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楼主: 数学星空

[讨论] 四面体的外心-内心公式

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发表于 2013-7-28 18:35:34 | 显示全部楼层
用软解了下R,得到 7.png ,余下的不想做了,直接将V、R、r 而不是它们的表达式代入参与运算可以使计算简便
因为内接球半径r 的表达式中包含四个根式的加和,几乎可以肯定的是,一般情形下没有简单的关系式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 18:49:25 | 显示全部楼层
几乎可以肯定的是,一般情形下没有简单的关系式。
我也这么觉得的,我的软件上午化简OI的时候 一直不出结果。
但后来,我又想过,计算的复杂度 还跟你选择的变量有关的。
看你怎么选择量,来唯一的确定四面体。
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发表于 2013-7-28 18:57:38 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 18:49
我也这么觉得的,我的软件上午运行的时候 一直不出结果。
但后来,我又想过,计算的复杂度 还跟你选择的变 ...

最少六个变量,对于具体的四面体,倒是很容易求出具体各项,但是要表示一般情形,倒是很复杂的。我认为,三角形之所以有很简单的关系,在于内接球半径r的表达式中仅包含一个根式
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发表于 2013-7-28 19:09:09 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2013-7-28 18:57
最少六个变量,对于具体的四面体,倒是很容易求出具体各项,但是要表示一般情形,倒是很复杂的。我认为, ...


题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢?
可以试试其他的方法规避 根式,总之,目标是用 四面体的本征 元素来 最简单的表达IO。
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发表于 2013-7-28 20:26:44 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 19:09
题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢 ...

我也没说一定要用六棱长表示,只是说至少用六个变量,至于消去根式这点,用其它特征量表示倒是可能实现简化,可以尝试用一些具体的四面体来试探找寻可能的关系,但是个人认为没什么价值了,传统的几何学已经走到尽头了,出于实用的目的才值得花时间来研究。
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发表于 2013-7-28 20:26:47 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 19:09
题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢 ...

我也没说一定要用六棱长表示,只是说至少用六个变量,至于消去根式这点,用其它特征量表示倒是可能实现简化,可以尝试用一些具体的四面体来试探找寻可能的关系,但是个人认为没什么价值了,传统的几何学已经走到尽头了,出于实用的目的才值得花时间来研究。
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发表于 2013-7-28 20:44:53 | 显示全部楼层
我是看到你这句话:
因为内接球半径r 的表达式中包含四个根式的加和


这里的四个根式的加和,本质上是面积公式(海伦公式),言下之意,就是用六个棱长了吧。
如果用 内切圆半径,就没有根式了。

====
纠缠于这些措辞的细节,以及题目给定的条条框框多没意思哦。
有兴趣就研究一下呗,传统的做题思路总是算出结果就行了,这里面可不只是算结果,还要考虑 一些 美学的因素,这才有意思呢
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发表于 2013-7-28 22:58:52 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2013-7-28 18:35
用软解了下R,得到,余下的不想做了,直接将V、R、r 而不是它们的表达式代入参与运算可以使计算简便
因为内 ...


V的表达式还有另外一种形式,更方便记忆,见 Cayley-Menger Determinant
我计算R的时候就是用这个的。
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 楼主| 发表于 2013-7-28 23:32:40 | 显示全部楼层
我昨天用了杨路教授的程序GPS0算了一个多小时,后来死机了,今天我居然找到了计算结果,用txt格式打开有80.4M(关于R,r,d的代数关系式,r最高是145次方之多)
7764464640139384260864100345061653634007497593691684874557839751774208*r^113+39038002774034126422677837846004425215426585123838748952638027640864768*r^111-\
83575834668166983363467746769760855088275147709875774691421191772569600*r^109+99643962881788764681089287761624554969762885785709955890158943481102336*r^107-\
72360496854632317208886268493560688728042095630098896539282089908895744*r^105+32459775787249370312779086164771635331059121884738849267248746740056064*r^103-\
8411503360150999615936108707150124770174789059832658614104326397755392*r^101+970558080017423032608012543132706704250937199211460609319729968971776*r^99+(
7764464640139384260864100345061653634007497593691684874557839751774208*R^2*r^108-7764464640139384260864100345061653634007497593691684874557839751774208*d^2
*r^108+23293393920418152782592301035184960902022492781075054623673519255322624*r^110+1294077440023230710144016724176942272334582932281947479092973291962368*
R^4*r^104...................................
这个结果无法读取,我想肯定可以化简出来。但是我现在MAPLE无法读取此结果,由于文件太大……。
有兴趣的可以找我索取。

点评

GPS0是什么东西?  发表于 2013-11-21 16:52
额,额,额,这么夸张!  发表于 2013-7-28 23:39
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发表于 2013-7-28 23:42:49 | 显示全部楼层
太夸张了吧,我中午吃饭,吃完饭还在算,大概十几分钟,我就终止了
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