数字串的通项公式

王守恩

从1,2,3,…,29,30这30个数中取出30个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于  3 -  4, 58 - 59。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出29个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于  5 -  6, 56 - 57。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出28个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于  7 -  8, 54 - 55。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出27个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于  9 - 10, 52 - 53。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出26个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 11 - 12, 50 - 51。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出25个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 13 - 14, 48 - 49。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出24个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 15 - 16, 46 - 47。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出23个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 17 - 18, 44 - 45。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出22个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 19 - 20, 42 - 43。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出21个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 21 - 22, 40 - 41。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出20个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 23 - 24, 38 - 39。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出19个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 25 - 26, 36 - 37。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出18个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 27 - 28, 34 - 35。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出17个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 29 - 30, 32 - 33。
从1,2,3,…,29,30这30个数中取出16个不同数,才能确保其中有2个不同数的和等于 31。

一般地可以有。

从 1, 2, 3, …, n 这 n 个数中取出 S(A,B) 个不同数, 才能确保其中有 A 个不同数的和等于 B。

S(A,B) = Floor[frac{((1 + A)A/2 + (1 + n) A - (B + 1)}{A}],  其中 (1 + A) A < 2B < (1 + n) A.

\(S(A,B)=\bigg\lfloor\frac{\frac{(1+A)A}{2} + (1 + n) A - (B + 1)}{A}\bigg\rfloor,其中\frac{(1+A)A}{2}<B<\frac{(1+n)A}{2}\)

王守恩

A024219——0, 3, 7, 12, 19, 28, 38, 49, 62, 77, 93, 110, 129, 150, 172, 195, 220, 247, 275, 304, 335, 368, 402, 437, 474, 513, 553, 594, 637, 682, 728, 775, 824, 875, 927, 980,

Table[Floor[(A (3 A + 1) - 1)/4], {A, 60}]——没有我们的这通项公式！

王守恩

来一串类似A024219——我们这串数可是有现实意义的。

S(A,B) ——1, 4, 8, 13, 20, 29, 39, 50, 63, 78, 94, 111, 130, 151, 173, 196, 221, 248, 276, 305, 336, 369, 403, 438, 475, 514, 554, 595, 638, 683, 729, 776, 825, 876, 928, 981, 1036, 1093, 1151, 1210, 1271, 1334, 1398}

Table[Ceiling[(A (3 A + 1))/4], {A, 50}]

从1这1个数中取出1个不同数,才能确保其中有1个数的和等于1。
从1,2,3,4这4个数中取出4个不同数,才能确保其中有2个数的和等于4。
从1,2,3,…,9这9个数中取出8个不同数,才能确保其中有3个数的和等于10。
从1,2,3,…,16这16个数中取出13个不同数,才能确保其中有4个不同数的和等于22。
从1,2,3,…,25这25个数中取出20个不同数,才能确保其中有5个不同数的和等于40。
从1,2,3,…,36这36个数中取出29个不同数,才能确保其中有6个不同数的和等于66。
从1,2,3,…,49这49个数中取出39个不同数,才能确保其中有7个不同数的和等于101。
从1,2,3,…,64这64个数中取出50个不同数,才能确保其中有8个不同数的和等于148。
从1,2,3,…,81这81个数中取出63个不同数,才能确保其中有9个不同数的和等于207。

一般地可以有。

从 1, 2, 3, …, A^2 这 A^2 个数中取出 S(A,B) 个不同数, 才能确保其中有 A 个不同数的和等于 B。

S(A,B) ——1, 4, 8, 13, 20, 29, 39, 50, 63, 78, 94, 111, 130, 151, 173, 196, 221, 248, 276, 305, 336, 369, 403, 438, 475, 514, 554, 595, 638, 683, 729, 776}

S(A,B) =Table[Ceiling[(A (3 A + 1))/4], {A, 50}], {A, 32}]——这是简化公式。

S(A,B)——1, 4, 8, 13, 20, 29, 39, 50, 63, 78, 94, 111, 130, 151, 173, 196, 221, 248, 276, 305, 336, 369, 403, 438, 475, 514, 554, 595, 638, 683, 729, 776}

S(A,B) = Table[Floor[((1 + A) A/2 + (1 + A^2) A - (((1 + A) A + (1 + A^2) A)/4 - (1 - 2 Sin[A Pi/2] - Cos[A Pi])/8 + 1))/A], {A, 32}]——这是照搬711#公式。

B——1, 4, 10, 22, 40, 66, 101, 148, 207, 280, 368, 474, 598, 742, 907, 1096, 1309, 1548, 1814, 2110, 2436, 2794, 3185, 3612, 4075}

B是这样来的——Flatten@Table[B, {A, 35}, {B, ((1 + A) A + (1 + A^2) A)/4 - (1 - 2 Sin[A Pi/2] - Cos[A Pi])/8, ((1 + A) A + (1 + A^2) A)/4 - (1 - 2 Sin[A Pi/2] - Cos[A Pi])/8}]

