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[讨论] 四面体的外心-内心公式

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发表于 2013-7-28 09:52:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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以下图片截图来自于/forum.php ... 09&fromuid=1455

360截图20130728095009614.jpg


360截图20130728095059663.jpg

点评

文字截图最好采用 png(或 gif)格式,因 jpg 格式是有损格式,文字边缘有失真。  发表于 2013-7-31 14:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-28 09:57:15 | 显示全部楼层
对于陈都先生的各种研究结果:我十分欣赏,由于他给出的表达式简洁而优美。
十分繁杂的数学表达式总能简化为让人看了赏心悦目的数学结果。

我们现在需要讨论的是借助于数学软件,寻求四面体的外心-内心表达式?

当然,我利用数值计算给出了$OI^2!=R^2-3Rr$

360截图20130728095130151.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-28 10:06:22 | 显示全部楼层
我相信陈都先生的直觉,四面体的内心-外心公式应该不会太复杂,那到底是什么样的呢?
为了便于计算,我们利用楼上的方程,并令$a=1,b1=1,b2=1,c1=1,c2=x,c3=y$得到
$r^2*y^2=(y*y1-y)^2$                                             (1)
$r^2*(2*y^2+(x-1)^2)=(y*y1-y*y2+(x-1)*r)^2$        (2)      
$r^2*(x^2+y^2)=(-r*x+y*y2)^2$                             (3)
$R^2=1/4+x2^2+x3^2$                                           (4)
$R^2=1/4+(x2-1)^2+x3^2$                                      (5)
$R^2=1/4+(x2-x)^2+(x3-y)^2 $                                (6)
$d^2=(1/2-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-r)^2 $                    (7)

基本思路是求出R,r,d关于x,y的代数表达式,然后消出x,y,求出d,R,r的关系式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 10:49:07 | 显示全部楼层
3.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-28 10:51:44 | 显示全部楼层
能否给出具体的表达式??
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 10:58:02 | 显示全部楼层
感慨一下:这么多几何方面的老师教授就对射影几何中的面积、体积坐标没兴趣?不了解?我想如果他们熟悉了,会少死很多脑细胞的

点评

计算的结果呢  发表于 2013-7-28 17:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 11:19:51 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2013-7-28 10:51
能否给出具体的表达式??

不想算,给个能简化最后一步计算的式子:
4.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-28 16:03:04 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2013-7-28 10:06
我相信陈都先生的直觉,四面体的内心-外心公式应该不会太复杂,那到底是什么样的呢?
为了便于计算,我们 ...


看来还是小看了此计算量:
我现在仅能得到
$d^2=(4*r^2*y^2 - 4*r*x^2*y - 4*r*y^3 + x^4 + 2*x^2*y^2 + y^4 + 4*y^2*y1^2 + 4*y^2*y2^2 + 4*r*x*y - 2*x^3 - 2*x*y^2 - 4*y^2*y1-4*y^2*y2 + x^2 + 2*y^2)/(4*y^2) $                                                          (1)

$4*x^2*y*y1^4 + 4*y^3*y1^4 - 8*x^2*y*y1^3 - 8*x^2*y1^4 - 8*y^3*y1^3 - 8*y^2*y1^4 + 4*x^2*y*y1^2 + 24*x^2*y1^3 - 8*x*y*y1^3 + 8*x*y1^4 + $
$32*y^2*y1^3 - 24*x^2*y1^2 + 20*x*y*y1^2 - 24*x*y1^3 + 4*y^3*y1 - 36*y^2*y1^2 - 8*y*y1^3 + 8*x^2*y1 - 16*x*y*y1 + 24*x*y1^2 - y^3 + $
$12*y^2*y1 + 20*y*y1^2 + 4*x*y - 8*x*y1 - 16*y*y1 + 4*y =0$            (2)

$4*x^2*y*y2^4 + 4*y^3*y2^4 + 8*x^3*y2^3 - 8*x^2*y*y2^3 - 8*x^2*y2^4 + 8*x*y^2*y2^3 - 8*y^3*y2^3 - 8*y^2*y2^4 - 8*x^3*y2^2 - $
$4*x^2*y*y2^2 - 8*x*y^2*y2^2 + 8*x*y*y2^3 + 8*x*y2^4 + 8*y^2*y2^3 + 4*x^2*y*y2 + 8*x^2*y2^2 + 4*x*y^2*y2 + 4*x*y*y2^2 - 8*x*y2^3 + $
$4*y^3*y2 - 4*y^2*y2^2 - 8*y*y2^3 - 4*x*y*y2 - y^3 + 4*y*y2^2 = 0$  (3)

另外

$R=sqrt(x^4+2*x^2*y^2+y^4-2*x^3-2*x*y^2+x^2+2*y^2)/(2*y)$

$4*r^4*x^2*y+4*r^4*y^3-8*r^4*x^2-8*r^4*y^2+8*r^3*x^2*y+8*r^3*y^3+8*r^4*x-8*r^3*x^2-8*r^3*x*y+4*r^2*x^2*y+8*r^3*x-8*r^3*y-4*r^2*x*y+$
$12*r^2*y^2-4*r*y^3-4*r^2*y+4*r*y^2-y^3 = 0$

$x2 = 1/2$
$x3 =(x^2+y^2-x)/(2*y)$
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-7-28 16:15:11 | 显示全部楼层
4#及7#给出的求解方法的确很简单,但表达式也很繁杂。也不便于计算啊,关健是如何将六边消去,得到R,r,d的关系式?

点评

得到R,r,d的关系式恐怕不现实  发表于 2013-7-31 10:52
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 17:34:42 | 显示全部楼层

要是能给出结果就完美了。
题意其实很简单,思路也有万千种,但是结果到现在都还没有呢


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