空间球排列问题

无心人

哦

这个问题关键在快速确定球心的关系，即通过坐标能验证球是否相交和接触
然后就是在赤道平面尽量环绕一组小球
其他的球向上下堆叠

当然这么做也许不是最多的方案

无心人

只考虑赤道平面，则
应该能排列一组个数为
$K = [\pi / arctan(1/sqrt{n^2+2n})]$
的球
旋转这组球,显然最多能旋转$K$次

那么一个可能的上界是
$\pi ^2 /{ arctan^2(1/sqrt{n^2+2n})}  - 1$

显然, 这里没考虑球会重合
因此,估算的太大了

无心人

我想,按照我上面算的角度
以三个一组的放, 逐步铺满球面,也是一个方法吧

mathe

相当于在球面上放置尽可能多的点,使得每两个点之间球面距离不小于2*arcsin(1/(n+1))

无心人

你给推导个公式吧

mathe

原帖由 无心人 于 2009-1-7 18:25 发表
任何时候一个球是否只能和最多七个球相接触？？

扣除中间直径为n的大球,外面所有的小球每个最多只能同另外5个相接触.所以浪费的空间会非常严重

mathe

原帖由 无心人 于 2009-1-8 20:04 发表


你给推导个公式吧

我只能给出一个不怎么好的上界.
我们考虑所有小球的球心,在一个半径为n+1的球面上.而每个小球在这个半径为n+1的球面上截出一个球冠(实际上考虑一大球球心为顶点做圆锥相切小球,圆锥截出大球的球冠更加好一些).
于是球冠半径约等于1(前面那个略小于1,后面那个略大于1).于是球冠面积大于底的面积约等于$pi$(对于后面那种情况严格大于$pi$).
而整个大球面积为$4pi(n+1)^2$.
而对于不同小球它们截出的球冠互不相交,所以我们可以得出一个上界,数目严格小鱼$4(n+1)^2$,也就是最多$4(n+1)^2-1$,比如n=1时得到不大于15.

mathe

如果我们更加考虑26楼的情况,那么在每个小球球心做一个半径为2的球,这个球截大球(半径n+1)球冠面积为$4pi$,而它覆盖的小球球冠数目为:中间一个完整的外加边上不超过5个(每个都不超过一半的面积).所以从这个角度来看,我们可以估计,这个面积为$4pi$的球冠覆盖的小球对应的球冠面积小于3.5*小球球冠面积.
而整个大球表面积为$4(n+1)^2pi$,所以从平均角度来说,整个大球上小球球冠数目应该小于${4(n+1)^2pi}/{4pi}*3.5~=3.5(n+1)^2$,也就是n=1的时候应该严格小于14.不过这个只是估计,不严格

winxos

我之前也是这么算角度的，$n^2+2n$得到一个球占的一半的角度的正切，
然后先确定下赤道，然后第二圈位于赤道上方，
比赤道要小，然后我发现n=2的化摆完第二层后，第三层浪费了巨大的空间，
所以应该3个一组拼起来要好一些，这样可以将多数的小空间集合到一个大空间，
不过3个一组拼起来也是有很多小空间，因为拼不紧。

[ 本帖最后由 winxos 于 2009-1-9 09:19 编辑 ]

winxos

你的14个太少了
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n=2时，赤道一周就可以摆下9个了，
n=2时，结果应该是大于25个的。