四面体的外心－内心公式

数学星空

以下图片截图来自于http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 09&fromuid=1455

数学星空

对于陈都先生的各种研究结果：我十分欣赏，由于他给出的表达式简洁而优美。
十分繁杂的数学表达式总能简化为让人看了赏心悦目的数学结果。

我们现在需要讨论的是借助于数学软件，寻求四面体的外心－内心表达式？

当然，我利用数值计算给出了$OI^2!=R^2-3Rr$

数学星空

我相信陈都先生的直觉，四面体的内心－外心公式应该不会太复杂，那到底是什么样的呢？
为了便于计算，我们利用楼上的方程，并令$a=1,b1=1,b2=1,c1=1,c2=x,c3=y$得到
$r^2*y^2=(y*y1-y)^2$                                             （1）
$r^2*(2*y^2+(x-1)^2)=(y*y1-y*y2+(x-1)*r)^2$        （2）      
$r^2*(x^2+y^2)=(-r*x+y*y2)^2$                             （3）
$R^2=1/4+x2^2+x3^2$                                           （4）
$R^2=1/4+(x2-1)^2+x3^2$                                      （5）
$R^2=1/4+(x2-x)^2+(x3-y)^2 $                                （6）
$d^2=(1/2-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-r)^2 $                    （7）

基本思路是求出R,r,d关于x,y的代数表达式，然后消出x,y,求出d,R,r的关系式？

creasson

数学星空

能否给出具体的表达式？？

creasson

感慨一下：这么多几何方面的老师教授就对射影几何中的面积、体积坐标没兴趣？不了解？我想如果他们熟悉了，会少死很多脑细胞的

creasson

数学星空 发表于 2013-7-28 10:51
能否给出具体的表达式？？

不想算，给个能简化最后一步计算的式子：

数学星空

数学星空 发表于 2013-7-28 10:06
我相信陈都先生的直觉，四面体的内心－外心公式应该不会太复杂，那到底是什么样的呢？
为了便于计算，我们 ...

看来还是小看了此计算量：
我现在仅能得到
$d^2=(4*r^2*y^2 - 4*r*x^2*y - 4*r*y^3 + x^4 + 2*x^2*y^2 + y^4 + 4*y^2*y1^2 + 4*y^2*y2^2 + 4*r*x*y - 2*x^3 - 2*x*y^2 - 4*y^2*y1-4*y^2*y2 + x^2 + 2*y^2)/(4*y^2) $                                                          (1)

$4*x^2*y*y1^4 + 4*y^3*y1^4 - 8*x^2*y*y1^3 - 8*x^2*y1^4 - 8*y^3*y1^3 - 8*y^2*y1^4 + 4*x^2*y*y1^2 + 24*x^2*y1^3 - 8*x*y*y1^3 + 8*x*y1^4 + $
$32*y^2*y1^3 - 24*x^2*y1^2 + 20*x*y*y1^2 - 24*x*y1^3 + 4*y^3*y1 - 36*y^2*y1^2 - 8*y*y1^3 + 8*x^2*y1 - 16*x*y*y1 + 24*x*y1^2 - y^3 + $
$12*y^2*y1 + 20*y*y1^2 + 4*x*y - 8*x*y1 - 16*y*y1 + 4*y =0$            (2)

$4*x^2*y*y2^4 + 4*y^3*y2^4 + 8*x^3*y2^3 - 8*x^2*y*y2^3 - 8*x^2*y2^4 + 8*x*y^2*y2^3 - 8*y^3*y2^3 - 8*y^2*y2^4 - 8*x^3*y2^2 - $
$4*x^2*y*y2^2 - 8*x*y^2*y2^2 + 8*x*y*y2^3 + 8*x*y2^4 + 8*y^2*y2^3 + 4*x^2*y*y2 + 8*x^2*y2^2 + 4*x*y^2*y2 + 4*x*y*y2^2 - 8*x*y2^3 + $
$4*y^3*y2 - 4*y^2*y2^2 - 8*y*y2^3 - 4*x*y*y2 - y^3 + 4*y*y2^2 = 0$  (3)

另外

$R=sqrt(x^4+2*x^2*y^2+y^4-2*x^3-2*x*y^2+x^2+2*y^2)/(2*y)$

$4*r^4*x^2*y+4*r^4*y^3-8*r^4*x^2-8*r^4*y^2+8*r^3*x^2*y+8*r^3*y^3+8*r^4*x-8*r^3*x^2-8*r^3*x*y+4*r^2*x^2*y+8*r^3*x-8*r^3*y-4*r^2*x*y+$
$12*r^2*y^2-4*r*y^3-4*r^2*y+4*r*y^2-y^3 = 0$

$x2 = 1/2$
$x3 =(x^2+y^2-x)/(2*y)$

数学星空

4#及7#给出的求解方法的确很简单，但表达式也很繁杂。也不便于计算啊，关健是如何将六边消去，得到R,r,d的关系式？

wayne

creasson 发表于 2013-7-28 10:49

要是能给出结果就完美了。
题意其实很简单，思路也有万千种，但是结果到现在都还没有呢