数字串的通项公式

王守恩

\(a(n)=x,x^{n+1}=y^n+z^n,x≠y\)

\(a(1)=3,3^2=3^1+6^1\)——这个x不是最小的。

\(a(2)=5,5^3=5^2+10^2\)——这个x是最小的。

\(a(3)=9,9^4=9^3+18^3\)——这个x是最小的。

\(a(4)=17,17^5=17^4+34^4\)——这个x是最小的。

\(a(5)=33,33^6=33^5+66^5\)——这个x是最小的。

\(a(6)=65,65^7=65^6+130^6\)——这个x是最小的。

\(a(7)=129,129^8=129^7+258^7\)——这个x是最小的。

\(a(8)=257,257^9=257^8+514^8\)——这个x是最小的。

\(a(9)=513,513^{10}=513^9+1026^9\)——这个x是最小的。

3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025, 2049, 4097, 8193,16385, 32769, 65537, 131073, 262145, 524289, 1048577——a(n) = 2^n + 1——A000051——还没有这样的条文。

王守恩

\(a(n)=x,x^{n+1}=y^n+z^n,x≠y≠z\)

\(a(1)=5,5^2=10^1+15^1\)——这个x不是最小的。

\(a(2)=13,13^3=26^2+39^2\)——这个x不是最小的。

\(a(3)=35,35^4=70^3+105^3\)——这个x是最小的。

\(a(4)=97,97^5=194^4+291^4\)——这个x是最小的。

\(a(5)=275,275^6=550^5+825^5\)——这个x是最小的。

\(a(6)=793,793^7=1586^6+2379^6\)——这个x是最小的。

\(a(7)=2315,2315^8=4630^7+6945^7\)——这个x是最小的。

\(a(8)=6817,6817^9=13634^8+20451^8\)——这个x是最小的。

\(a(9)=20195,20195^{10}=40390^9+605855^9\)——这个x是最小的。

a(n) = 2^n + 3^n——A007689——这个x是最小的。这句话能成立的话——这个x是最小的。这句话应该成为——A007689——当家条文。

5, 13, 35, 97, 275, 793, 2315, 6817, 20195, 60073, 179195, 535537, 1602515, 4799353, 14381675, 43112257, 129271235, 387682633, 1162785755, 3487832977, 10462450355, 31385253913, 94151567435, 282446313697,

王守恩

A300565——Numbers z such that there is a solution to x^3 + y^4 = z^5 with x, y, z >= 1.

z=32, 250, 1944, 2744, 3888, 19208, 27648, 55296, 59049, 59582, 81000, 82944, 131072, 135000, 185193, 200000,

# A300565 (b-file synthesized from sequence entry)——后面还有大把地皮空置——我来把 y,x 补上。
1 32{{y -> 64, x -> 256}}
2 250{{y -> 625, x -> 9375}}
3 1944{{y -> 11664, x -> 209952}}
4 2744{{y -> 19208, x -> 268912}}
5 3888{{y -> 23328, x -> 839808}}
6 19208{{y -> 134456, x -> 13176688}}
7 27648{{y -> 331776, x -> 15925248}}
8 55296{{y -> 331776, x -> 79626240}}
9 59049{{y -> 531441, x -> 86093442}}
10 59582{{y -> 923521, x -> 28629151}}
11 81000{{y -> 1215000,x -> 109350000}}
12 82944{{y -> 995328,  x -> 143327232}}
13 131072{{y -> 2097152, x -> 268435456}}
14 135000{{y -> 2025000, x -> 303750000}}
15 185193{{y -> 3518667, x -> 401128038}}
16 200000{{y -> 4000000, x -> 400000000}}

对比A303265——才知道上面这些数据来之不易。  

王守恩

已知直角四面体六条棱之和=n(n=9, 10, 11, 12, 13, ...), 则四面体的最大体积=

{0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 35, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 62, 65, 69, 73, 77, 81, 86, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 157, 164}

Table[Round[n^3/6 ((Sqrt[2] - 1)*n/3)^3/6], {n, 9, 72}]

王守恩

northwolves 发表于 2024-12-9 09:19
这个代码更直观些：

A293173——1, 2, 5, 13, 17, 34, 41, 85, 89, 233, 305, 386, 481, 610, 937, 1213, 1597, 1762, 3653, 4181, 5473, 6850, 8077, 8321, 8857, 10946, 21029, 21506, 28657, 40097, 47125, 75025, 75725, 98209,

