四面体的外心－内心公式

creasson

由此将OI用各棱长表示出来没有任何的问题，或者用其他一些量表示也是容易做到的

wayne

creasson 发表于 2013-7-31 10:23
又看了下，直接用6、9的表示式做整体带入，立即可得一个表示式：

嗯，用四个面积来表达应该是最简洁的。其他的表达都很不现实。

creasson

取一些特殊点，可得另一些式子

wayne

如 creasson 前面所言，射影几何的方法才是正道。
我之前做那个 三角形的等角中心的时候 用解析几何，算出一个式子，然后再引入新元素，化简该式子，初有成效。
在该题里 形成思维定势了。

creasson 的几个比例系数用得很好，直接奔向结果。

wayne

该题 曾经在论坛出现过，星空的链接给错了，我刚搜出来，12楼

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 98&fromuid=1067

wayne

弱弱的问一下，从四面体的四个顶点向对面的平面 做垂线，会是什么个情况

creasson

关于OI,R,r的可能关系式，由上述所给的OI式，先改写成如下式子：
其中含四个根式，由多项式理论，可以找到一个多项式方程，其系数是各棱长的有理关系式，且是对称的，极可能是一些特征量，比如能表示成R, V等，
这样将这些系数再作代换之后，可能得到OI,R,r关系式.
另，由基本定理出发，易得 ，这个式子用传统几何方法试试？

creasson

wayne 发表于 2013-7-31 11:24
弱弱的问一下，从四面体的四个顶点向对面的平面 做垂线，会是什么个情况

，体积V由此可以容易得到
仿射几何的应用远远不止这些，附一个简单性质：如果P=aA+bB+cC+dD;(a+b+c+d=1;a>0,b>0,c>0,d>0),则P在四面体ABCD内部
应用这个性质可以很简单地解决四面体的费马点什么的，而且，从平面几何的研究可以容易地拓广到n维空间几何体的研究

wayne

这4个高之间有啥关系

数学星空

不可否认，此表达式已几乎解决了问题。但离主题的最终答案似乎还有一步之遥，若找不到合适的特征表达式（例如：R,r,S,V..),此问题就是一个谜
当四面体的一个顶点（例如D点）落到ABC内部时，就和http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... &extra=page%3D1 的问题似乎有点关系，我现在的问题是OI的最少特征量有几个？R,r似乎不够（直观告诉我应该是四个，另外两个是什么）？