=C^{-1}(y+1)=C^{-1}(C(x)+1)=C^{-1}(C(v(x)))=v(x)$， 得出$D(y+1)=v(D(y))$。
特别的如果设$C(a_0)=X_0$,那么我们知道$D(X_0)=a_0,D(X_0+n)=a_n$。这说明我们只要得出函数$C(x)$较好的计算方法，并且得到常数$C(a_0)$, 那么通过通过二分法甚至牛顿迭代法等高级方法求解方程$C(x)=X_0+n$就可以得到$a_n$
而Buffalo在14#认为C(x)可以写成\(C(x)\approx  \frac{x}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2} \ln(x) +\alpha_0 +\sum_{h=1}^{\infty} \frac{\alpha_h }{x^h}\). 这个格式使用递推关系式$C(v(x))=C(x)+1$可以确定除了$\alpha_0$以外的所有系数，但是$\alpha_0$无法确定。

实际上，只要我们能够找到一个任意的连续单调函数C(x)满足$C(v(x))=C(x)+1$, 那么必然有$C(a_{n+m})=C(a_m)+n$。
于是就可以使用公式$a_{n+m}=C^{-1}(C(a_m)+n)$来求$a_{n+m}$, 所以我们总是可以选择上面计算中对应$\alpha_0=0$的函数来进行计算,
也就是我们总可以选择\(C(x)\approx  \frac{x}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2} \ln(x) +\sum_{h=1}^{\infty} \frac{\alpha_h }{x^h}\)
由此\(C(x) = \frac{x}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2} \ln(x)+O(1/x)\)
而\(a_n=n b_0 +\frac{b_1}{b_0} \ln(n) + c_{a_0} + O(\frac{\ln(n)}{n})\)
由此\(C(x) = \frac{x}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2} \ln(x)+O(1/x)\)
而\(a_n=n b_0 +\frac{b_1}{b_0} \ln(n) + c_{a_0} + O(\frac{\ln(n)}{n})\)
有此我们得到\(C(a_n) = n+\frac{b_1}{b_0^2}\ln(n)+\frac{c_{a_0}}{b_0}-\frac{b_1}{b_0^2}\ln(n b_0 +\frac{b_1}{b_0} \ln(n) + c_{a_0})+ O(\frac{\ln(n)}{n})\)
即\(C(a_n) = n+\frac{c_{a_0}}{b_0}-\frac{b_1}{b_0^2}\ln(b_0 +\frac{b_1}{b_0} \frac{\ln(n)}n + \frac{c_{a_0}}n)+ O(\frac{\ln(n)}{n})\)
所以\(\lim_{n\to\infty} C(a_n)-n =\frac{c_{a_0}}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2}\ln(b_0)\)
由于$C(a_n)-n$是常数，我们得到\(C(a_n) =n+\frac{c_{a_0}}{b_0} -\frac{b_1}{b_0^2}\ln(b_0)\)

mathe

我们记$v_1(x)=v(x), v_{n+1}(x)=v(v_n(x))$, 于是我们知道对于充分大的x有$v_n(x)=n b_0+\frac{b_1}{b_0}\ln(n)+c_1(x)+O(\frac{\ln(x)}x)$
又由于$v'(x)=1-\frac1{x^2} u'(\frac1x)$在$|x|>R$有$|1-v'(x)| \le \frac M{|x|^2}$, 其中\(M=\max\{|u'(x)|, |x|\lt \frac 1R\}\)
由此我们可以得出无穷级数\(\sum_{k=1}^{\infty} \ln(v'(v_k(x)))\)一致收敛，所以可以逐项求导，从而可以证明这个函数在实数轴附近解析。 由此得出函数\(D(x)=\prod_{k=1}^{\infty} v'(v_k(x))\)是一个解析函数。
而如果上面的C(x)是一个解析函数，容易得出其导数必然等于D(x)，所以我们只要证明D(x)的原函数满足C(x)的递推关系即可证明C(x)是解析函数

liyqa

腻害呀，学习了

数学星空

根据楼上46#mathe的分析结果我们试着推算出：

\(a_{n+1}=a_n+b_0+\frac{b_1}{a_n}+\frac{b_2}{a_n^2}+\frac{b_3}{a_n^3}+\frac{b_4}{a_n^4}+\frac{b_5}{a_n^5}+\frac{b_6}{a_n^6}+\frac{b_7}{a_n^7}+\frac{b_8}{a_n^8}\)