1. Flatten@Table[Solve[{5 x (y*z - x) == y^2 + z^2}, {x}, Integers], {y, 123}, {z, 123}]

复制代码

{x -> 1, x -> 1, x -> 1, x -> 2, x -> 2, x -> 5, x -> 5, x -> 13, x -> 13, x -> 34, x -> 34, x -> 89, x -> 1, x -> 1, x -> 1, x -> 17, x -> 1, x -> 2, x -> 1, x -> 41, x -> 2, x -> 85, x -> 2, x -> 5,
x -> 2, x -> 481, x -> 1, x -> 17, x -> 1, x -> 386, x -> 1, x -> 41, x -> 1, x -> 937, x -> 5, x -> 13, x -> 2, x -> 85, x -> 1, x -> 386, x -> 13, x -> 34, x -> 1, x -> 937, x -> 2, x -> 481, x -> 34, x -> 89}
——我还是不知道怎么把"x"去掉,然后合并一下——这次与上次不一样(564#,565#,566#)——上次只有"1个"(y), 这次有"2个"(y,z)。

northwolves

王守恩 发表于 2025-7-27 05:20
A293173——1, 2, 5, 13, 17, 34, 41, 85, 89, 233, 305, 386, 481, 610, 937, 1213, 1597, 1762, 3653, 4 ...

1. s = Values@
   
2.   Solve[{5  x  (y*z - x) == y^2 + z^2, y <= z <= 50}, {x, y, z},
   
3.    PositiveIntegers]

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王守恩

A345731——Additive bases: a(n) is the least integer such that there is an n-element set of integers between 0 and a(n), the sums of pairs (of distinct elements) of which are distinct.
A345731——1, 2, 4, 7, 12, 18, 24, 34, 45, 57, 71, 86, 105, 126, 150, 171,——Table of n, a(n) for n=2..17.——{0, 1, 2, 3, ..., a(n)}没有等和对的最大子集。

a(1)=0,  0,
a(2)=1,  0, 1,
a(3)=2,  0, 1, 2,
a(4)=4,  0, 2, 3, 4,
a(5)=7,  0, 3, 5, 6, 7,
a(6)=12,  0, 1, 2, 6, 9, 12,
a(7)=18,  0, 1, 2, 4, 8, 13, 18,
a(8)=24,  0, 1, 2, 4, 8, 14, 19, 24,
a(9)=34,  0, 1, 2, 4, 8, 15, 24, 29, 34,
a(10)=45,  0, 1, 7, 10, 13, 21, 26, 41, 43, 45,
a(11)=57,  0, 1, 5, 9, 17, 31, 33, 44, 51, 54, 57,
a(12)=71,  0, 1, 2,  7, 12 22, 37, 40, 54, 63, 67, 71,
a(13)=86,  0, 1, 11, 17, 21, 34, 42, 57, 60, 72, 79, 84, 86,——72,79,86可以成等差数列。
a(14)=105,  0, 1, 6, 14, 27, 44 54 66, 69, 85, 94, 101, 103, 105,
a(15)=126,  0, 8, 13, 16, 19, 31, 46, 76, 83, 90, 100, 104, 124, 125, 126,
a(16)=148,  0, 3, 5, 6, 32, 49, 59, 68, 93, 106, 118, 126, 130, 134, 141, 148,
a(17)=171,

王守恩

挺好的三串数——A(n),B(n),C(n)——谢谢 northwolves ！！！

Table[Solve[{(Sin[Pi/6] + Sin[Pi/3] + Sin[Pi/2])^(2 n - 1) ==A*Sin[Pi/6]^(2 n - 1) + B*Sin[Pi/3]^(2 n - 1) + Sin[Pi/2]^(2 n - 1)}, {A, B}, PositiveIntegers], {n, 9}]

n=1, A(1)=1, B(1)=1,
n=2, A(2)=46, B(2)=10,
n=3, A(3)=1156, B(3)=76,
n=4, A(4)=26440, B(4)=568,
n=5, A(5)=594352, B(5)=4240,
n=6, A(6)=13318240, B(6)=31648,
n=7, A(7)=298263616, B(7)=236224,
n=8, A(8)=6678960256, B(8)=1763200,
n=9, A(9)=149557916416, B(9)=13160704,

