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[讨论] 关于五次代数方程可根式求解问题

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发表于 2014-11-30 13:38:05 | 显示全部楼层 |阅读模式

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关于整系数的五次代数方程的根式求解一直是我们感兴趣的话题:

\(x^5+a_1 x^4+a_2 x^3+a_3x^2+a_4 x+a_5=0\)

1.有哪些特殊的类型可以根式求解?

2.如何判断一定存在根式解?

3.如何将其简化为\(X^5+UX+V=0\)

4.若允许使用三角函数如何求解代数方程的根?

当然,我确信以上问题利用现有数学理论中都可以解决,但是对于业余的数学爱好者来说可能并不清楚?

我们现在是收集相关的资料并展开讨论。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-11-30 13:40:01 | 显示全部楼层
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发表于 2014-11-30 13:40:35 | 显示全部楼层
zgg给出的方法应该比较简单易懂了
/forum.php ... 5742&fromuid=20
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 楼主| 发表于 2014-11-30 13:43:33 | 显示全部楼层
对于问题2,可能要利用群论中的可解群来解释。

若利用数学软件和数值计算如何来快速判断一定有根式解?

网友zgg_ 给出了很简洁的描述

/forum.php ... 42&fromuid=1455

以上方法是否能通过我们的检验?
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 楼主| 发表于 2014-11-30 13:48:22 | 显示全部楼层
对于问题4,网友 God->Osiris 给出一个有趣的例子:

/forum.php ... 18&fromuid=1455

我们能否给出一般三角函数表达的描述和结论?
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发表于 2014-11-30 13:51:53 来自手机 | 显示全部楼层
三角函数肯定是不够的。我记得在哪儿看到过五次方程的解可以用椭圆函数给出
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 楼主| 发表于 2014-11-30 14:47:04 | 显示全部楼层
更讽刺的是:

中国科学院 力学研究所 吴中祥  居然在科学网的博客中得到了:

‘’任意n次不可约代数方程的根式解‘’
任何高次不可约代数方程的根式解(本文的创新)

综上所述,早已解得:2至4次不可约代数方程的根式解,本文又已求得:5和6次不可约代数方程的根式解,再按本文2m(m>1)次和2m(m>2)次不可约代数方程的根式解的解法,当逐次增大m,即可逐次解得任何高次不可约代数方程的根式解。

而且,它们都不含大于3次的根式。因而,它们的得解也都不与Galois理论相矛盾。


http://blog.sciencenet.cn/home.p ... d=space&uid=226
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 楼主| 发表于 2014-11-30 14:51:10 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2014-11-30 13:51
三角函数肯定是不够的。我记得在哪儿看到过五次方程的解可以用椭圆函数给出

关于五次方程根的超椭圆函数表示可见:

http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

http://www.doc88.com/p-7562045137232.html
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 楼主| 发表于 2014-11-30 15:10:03 | 显示全部楼层
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谁能下载并提供 http://www.doc88.com/p-7562045137232.html 的电子书?多谢
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 楼主| 发表于 2014-11-30 15:19:30 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2014-11-30 13:43
对于问题2,可能要利用群论中的可解群来解释。

若利用数学软件和数值计算如何来快速判断一定有根式解?
...


其中有一步:

1、先把它弄成首1整系数的。
\(f=15377302441624829616294559439+147013447513276833423286x-585145514845851080x^2-5941616812296x^3+3349456x^4+32x^5 \)
就变成了
\(f=15377302441624829616294559439+73506723756638416711643x-146286378711462770x^2-742702101537x^3+209341x^4+x^5\)

上面变成首1方程,得到的结果为什么只保留上系数的分子?
\(f=x^5+(209341/2) x^4-(742702101537/4) x^3-(73143189355731385/4) x^2+(73506723756638416711643/16) x+15377302441624829616294559439/32 \)
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