的渐近表达式

我们设\(X=\frac{b_1\ln(n)}{b_0}+c_0,y=\frac{1}{n}\)

显然有\(\frac{1}{n+1}=\frac{y}{1+y},X_{n+1}=\frac{b_1\ln(\frac{1+y}{y})}{b_0}+c_0=X_n+\frac{b_1\ln(1+y)}{b_0}+c_0\)

\(a_n=nb_0+X+\sum_{h=0}^{\infty} P_h(X) \frac{1}{n^h}=\frac{b_0}{y}+X+\sum_{h=0}^{\infty} P_h(X) y^h\)

\(\sum_{h=0}^{\infty} P_h(X) y^h=(b_{00}+b_{01}X)y+(b_{10}+b_{11}X+b_{12}X^2)y^2+(b_{20}+b_{21}X+b_{22}X^2+b_{23}X^3)y^3+(b_{30}+b_{31}X+b_{32}X^2+b_{33}X^3+b_{34}X^4)y^4+(b_{40}+b_{41}X+b_{42}X^2+b_{43}X^3+b_{44}X^4+b_{45}X^5)y^5+(b_{50}+b_{51}X+b_{52}X^2+b_{53}X^3+b_{54}X^4+b_{55}X^5+b_{56}X^6)y^6+(b_{60}+b_{61}X+b_{62}X^2+b_{63}X^3+b_{64}X^4+b_{65}X^5+b_{66}X^6+b_{67}X^7)y^7\)

由下面递推式关系

\(a_{n}=F(X,y)=\frac{b_0}{y}+X+\sum_{h=0}^{\infty} P_h(X) y^h\)

\(a_{n+1}=F(X+\frac{b_1\ln(1+y)}{b_0}+c_0,\frac{y}{1+y})\)

\(a_{n+1}=a_n+b_0+\frac{b_1}{a_n}+\frac{b_2}{a_n^2}+\frac{b_3}{a_n^3}+\frac{b_4}{a_n^4}+\frac{b_5}{a_n^5}+\frac{b_6}{a_n^6}+\frac{b_7}{a_n^7}+\frac{b_8}{a_n^8}\)

渐近展开关于y,X的系数对应相等可以得到

b00 = -(b0^2*b1 + 2*b0*b2 - 2*b1^2)/(2*b0^3),
b01 = b1/b0^2,

b10 = -(b0^4*b1 + 6*b0^3*b2 + 3*b0^2*b1^2 + 6*b0^2*b3 - 6*b1^3)/(12*b0^5),
b11 = (b0*b1 + 2*b2)/(2*b0^3),
b12 = -b1/(2*b0^3),

b20 = -(6*b0^5*b2 + 13*b0^4*b1^2 + 18*b0^4*b3 + 36*b0^3*b1*b2 - 21*b0^2*b1^3 + 12*b0^3*b4 - 6*b0^2*b1*b3 + 24*b0^2*b2^2 - 36*b0*b1^2*b2 + 6*b1^4)/(36*b0^7),
b21 = (b0^4*b1 + 6*b0^3*b2 + 6*b0^2*b1^2 + 6*b0^2*b3 + 6*b0*b1*b2 - 6*b1^3)/(6*b0^6),
b22 = -(b0^2*b1 + 2*b0*b2 + b1^2)/(2*b0^5),
b23 = b1/(3*b0^4),