B(n)=1, 10, 76, 568, 4240, 31648, 236224, 1763200, 13160704, 98232832, 733219840, 5472827392, 40849739776, 304906608640, 2275853910016, ——A107903——Generalized NSW numbers.——条文没我们的有意义。
B(n)=A107903(n)=Floor[(1+Sqrt{3})^(2n-1)/2]

A(n)=1, 46, 1156, 26440, 594352, 13318240, 298263616, 6678960256, 149557916416, 3348948866560, 74990693573632, 1679214509639680, 37601483354976256,——OEIE就没有了。
Table[(((1 + Sqrt[3]) (2 - Sqrt[3])^n - (1 - Sqrt[3]) (2 + Sqrt[3])^n) 6^n)/(4 Sqrt[3]) - 2^(2 n - 1), {n, 20}] // FullSimplify

固定n, 在A(n), B(n)有解的前提下,  C(n)表示可以取到的最大值。

Table[Solve[{(Sin[Pi/6] + Sin[Pi/3] + Sin[Pi/2])^(2 n - 1) ==A*Sin[Pi/6]^(2 n - 1) + B*Sin[Pi/3]^(2 n - 1) + C*Sin[Pi/2]^(2 n - 1)}, {A, B, C}, PositiveIntegers], {n, 3}]

C(n)=1, 6, 37, 207, 1161, 6504, 36410, 203826, 1141037, 6387614, 35758350,——电脑罢工了——好不容易搞了这么几个————连我也找不到通项公式。

Table[Floor[(3 + Sqrt[3])^(2 n - 1)/4^n], {n, 20}]——谢谢 northwolves ！！！

王守恩

三角数A=n(n+1)/2的数字和，
数字和=1，A={1, 4,
数字和=3,   A={2, 6, 15, 20, 24, 141, 200, 2000, 20000, 200000, 2000000,
数字和=6,   A={3, 5, 14, 21, 66, 77, 201, 473, 2001, 15620, 20001, 200001, 2000001,
数字和=9,   A={8, 9, 17, 18, 26, 35, 45, 53, 63, 80, 81, 89, 126, 144, 161, 162, 179, 206, 215, 224, 449, 458, 477, 666, 800, 801, 1421, 1575, 1620, 1673, 2006, 2015, 2195, 2835, 4473, 4733, 6326, 8000, 8001, 8126, 14184, 14220,  
数字和=12, A={11, 29, 33, 38, 42, 47, 51, 60, 65, 69, 78, 101, 110, 119, 146, 150, 155, 159, 164, 173, 195, 204, 245, 249, 258, 317, 326, 375, 402, 447, 510, 533, 600, 632, 663, 681, 722, 1001, 1095, 1122, 1266, 1415, 1424, 1428,
数字和=15, A={12, 23, 30, 32, 39, 41, 48, 50, 57, 59, 68, 75, 84, 86, 93, 95, 102, 104, 111, 113, 120, 122, 149, 156, 158, 167, 174, 185, 203, 210, 219, 221, 228, 237, 246, 255, 257, 266, 273, 284, 293, 300, 318, 320, 374, 401, 453,
数字和=18, A={27, 36, 44, 54, 62, 71, 72, 90, 98, 99, 117, 134, 135, 143, 152, 153, 170, 171, 180, 197, 198, 207, 216, 225, 233, 242, 251, 260, 261, 269, 279, 287, 288, 297, 323, 324, 333, 341, 350, 359, 377, 378, 395, 404, 405, 440,
数字和=21, A={56, 74, 83, 87, 92, 96, 105, 114, 123, 128, 137, 168, 177, 182, 186, 191, 209, 213, 218, 222, 240, 254, 263, 272, 276, 281, 285, 290, 294, 299, 303, 321, 330, 335, 339, 344, 348, 353, 357, 362, 366, 371, 380, 384, 393,

把第一个数取出来(我的电脑只能出来这么几个)——OEIS没有这串数。

{1, 2, 3, 8, 11, 12, 27, 56, 129, 107, 132, 309, 368, 627, 968, 1332, 3129, 3434, 5291, 8831, 13332, 18972, 28248, 37067, 77067, 107516, 140547, 278172, 368507,