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楼主: 数学星空

[讨论] 四面体的外心-内心公式

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 楼主| 发表于 2013-7-28 16:15:11 | 显示全部楼层
4#及7#给出的求解方法的确很简单,但表达式也很繁杂。也不便于计算啊,关健是如何将六边消去,得到R,r,d的关系式?

点评

得到R,r,d的关系式恐怕不现实  发表于 2013-7-31 10:52
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-7-28 17:34:42 | 显示全部楼层

要是能给出结果就完美了。
题意其实很简单,思路也有万千种,但是结果到现在都还没有呢


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发表于 2013-7-28 18:35:34 | 显示全部楼层
用软解了下R,得到 7.png ,余下的不想做了,直接将V、R、r 而不是它们的表达式代入参与运算可以使计算简便
因为内接球半径r 的表达式中包含四个根式的加和,几乎可以肯定的是,一般情形下没有简单的关系式。
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发表于 2013-7-28 18:49:25 | 显示全部楼层
几乎可以肯定的是,一般情形下没有简单的关系式。
我也这么觉得的,我的软件上午化简OI的时候 一直不出结果。
但后来,我又想过,计算的复杂度 还跟你选择的变量有关的。
看你怎么选择量,来唯一的确定四面体。
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发表于 2013-7-28 18:57:38 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 18:49
我也这么觉得的,我的软件上午运行的时候 一直不出结果。
但后来,我又想过,计算的复杂度 还跟你选择的变 ...

最少六个变量,对于具体的四面体,倒是很容易求出具体各项,但是要表示一般情形,倒是很复杂的。我认为,三角形之所以有很简单的关系,在于内接球半径r的表达式中仅包含一个根式
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发表于 2013-7-28 19:09:09 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2013-7-28 18:57
最少六个变量,对于具体的四面体,倒是很容易求出具体各项,但是要表示一般情形,倒是很复杂的。我认为, ...


题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢?
可以试试其他的方法规避 根式,总之,目标是用 四面体的本征 元素来 最简单的表达IO。
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发表于 2013-7-28 20:26:44 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 19:09
题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢 ...

我也没说一定要用六棱长表示,只是说至少用六个变量,至于消去根式这点,用其它特征量表示倒是可能实现简化,可以尝试用一些具体的四面体来试探找寻可能的关系,但是个人认为没什么价值了,传统的几何学已经走到尽头了,出于实用的目的才值得花时间来研究。
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发表于 2013-7-28 20:26:47 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-7-28 19:09
题目又没规定死一定要用六个棱长来表达IO,
假如允许你用四个面的内切圆半径,再加上内切球的半径呢 ...

我也没说一定要用六棱长表示,只是说至少用六个变量,至于消去根式这点,用其它特征量表示倒是可能实现简化,可以尝试用一些具体的四面体来试探找寻可能的关系,但是个人认为没什么价值了,传统的几何学已经走到尽头了,出于实用的目的才值得花时间来研究。
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发表于 2013-7-28 20:44:53 | 显示全部楼层
我是看到你这句话:
因为内接球半径r 的表达式中包含四个根式的加和


这里的四个根式的加和,本质上是面积公式(海伦公式),言下之意,就是用六个棱长了吧。
如果用 内切圆半径,就没有根式了。

====
纠缠于这些措辞的细节,以及题目给定的条条框框多没意思哦。
有兴趣就研究一下呗,传统的做题思路总是算出结果就行了,这里面可不只是算结果,还要考虑 一些 美学的因素,这才有意思呢
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发表于 2013-7-28 22:58:52 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2013-7-28 18:35
用软解了下R,得到,余下的不想做了,直接将V、R、r 而不是它们的表达式代入参与运算可以使计算简便
因为内 ...


V的表达式还有另外一种形式,更方便记忆,见 Cayley-Menger Determinant
我计算R的时候就是用这个的。
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