b30 = (6*b0^8*b1 - 120*b0^6*b1^2 - 180*b0^6*b3 - 900*b0^5*b1*b2 - 65*b0^4*b1^3 - 360*b0^5*b4 - 540*b0^4*b1*b3 - 900*b0^4*b2^2 + 540*b0^3*b1^2*b2 + 510*b0^2*b1^4 - 180*b0^4*b5 + 120*b0^3*b1*b4 - 720*b0^3*b2*b3 + 660*b0^2*b1^2*b3 + 60*b0^2*b1*b2^2 + 360*b0*b1^3*b2 - 300*b1^5)/(720*b0^9),
b31 = (2*b0^5*b2 + 5*b0^4*b1^2 + 6*b0^4*b3 + 16*b0^3*b1*b2 - 3*b0^2*b1^3 + 4*b0^3*b4 + 2*b0^2*b1*b3 + 8*b0^2*b2^2 - 8*b0*b1^2*b2 - 2*b1^4)/(4*b0^8),
b32 = -(b0^4*b1 + 6*b0^3*b2 + 8*b0^2*b1^2 + 6*b0^2*b3 + 10*b0*b1*b2 - 4*b1^3)/(4*b0^7),
b33 = (3*b0^2*b1 + 6*b0*b2 + 5*b1^2)/(6*b0^6),
b34 = -b1/(4*b0^5),

b40 = (120*b0^9*b2 + 36*b1^2*b0^8 + (-2400*b1*b2 - 1200*b4)*b0^7 + (-2030*b1^3 - 5460*b1*b3 - 4440*b2^2 - 1800*b5)*b0^6 + (-5800*b1^2*b2 - 2400*b1*b4 - 9000*b2*b3 - 720*b6)*b0^5 + (4365*b1^4 + 5700*b3*b1^2 + (-7500*b2^2 + 540*b5)*b1 - 3360*b4*b2 - 1080*b3^2)*b0^4 + (12900*b1^3*b2 + 3240*b1^2*b4 + 1680*b1*b2*b3 - 3120*b2^3)*b0^3 + (-2010*b1^5 + 180*b1^3*b3 + 7020*b1^2*b2^2)*b0^2 - 4200*b0*b1^4*b2 - 180*b1^6)/(3600*b0^11),
b41 = (-6*b1*b0^8 + (120*b1^2 + 180*b3)*b0^6 + (990*b1*b2 + 360*b4)*b0^5 + (290*b1^3 + 810*b1*b3 + 900*b2^2 + 180*b5)*b0^4 + (180*b1^2*b2 + 60*b1*b4 + 720*b2*b3)*b0^3 + (-645*b1^4 - 570*b1^2*b3 + 300*b1*b2^2)*b0^2 - 720*b0*b1^3*b2 + 210*b1^5)/(180*b0^10),
b42 = (-4*b0^5*b2 + (-11*b1^2 - 12*b3)*b0^4 + (-38*b1*b2 - 8*b4)*b0^3 + (-2*b1^3 - 10*b1*b3 - 16*b2^2)*b0^2 + 6*b0*b1^2*b2 + 8*b1^4)/(4*b0^9),
b43 = (2*b0^4*b1 + 12*b0^3*b2 + (19*b1^2 + 12*b3)*b0^2 + 26*b1*b2*b0 - 3*b1^3)/(6*b0^8),
b44 = (-6*b0^2*b1 - 12*b0*b2 - 13*b1^2)/(12*b0^7),
b45 = b1/(5*b0^6),

