差分方程求解问题

mathe

18#得出m(x)的形式是$m(x)=x/3+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{u_k}{x^k}$。于是当x取$b_n$得出结果为m,而当x取$b_{n+1}$时得到结果为m',那么m'和m恰好有18#中关系$m'=J(m)$
也就是$J(m(x))=m(x+3+3/x+1/{x^2})$
由此直接可以解出$m(x)$的系数

在得到m(x)后根据18#给定一项可以求出对应的m再求出a.在得到a和给定项数n,那么可以先算m使得$m-{\ln(m)}/3=n+a/3$,然后就可以用18#的m->x的函数s求出这一项的值

mathe

现在比如选择$b_30= 94.577173180254437058800379657718614759$
那么根据前4项可得$m=31.5287182224435829596913315304969568$,$a=1.13525584723432304669623826092662724$,精度在8位
如果$b_1000=3008.045412232225615137583957841337992049977740047149556926283$
那么根据m(x)前4项可得$m=1002.681896477635973673360401688986574721554051620745012411842,a=1.1352558473155037114596749643830028099868785719581459235494458$精度在17位，基本接近$1/{x^5}$左右的精度

而如果我们计算m(x)更多项数，就可以有更好的收敛精度，甚至对于较小的x也可以计算出高精度的a

mathe

而由于$\ln(m(x))-\ln(x/3)$容易展开，我们可以得出Buffalo得出的公式和这几个也是一致的。也就是这些函数中一个成立，其余的也会成立。只是我们还没有证明其中任何一个是成立的

wayne

此题目抽象出来，本质上是一个非线性函数在无穷迭代后的函数性态分析。
设$x_1 =1$,  $x_n = g(x_{n-1}) = g(g(x_{n-2}))=.... g^{(n-1)}(x_1)$
在本题里面,
对于$a$数列，$x_1=1, g(x) = x+1/x^2$
对于$b$数列，$x_1=1, g(x) = x(1+1/x)^3$
我们可否站在这个层面，即通过分析$g(x)$的函数性态，来分析对于给定的点$x_0$，$g^{(n)}(x_0)$的稳定性态。
比如，$x_1=1$，$n \to +\infty$, $g^{(n)}(x_1) ~f(n)+c$，求$f(n) $和$c$。  更进一步，$f(n)$和$c$是否跟初始值$x_1$无关？

比如，$x_1=x$，$h(x) = g^{(+\infty)}(x) $ ,求$h(x)$？

mathe

一般情况是迭代$x_1=g(x_0),..x_n=g(x_{n-1})=..=g^n(x_0)$有一个不动点$x*$,也就是$x*=g(x*)$,而且迭代过程会收敛到$x*$，我们需要分析收敛情况
我们可以先做分式线性变换$h(x)=1/{g(1/x+x*)-x*}$,将不动点变化到无穷远点。而对于本题中，是属于单侧接近$x*$,对应可以转化为迭代充分大次数后数值单调增到无穷大
设$g(x)=x*+\sum_{k=1}^{\infty} a_k(x-x*)^k$, 如果$a_1<1$那么会收敛比较快，那么如果其中$a_1=1$于是收敛会很慢，其中
$h(x)=1/{\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}/{x^k}}=x+\sum_{k=0}^{\infty}{b_k}/{x^k}$
而对于特殊迭代$h(x)=x+u/{x^h}$,可以利用$x_{n+1}^{h+1}=x_n^{h+1}+uh+...$来替换成$b_0!=0$的模式
当然如果只分析收敛速度，就不需要展开这么多项，基本只要分析常数项$b_0$的值即可

数学星空

能否给出一般形式的级数解：

\(a(n+1)=\alpha a(n)+\frac{\beta}{a(n)^m},a(1)=1\),\(\alpha,\beta , m\gt 1\)为已知常数

