四面体的外心－内心公式

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现在的问题如何简化：

\[f=\frac{S_1S_2a_{12}^2+S_1S_3a_{13}^2+S_1S_4a_{14}^2+S_2S_3a_{23}^2+S_2S_4a_{24}^2+S_3S_4a_{34}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4)^2}-r(2R+3r)\]

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又根据32#结果

设四面体$ABC-D$的四个面$BCD,ACD,ABD,ABC$的面积和外接圆半径分别为$S_i,R_i (i=1,2,3,4),$且四面体各棱长$AB=a_{12},AC=a_{13},BC=a_{23},AD=a_{14},BD=a_{24},CD=a_{34}$， 则有

$S_1S_2a_{12}^2+S_1S_3a_{13}^2+S_1S_4a_{14}^2+S_2S_3a_{23}^2+S_2S_4a_{24}^2+S_3S_4a_{34}^2$

$=(a_{14}a_{24}a_{34})/4(a_{23}a_{13}a_{12})/4(a_{12} a_{34} (1/(R_1R_2)+1/(R_3R_4))+a_{13} a_{24} (1/(R_1R_3)+1/(R_2R_4))+a_{23} a_{14} (1/(R_1R_4)+1/(R_2R_3)))$

且

\(S_1+S_2+S_3+S_4=\frac{V}{3r}\)

陈九章

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《数学教学研究》 1995年06期

Euler公式及其不等式的三维推广
孔令恩 王敬秀

【摘要】：Ｅｕｌｅｒ公式及其不等式的三维推广
孔令恩（山东省枣庄师范学校２７７１００）     王敬秀（山东省枣庄市一中２７７１００）
在△ＡＢＣ中，有著名的Ｅｕｌｅｒ公式其中Ｏ，Ｉ为△ＡＢＣ的外、内心，Ｒ、ｒ分别是其外接圆、内切圆半径．由（１）立得Ｅｕｌｅｒ不等式对既有外...

【作者单位】： 山东省枣庄师范学校   山东省枣庄市一中
【关键词】： Euler公式四面体欧拉不等式     中学数学教学      数学教学研究      三维欧氏空间   几何不等式    内切球半径   山东省枣庄市师专学报
【分类号】：G634.6

【正文快照】：
Ｅｕｌｅｒ公式及其不等式的三维推广

孔令恩（山东省枣庄师范学校２７７１００）    王敬秀（山东省枣庄市一中２７７１００）

在△ＡＢＣ中，有著名的Ｅｕｌｅｒ公式  其中Ｏ，Ｉ为△ＡＢＣ的外、内心，Ｒ、ｒ分别是其外接圆、内切圆半径．由（１）立得  Ｅｕｌｅｒ不等式对既有外接

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