b50 = (-600*b1*b0^12 + (6930*b1^2 + 12600*b3)*b0^10 + 12600*b0^9*b1*b2 + (-59423*b1^3 - 163800*b1*b3 - 88200*b2^2 - 63000*b5)*b0^8 + (-527100*b1^2*b2 - 277200*b1*b4 - 466200*b2*b3 - 75600*b6)*b0^7 + (33915*b1^4 - 120120*b3*b1^2 + (-904680*b2^2 - 94500*b5)*b1 - 428400*b4*b2 - 151200*b3^2 - 25200*b7)*b0^6 + (673050*b1^3*b2 + 327600*b4*b1^2 + (-466200*b2*b3 + 20160*b6)*b1 - 466200*b2^3 - 138600*b5*b2 - 75600*b3*b4)*b0^5 + (193305*b1^5 + 567000*b1^3*b3 + (711900*b2^2 + 136080*b5)*b1^2 + (85680*b2*b4 + 36540*b3^2)*b1 - 327600*b2^2*b3)*b0^4 + (119700*b1^4*b2 - 15120*b1^3*b4 + 561960*b1^2*b2*b3 + 32760*b1*b2^3)*b0^3 + (-229320*b1^6 - 244440*b1^4*b3 + 105840*b1^3*b2^2)*b0^2 - 214200*b0*b1^5*b2 + 61740*b1^7)/(151200*b0^13),
b51 = (-24*b0^9*b2 - 12*b1^2*b0^8 + (480*b1*b2 + 240*b4)*b0^7 + (502*b1^3 + 1236*b1*b3 + 888*b2^2 + 360*b5)*b0^6 + (1952*b1^2*b2 + 768*b1*b4 + 1800*b2*b3 + 144*b6)*b0^5 + (-641*b1^4 - 492*b3*b1^2 + (2220*b2^2 + 36*b5)*b1 + 672*b4*b2 + 216*b3^2)*b0^4 + (-2436*b1^3*b2 - 600*b1^2*b4 + 240*b1*b2*b3 + 624*b2^3)*b0^3 + (-114*b1^5 - 492*b1^3*b3 - 1164*b1^2*b2^2)*b0^2 + 264*b0*b1^4*b2 + 204*b1^6)/(144*b0^12),
b52 = (6*b1*b0^8 + (-120*b1^2 - 180*b3)*b0^6 + (-1062*b1*b2 - 360*b4)*b0^5 + (-488*b1^3 - 1026*b1*b3 - 900*b2^2 - 180*b5)*b0^4 + (-864*b1^2*b2 - 204*b1*b4 - 720*b2*b3)*b0^3 + (609*b1^4 + 390*b1^2*b3 - 588*b1*b2^2)*b0^2 + 828*b0*b1^3*b2 - 66*b1^5)/(72*b0^11),
b53 = (20*b0^5*b2 + (59*b1^2 + 60*b3)*b0^4 + (214*b1*b2 + 40*b4)*b0^3 + (48*b1^3 + 74*b1*b3 + 80*b2^2)*b0^2 + 22*b0*b1^2*b2 - 46*b1^4)/(12*b0^10),
b54 = (-10*b0^4*b1 - 60*b0^3*b2 + (-107*b1^2 - 60*b3)*b0^2 - 154*b1*b2*b0 - 11*b1^3)/(24*b0^9),
b55 = (30*b0^2*b1 + 60*b0*b2 + 77*b1^2)/(60*b0^8),
b56 = -b1/(6*b0^7),

