一个复杂的四边形面积公式

数学星空

我今天在刘培杰数学工作室出版的<数学奥林匹克与数学文化>一书中看到一个复杂的四边形公式,设四边形各边长依次为\(a,b,c,d\),且四个角的半外角分别为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\),四边形的面积为\(s\),则有(下面公式可能是印刷错误?!)

\[s=\frac{(a+b+c+d)^2}{\tan(\alpha_1)+\tan(\alpha_2)+\tan(\alpha_3)+\tan(\alpha_4)}-\frac{(a-b+c-d)^2}{\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_4)}\]

对于特殊四边形,即矩形我们可以得到:

\(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\frac{3\pi}{4}, a=c,b=d,s=ab\)

有修正后的公式:

\[s=\frac{(a+b+c+d)^2}{(\tan(\alpha_1)+\tan(\alpha_2)+\tan(\alpha_3)+\tan(\alpha_4))^2}-\frac{(a-b+c-d)^2}{(\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_4))^2}\]

有谁能证明此公式?

倪举鹏

应该是知道四个边  加一个角就可以算面积了啊

zyhlcj

修正后的公式是错的，第一个公式等号左边改为4s就对了

dlsh

1. (*假设BD=1；*)
   
2. a = Sin[z]/Sin[z + x]; d = Sin[x]/Sin[z + x]; b = Sin[w]/
   
3. Sin[y + w]; c = Sin[y]/Sin[y + w];
   
4. A = \[Pi] - (z + x); B = x + y; C1 = \[Pi] - (y + w); D1 = z + w;
   
5. Simplify[{Sin[A], Sin[B], Sin[C1], Sin[D1]}]
   
6. Simplify[{Cot[A], Cot[B], Cot[C1], Cot[D1]}]
   
7. Simplify[{Tan[A], Tan[B], Tan[C1], Tan[D1]}]
   
8. Simplify[{Tan[A/2], Tan[B/2], Tan[C1/2], Tan[D1/2]}]
   
9. 
   
10. S1 = (a + b + c + d)^2/(
    
11.   Cot[A/2] + Cot[B/2] + Cot[C1/2] + Cot[D1/2]) - (a - b + c - d)^2/(
    
12.   Tan[A/2] + Tan[B/2] + Tan[C1/2] + Tan[D1/2]); S2 =
    
13. 2 (a d  Sin[A] + b c Sin[C1]); S3 = 2 (a b Sin[B] + d c Sin[D1]);
    
14. Simplify[{S1, S2, S3, , S1 - S2}]
    
15. (*Factor[{S1,S2,S1-S2}]*)

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