\(a(n)\)的级数渐近表达式及极限值\(a_0\)的级数渐近式？

mathe

14#的函数比较容易计算，可以确定其系数增长较快，所以的确只是渐进展开
定义$I(x)=h(1/x)-1/x-ln(3x)+3$
可以得出$I(y)=I(\frac{y}{(1+y)^3})+3y+y^2-3\ln(1+y)$
迭代可以得出I的系数如下。
[5/6, 2/3, 77/108, 133/240, -2669/5400, -1676/567, -788279/317520, 7762807/362880,
886072583/12247200, -21193112/111375, -51269552749/28226880, 13179813953723/14010796800,
7041436522468181/127498250880, 97349629390438/1218979125, -46069933527993259303/22067004960000,
-42816902350693616027/5335311421440, 35102166429256676947501/364420824768000,
1407953168783935179343/2045560695750, -8525301267788665626576074671/1625102513274240000,
-764711579717107267582533600823/11974439571494400000, 4092600041267355581619650180951/12766594804685568000,
643402351031895517830035188768/95717099401048125, -131047316514806347933933976990440033/6601193418934033920000,
-75816634265876758386915382306819291063/93482739100432281600000,
576419151294796744607813853557023616579/690497504719102080000000,
75638854411588766917073680256394977846/674988283421700373125,
252207356987172798472872692121996847287986893/2411714444682502216857600000,
-426540202925104960049923330124988920953285866259/24176692951631997531955200000,
-121171231952549411801437584343735732560952310252969/2253613164419982627085824000000,
150765375936022426793785713932206250735291644138/47946460796180824455703125]

Buffalo

数学星空 发表于 2016-1-3 12:39
能否给出一般形式的级数解：

\(a(n+1)=\alpha a(n)+\frac{\beta}{a(n)^m},a(1)=1\),\(\alpha,\beta , m\ ...

对于方程$a_{n+1}=\alpha a_n+\frac{P_k(n)}{a_n^m}$，$P_k(n)=\sum_{i=0}^k\beta_i n^i$（所有参数都大于零）有以下一般性结论
1. 若$\alpha>1$，则$a_n~c*\alpha^n+...$
2. 若$\alpha=1$，则$\a_n~(\frac{m+1}{k+1}\beta_k n^{k+1})^{\frac{1}{m+1}}+...$
3. 若$\0<alpha<1$，则$\a_n~(\frac{\beta_k n^{k}}{1-\alpha})^{\frac{1}{m+1}}+...$

wayne

对于$b$数列，$x_1=t, g(x) = x(1+1/x)^3$，则不停迭代之，展开式为:

$g^{(n)}(t) =(3+t+1/t^2+3/t)+3n+3 n t^2-9 n t^3+({47n}/2-{9n^2}/2) t^4+(-63 n+27 n^2) t^5+((345 n)/2-(231 n^2)/2+9 n^3) t^6+(-479 n+441 n^2-81 n^3) t^7+(1344 n-(6363 n^2)/4+477 n^3-(81 n^4)/4) t^8+(-3798 n+5544 n^2-2349 n^3+243 n^4) t^9+((53897 n)/5-(75523 n^2)/4+(20931 n^3)/2-(7263 n^4)/4+(243 n^5)/5) t^10+(-30654 n+(252879 n^2)/4-(87417 n^3)/2+(43659 n^4)/4-729 n^5) t^{11}+O(t^{12})$

Buffalo

Buffalo 发表于 2016-1-3 18:27
对于方程$a_{n+1}=\alpha a_n+\frac{P_k(n)}{a_n^m}$，$P_k(n)=\sum_{i=0}^k\beta_i n^i$（所有参数都大 ...

$\alpha\ge 1$时上面的结论没问题。
$0<\alpha<1$时用代换$a_n=(\frac{\beta_k n^k}{1-\alpha})^{\frac{1}{m+1}}b_n$重新定标得到方程$b_{n+1}=\alpha b_n+\frac{1-\alpha}{b_n^m}+o(\frac{1}{n})$。
非线性极限普适方程$S_{n+1}=\alpha S_n+\frac{1-\alpha}{S_n^m}$有不动点，情况比较复杂。随着$m$的取值变化数列的“极限”会出现分岔、混沌现象。第一个分岔点在$m=\frac{1+\alpha}{1-\alpha}$处。