b60 = (-25200*b0^13*b2 - 18030*b1^2*b0^12 + (291060*b1*b2 + 176400*b4)*b0^11 + (84777*b1^3 + 166320*b1*b3 + 186480*b2^2)*b0^10 + (-2407566*b1^2*b2 - 1675800*b1*b4 - 1852200*b2*b3 - 529200*b6)*b0^9 + (-1261330*b1^4 - 4784220*b3*b1^2 + (-8048880*b2^2 - 2286900*b5)*b1 - 4258800*b4*b2 - 1701000*b3^2 - 529200*b7)*b0^8 + (-2265270*b1^3*b2 - 210000*b4*b1^2 + (-13499640*b2*b3 - 635040*b6)*b1 - 5841360*b2^3 - 3439800*b5*b2 - 2116800*b3*b4 - 151200*b8)*b0^7 + (3354855*b1^5 + 8476650*b1^3*b3 + (-1516200*b2^2 + 2857680*b5)*b1^2 + (-3316320*b2*b4 - 820260*b3^2 + 126000*b7)*b1 - 9790200*b2^2*b3 - 967680*b2*b6 - 491400*b3*b5 - 201600*b4^2)*b0^6 + (12830160*b1^4*b2 + 4533480*b1^3*b4 + (13829760*b2*b3 + 957600*b6)*b1^2 + (-4692240*b2^3 + 662760*b2*b5 + 504000*b3*b4)*b1 - 2499840*b2^2*b4 - 1564920*b2*b3^2)*b0^5 + (-2516745*b1^6 - 2310840*b1^4*b3 + (13776840*b2^2 - 189000*b5)*b1^3 + (4530960*b2*b4 + 1392300*b3^2)*b1^2 + 1338120*b1*b2^2*b3 - 1471680*b2^4)*b0^4 + (-8793540*b1^5*b2 - 2167200*b1^4*b4 - 148680*b1^3*b2*b3 + 4432680*b1^2*b2^3)*b0^3 + (74340*b1^7 - 945000*b1^5*b3 - 4523400*b1^4*b2^2)*b0^2 + 1093680*b0*b1^6*b2 + 283500*b1^8)/(1058400*b0^15),
b61 = (600*b1*b0^12 + (-6930*b1^2 - 12600*b3)*b0^10 - 16800*b0^9*b1*b2 + (57323*b1^3 + 163800*b1*b3 + 88200*b2^2 + 63000*b5)*b0^8 + (611100*b1^2*b2 + 319200*b1*b4 + 466200*b2*b3 + 75600*b6)*b0^7 + (53935*b1^4 + 336420*b3*b1^2 + (1060080*b2^2 + 157500*b5)*b1 + 428400*b4*b2 + 151200*b3^2 + 25200*b7)*b0^6 + (-331450*b1^3*b2 - 193200*b4*b1^2 + (781200*b2*b3 + 5040*b6)*b1 + 466200*b2^3 + 138600*b5*b2 + 75600*b3*b4)*b0^5 + (-305480*b1^5 - 653100*b1^3*b3 + (-323400*b2^2 - 129780*b5)*b1^2 + (31920*b2*b4 + 1260*b3^2)*b1 + 327600*b2^2*b3)*b0^4 + (-546000*b1^4*b2 - 89880*b1^3*b4 - 519960*b1^2*b2*b3 + 76440*b1*b2^3)*b0^3 + (209370*b1^6 + 158340*b1^4*b3 - 309540*b1^3*b2^2)*b0^2 + 260400*b0*b1^5*b2 - 26040*b1^7)/(25200*b0^14),
b62 = (72*b0^9*b2 + 48*b1^2*b0^8 + (-1440*b1*b2 - 720*b4)*b0^7 + (-1746*b1^3 - 4068*b1*b3 - 2664*b2^2 - 1080*b5)*b0^6 + (-7980*b1^2*b2 - 3024*b1*b4 - 5400*b2*b3 - 432*b6)*b0^5 + (947*b1^4 - 576*b3*b1^2 + (-8460*b2^2 - 468*b5)*b1 - 2016*b4*b2 - 648*b3^2)*b0^4 + (5580*b1^3*b2 + 1392*b1^2*b4 - 2160*b1*b2*b3 - 1872*b2^3)*b0^3 + (1560*b1^5 + 2256*b1^3*b3 + 2316*b1^2*b2^2)*b0^2 + 864*b0*b1^4*b2 - 744*b1^6)/(144*b0^13),
b63 = (-6*b1*b0^8 + (120*b1^2 + 180*b3)*b0^6 + (1122*b1*b2 + 360*b4)*b0^5 + (665*b1^3 + 1206*b1*b3 + 900*b2^2 + 180*b5)*b0^4 + (1506*b1^2*b2 + 324*b1*b4 + 720*b2*b3)*b0^3 + (-465*b1^4 - 168*b1^2*b3 + 828*b1*b2^2)*b0^2 - 762*b0*b1^3*b2 - 72*b1^5)/(36*b0^12),
b64 = (-60*b0^5*b2 + (-187*b1^2 - 180*b3)*b0^4 + (-702*b1*b2 - 120*b4)*b0^3 + (-251*b1^3 - 282*b1*b3 - 240*b2^2)*b0^2 - 220*b0*b1^2*b2 + 127*b1^4)/(24*b0^11),
b65 = (30*b0^4*b1 + 180*b0^3*b2 + (351*b1^2 + 180*b3)*b0^2 + 522*b1*b2*b0 + 110*b1^3)/(60*b0^10),
b66 = (-10*b0^2*b1 - 20*b0*b2 - 29*b1^2)/(20*b0^9),
b67 = b1/(7*b0^8)}


例1：对于\(a_{n+1}=a_n+2+\frac{1}{a_n}\)

