数字串的通项公式

王守恩

王守恩 发表于 2023-6-19 16:57
a(04)=1, 1+1+1+1,
a(06)=1, 1+1+1+3,
a(08)=2, 1+1+1+5=1+1+3+3,

谢谢 northwolves！ 都是同一串数: (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),...

a(04)=1, 1+1+1+1,
a(08)=1, 1+1+1+5,
a(12)=2, 1+1+1+9=1+1+5+5,
a(16)=3, 1+1+1+13=1+1+5+9=1+5+5+5,
a(20)=5, 1+1+1+17=1+1+5+13=1+1+9+9=1+5+5+9=5+5+5+5,
a(24)=6, 1+1+1+21=1+1+5+17=1+1+9+13=1+5+5+13=1+5+9+9=5+5+5+9,
a(28)=9, 1+1+1+25=1+1+5+21=1+1+9+17=1+1+13+13=1+5+5+17=1+5+9+13=1+9+9+9=5+5+5+13=5+5+9+9,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,......(1)

a(08)=1, 2+2+2+2,
a(12)=1, 2+2+2+6,
a(16)=2, 2+2+2+10=2+2+6+6,
a(20)=3, 2+2+2+14=2+2+6+10=2+6+6+6,
a(24)=5, 2+2+2+18=2+2+6+14=2+2+10+10=2+6+6+10=6+6+6+6,
a(28)=6, 2+2+2+22=2+2+6+18=2+2+10+14=2+6+6+14=2+6+10+10=6+6+6+10,
a(32)=9, 2+2+2+26=2+2+6+22=2+2+10+18=2+2+14+14=2+6+10+14=2+10+10+10=6+6+6+14=6+6+6+14=6+6+10+10,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,......(4)

a(12)=1, 3+3+3+3,
a(16)=1, 3+3+3+7,
a(20)=2, 3+3+3+11=3+3+7+7,
a(24)=2, 3+3+3+15=3+3+7+11=1+5+5+5,
a(28)=3, 3+3+3+19=3+3+7+15=3+3+11+11=3+7+7+11=7+7+7+7,
a(32)=3, 3+3+3+23=3+3+7+19=3+3+11+15=3+7+7+15=3+7+11+11=7+7+7+11,
a(36)=4, 3+3+3+25=3+3+7+23=3+3+11+19=3+3+15+15=3+7+11+15=3+11+11+11=7+7+7+15=7+7+7+15=7+7+11+11,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,......(5)

a(16)=1, 4+4+4+4,
a(20)=1, 4+4+4+8,
a(24)=2, 4+4+4+12=4+4+8+8,
a(28)=2, 4+4+4+16=4+4+8+12=1+5+5+5,
a(32)=3, 4+4+4+20=4+4+8+16=4+4+12+12=4+8+8+12=8+8+8+8,
a(36)=3, 4+4+4+24=4+4+8+20=4+4+12+16=4+8+8+16=4+8+12+12=8+8+8+12,
a(40)=4, 4+4+4+28=4+4+8+24=4+4+12+20=4+4+16+16=4+8+12+16=4+12+12+12=8+8+8+16=8+8+8+16=8+8+12+12,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,......(6)

a(20)=1, 5+5+5+5,
a(24)=1, 5+5+5+9,
a(28)=2, 5+5+5+13=5+5+9+9,
a(32)=3, 5+5+5+17=5+5+9+13=5+9+9+9,
a(36)=5, 5+5+5+21=5+5+9+17=5+5+13+13=5+9+9+13=9+9+9+9,
a(40)=6, 5+5+5+25=5+5+9+21=5+5+13+17=5+9+9+17=5+9+13+13=9+9+9+13,
a(44)=9, 5+5+5+29=5+5+9+25=5+5+13+21=5+5+17+17=5+9+9+21=5+9+13+17=5+13+13+13=9+9+9+17=9+9+13+13,
得到这样一串数: 1,1,2,3,5,6,9,11,15,18,23,27,34,......(7)

northwolves

王守恩 发表于 2023-6-20 15:31
谢谢 northwolves！ 都是同一串数: (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),...

a(04)=1, 1+1+1+1,

每组的数字减去1就是上一组。

northwolves

对于第一组，每个数减去1，再除以4，就是a(n)的四分的种类

northwolves

1. Array[Round[(4 + #)^3/144 - (4 + #)/(24 - 12 (-1)^#)] &, 20]

复制代码

白新岭

王守恩 发表于 2023-6-19 16:57
a(04)=1, 1+1+1+1,
a(06)=1, 1+1+1+3,
a(08)=2, 1+1+1+5=1+1+3+3,

上述数字串都可以变成统一方程的解：a（2*n）=x+y+z+u，n≥2,且1≤x≤y≤z≤u，而且它们的差值是2m，即以
偶数递增，现在我们变通一下，让数列（方程）两边同时去4个数，则a（2*n）-4=X+Y+Z+U，此时它们的大小顺序
不变，而且每个变量都是2的倍数，两边同时除2，则a（n）-2=x"+y"+z"+u",此时有大小关系可以变成：
a（n）-2=X"+2Y"+3Z"+4U",X",Y",Z",U"都是非负整数，满足方程的解组数，就是数字串序列值。
同样处理，（2）时数列两边同样减4，然后除3（因为右边的项都是3的倍数），最后还是X"+2Y"+3Z"+4U"=N
的非负整数解组数。
同理，处理（3），两边减4，然后除4（因为右边的项都是4的倍数），最后还是X"+2Y"+3Z"+4U"=N的非负整数解组数。
由此可知，(1),(2),(3)都是统一方程X"+2Y"+3Z"+4U"=N的非负整数解组数，根据以前的有关帖子可知，能用同一
表达式表是数字串数列的值。
     它的关键是能用统一方程表示它们。同一线性不定方程的非负整数解是相同的。

王守恩

northwolves 发表于 2023-6-20 18:00

OEIS没有这公式。

1. Table[Round[((n^2 - 3 GCD[(2 - n)^2, n^2]) n)/144], {n, 5, 54}]

复制代码

{1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 185, 206, 225,
249, 270, 297, 321, 351, 378, 411, 441, 478, 511, 551, 588, 632, 672, 720, 764, 816, 864, 920, 972,1033, ...

nyy

王守恩 发表于 2023-6-21 09:10
OEIS没有这公式。

{1, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15, 18, 23, 27, 34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, ...

为什么找通项公式的一个，都有30页的回复？

王守恩

边长为n(正整数)的正方形ABCD内动点P，三角形ABP三边长为整数，问动点P可能有几个？

得到一串数: 1,3,8,14,21,29,40,52,66,82,99,117,138,160,185,209,239,265,...,

1. Table[Dimensions@Flatten[Table[NSolve[{m/Sin[a] == n/Sin[b] == k/Sin[a + b], (m n)/k <= k/Sin[a + b],
   
2. \[Pi]/2 >= b > 0, \[Pi]/2 >= a > 0}, {a, b}], {m,1, k Sqrt[2]}, {n, 1, k Sqrt[2]}]]*1/2, {k, 20, 30}]

复制代码

算式没问题，就是太慢了。

王守恩

简单的数字串，OEIS好像没有。

1,5,10,14,19,23,28,32,37,41,46,50,55,59,64,68,73,77,82,86,91,95,......

northwolves

$a_n=\frac{18 n - 15 - (-1)^n}{4}$