\( b_0=2,b_1=1,b_2=0,b_3=0,b_4=0,b_5=0,b_6=0,b_7=0,b_8=0\) 代入上面计算结果得到

{b00 = -1/8, b01 = 1/4, b10 = -11/192, b11 = 1/8, b12 = -1/16, b20 = -65/2304, b21 = 17/192, b22 = -5/64, b23 = 1/48, b30 = -1361/92160, b31 = 33/512, b32 = -11/128, b33 = 17/384, b34 = -1/128, b40 = -14771/1843200, b41 = 4207/92160, b42 = -11/128, b43 = 35/512, b44 = -37/1536, b45 = 1/320, b50 = -1541417/309657600, b51 = 4637/147456, b52 = -5791/73728, b53 = 545/6144, b54 = -599/12288, b55 = 197/15360, b56 = -1/768, b60 = -33729013/8670412800, b61 = 588223/25804800, b62 = -9851/147456, b63 = 3713/36864, b64 = -3869/49152, b65 = 997/30720, b66 = -69/10240, b67 = 1/1792}

进一步代入\(a_n\)渐近表达式得到

a_n=2*n + ln(n)/2 + c0 + (ln(n)/8 + c0/4 - 1/8)/n + (-(ln(n)/2 + c0)^2/16 + ln(n)/16 + c0/8 - 11/192)/n^2 + ((ln(n)/2 + c0)^3/48 - (5*(ln(n)/2 + c0)^2)/64 + (17*ln(n))/384 + (17*c0)/192 - 65/2304)/n^3 + (-(ln(n)/2 + c0)^4/128 + (17*(ln(n)/2 + c0)^3)/384 - (11*(ln(n)/2 + c0)^2)/128 + (33*ln(n))/1024 + (33*c0)/512 - 1361/92160)/n^4 + ((ln(n)/2 + c0)^5/320 - (37*(ln(n)/2 + c0)^4)/1536 + (35*(ln(n)/2 + c0)^3)/512 - (11*(ln(n)/2 + c0)^2)/128 + (4207*ln(n))/184320 + (4207*c0)/92160 - 14771/1843200)/n^5 + (-(ln(n)/2 + c0)^6/768 + (197*(ln(n)/2 + c0)^5)/15360 - (599*(ln(n)/2 + c0)^4)/12288 + (545*(ln(n)/2 + c0)^3)/6144 - (5791*(ln(n)/2 + c0)^2)/73728 + (4637*ln(n))/294912 + (4637*c0)/147456 - 1541417/309657600)/n^6 + ((ln(n)/2 + c0)^7/1792 - (69*(ln(n)/2 + c0)^6)/10240 + (997*(ln(n)/2 + c0)^5)/30720 - (3869*(ln(n)/2 + c0)^4)/49152 + (3713*(ln(n)/2 + c0)^3)/36864 - (9851*(ln(n)/2 + c0)^2)/147456 + (588223*ln(n))/51609600 + (588223*c0)/25804800 - 33729013/8670412800)/n^7

将其结果表达为：

\(t=4n,u=\frac{\ln(n)}{2}+c_0\)得到

a_n=t/2 + u + (u - 1/2)/t + (-u^2 + 2*u - 11/12)/t^2 + (4/3*u^3 - 5*u^2 + 17/3*u - 65/36)/t^3 + (-1361/360 - 2*u^4 + 34/3*u^3 - 22*u^2 + 33/2*u)/t^4 + (-14771/1800 + 16/5*u^5 - 74/3*u^4 + 70*u^3 - 88*u^2 + 4207/90*u)/t^5 + (-1541417/75600 - 16/3*u^6 + 788/15*u^5 - 599/3*u^4 + 1090/3*u^3 - 5791/18*u^2 + 4637/36*u)/t^6 + (-33729013/529200 + 64/7*u^7 - 552/5*u^6 + 7976/15*u^5 - 3869/3*u^4 + 14852/9*u^3 - 9851/9*u^2 + 588223/1575*u)/t^7

与下面链接中的结果一致

A233770        Decimal expansion of lim_{n -> infinity} b(n)^2 - 2n - (log n)/2 where b(i) = b(i-1) + 1/b(i-1) for i >= 2, b(1) = 1 (see A073833).

t/2 + u + (u - 1/2)/t + (-u^2 + 2*u - 11/12)/t^2 + ((4*u^3)/3 - 5*u^2 + 17/3*u - 65/36)/t^3,

[t = 4*n, u = ln(n)/2 + c, c = -0.27685762486257653893643725082357339631797973752751373915977316435485014180]


例2：对于\(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2}\)

两边3次方后再展开令\(b_n=a_n^3\)得到  \(b_{n+1}=b_n+3+\frac{3}{b_n}+\frac{1}{b_n^2}\)

即有\(b_0=3,b_1=3,b_2=1,b_3=0,b_4=0,b_5=0,b_6=0,b_7=0,b_8=0\)代入上面结果有：

b00 = -5/18, b01 = 1/3, b10 = -1/6, b11 = 11/54, b12 = -1/18, b20 = -157/1458, b21 = 29/162, b22 = -7/81, b23 = 1/81, b30 = -13327/174960, b31 = 122/729, b32 = -115/972, b33 = 8/243, b34 = -1/324, b40 = -444191/7873200, b41 = 20647/131220, b42 = -1321/8748, b43 = 139/2187, b44 = -35/2916, b45 = 1/1215, b50 = -14533499/330674400, b51 = 138391/944784, b52 = -28573/157464, b53 = 8273/78732, b54 = -200/6561, b55 = 187/43740, b56 = -1/4374, b60 = -777322409/20832487200, b61 = 33909461/248005800, b62 = -65179/314928, b63 = 2047/13122, b64 = -1097/17496, b65 = 1787/131220, b66 = -197/131220, b67 = 1/15309

即有

b_n=3*n + ln(n)/2 + c0 + (ln(n)/6 + c0/3 - 5/18)/n + (-(ln(n)/2 + c0)^2/18 + (11*ln(n))/108 + (11*c0)/54 - 1/6)/n^2 + ((ln(n)/2 + c0)^3/81 - (7*(ln(n)/2 + c0)^2)/81 + (29*ln(n))/324 + (29*c0)/162 - 157/1458)/n^3 + (-(ln(n)/2 + c0)^4/324 + (8*(ln(n)/2 + c0)^3)/243 - (115*(ln(n)/2 + c0)^2)/972 + (61*ln(n))/729 + (122*c0)/729 - 13327/174960)/n^4 + ((ln(n)/2 + c0)^5/1215 - (35*(ln(n)/2 + c0)^4)/2916 + (139*(ln(n)/2 + c0)^3)/2187 - (1321*(ln(n)/2 + c0)^2)/8748 + (20647*ln(n))/262440 + (20647*c0)/131220 - 444191/7873200)/n^5 + (-(ln(n)/2 + c0)^6/4374 + (187*(ln(n)/2 + c0)^5)/43740 - (200*(ln(n)/2 + c0)^4)/6561 + (8273*(ln(n)/2 + c0)^3)/78732 - (28573*(ln(n)/2 + c0)^2)/157464 + (138391*ln(n))/1889568 + (138391*c0)/944784 - 14533499/330674400)/n^6 + ((ln(n)/2 + c0)^7/15309 - (197*(ln(n)/2 + c0)^6)/131220 + (1787*(ln(n)/2 + c0)^5)/131220 - (1097*(ln(n)/2 + c0)^4)/17496 + (2047*(ln(n)/2 + c0)^3)/13122 - (65179*(ln(n)/2 + c0)^2)/314928 + (33909461*ln(n))/496011600 + (33909461*c0)/248005800 - 777322409/20832487200)/n^7

若记x=ln(n)+c0

b_n=3*n + x + (x/3 - 5/18)/n + (-1/18*x^2 + 11/54*x - 1/6)/n^2 + (1/81*x^3 - 7/81*x^2 + 29/162*x - 157/1458)/n^3 + (-1/324*x^4 + 8/243*x^3 - 115/972*x^2 + 122/729*x - 13327/174960)/n^4 + (1/1215*x^5 - 35/2916*x^4 + 139/2187*x^3 - 1321/8748*x^2 + 20647/131220*x - 444191/7873200)/n^5 + (-1/4374*x^6 + 187/43740*x^5 - 200/6561*x^4 + 8273/78732*x^3 - 28573/157464*x^2 + 138391/944784*x - 14533499/330674400)/n^6 + (1/15309*x^7 - 197/131220*x^6 + 1787/131220*x^5 - 1097/17496*x^4 + 2047/13122*x^3 - 65179/314928*x^2 + 33909461/248005800*x - 777322409/20832487200)/n^7