请各位指点！！！谢谢！

王守恩

从1, 2, 3, 4 这 4个数中取出4个不同数,才能确保其中有2个数的和等于4。
从1,2,3,…, 9 这 9个数中取出5个不同数,才能确保其中有3个数的和等于18。
从1,2,3,…,16这16个数中取出7个不同数,才能确保其中有4个不同数的和等于48。
从1,2,3,…,25这25个数中取出8个不同数,才能确保其中有5个不同数的和等于100。
从1,2,3,…,36这36个数中取出10个不同数,才能确保其中有6个不同数的和等于180。
从1,2,3,…,49这49个数中取出11个不同数,才能确保其中有7个不同数的和等于294。
从1,2,3,…,64这64个数中取出13个不同数,才能确保其中有8个不同数的和等于448。
从1,2,3,…,81这81个数中取出14个不同数,才能确保其中有9个不同数的和等于648。

一般地可以有。

从1,2,3,…,A^2这A^2个数中取出 S(A,B) 个不同数, 才能确保其中有 A 个不同数的和等于 B。

B——4, 18, 48, 100, 180, 294, 448, 648, 900, 1210, 1584, 2028, 2548, 3150, 3840, 4624, 5508, 6498, 7600, 8820}

B是这样来的——Table[(1 + A^2) A - (1 + A) A, {A, 2, 26}]

S(A,B) ——4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47}

S(A,B) =Table[Floor[(A (A + 1)/2 + A (1 + A^2) - ((1 + A^2) A - (1 + A) A + 1))/A], {A, 2, 36}]——这是照搬711#的公式。

S(A,B) ——4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47}

S(A,B) =Table[Floor[1/FractionalPart[E^(2/(3 A))]], {A, 3, 60}]——这是简化公式。

这简化公式——把大名鼎鼎的数学常数“e”也拖出来了——不容易——庆贺！谢谢DeepSeek！！！

aimisiyou

王守恩 发表于 2025-6-21 08:23
从1, 2, 3, 4 这 4个数中取出4个不同数,才能确保其中有2个数的和等于4。
从1,2,3,…, 9 这 9个数中取出5个 ...

从1~100中至少选出多少个不同的数，必然存在四个不同的数，满足a+b=c+d?

王守恩

aimisiyou 发表于 2025-6-21 09:25
从1~100中至少选出多少个不同的数，必然存在四个不同的数，满足a+b=c+d?

从1~n中选出a(n)——{},尽可能长,不满足a+b=c+d——只要再加1个(剩下数中的任意1个)——就满足a+b=c+d。
a(4)=4, {4,3,2},
a(5)=5, {5,4,3,1},
a(6)=5, {6,5,4,2},
a(7)=5, {7,6,5,3},
a(8)=6, {8,7,6,4,1},
a(9)=6, {9,8,7,5,2},
a(10)=6, {10,9,8,6,3},
a(11)=6, {11,10,9,7,4},
a(12)=6, {12,11,10,8,5},
a(13)=7, {13,12,11,9,6,1},
a(14)=7, {14,13,12,10,7,2},
a(15)=7, {15,14,13,11,8,3},
a(16)=7, {16,15,14,12,9,4},
a(17)=7, {17,16,15,13,10,5},
a(18)=7, {18,17,16,14,11,6},
a(19)=7, {19,18,17,15,12,7},
a(20)=7, {20,19,18,16,13,8},
a(100)=?
OEIS应该有这串数——就是不知道怎么去找。

aimisiyou

王守恩 发表于 2025-6-22 05:47
从1~n中选出a(n)——{},尽可能长,不满足a+b=c+d——只要再加1个(剩下数中的任意1个)——就满足a+b=c+d。
a ...

a(20)=7吧,{2,3,5,8,12,17}

aimisiyou

a(100)={9,10,12,15,19,24,30,37,45,54,64,75,87,100},不知是不是最少的？

aimisiyou

王守恩 发表于 2025-6-22 05:47
从1~n中选出a(n)——{},尽可能长,不满足a+b=c+d——只要再加1个(剩下数中的任意1个)——就满足a+b=c+d。
a ...

找到了，应该是最少的了。a(100)=10,{19,38,50,64,65,68,73,75,81}

王守恩

northwolves 发表于 2025-5-29 23:46

这通项公式有问题吗？——依样画葫芦——心里没底。

1. a[n_ /; n < 3] = 1; a[n_?OddQ] := 3 (n + 1) (n - 1)!/8; a[n_?EvenQ] := n (3 n - 2) (n - 2)!/8 - (n - 3)!!; Table[a[n], {n, 30}]

复制代码

{1, 1, 3, 9, 54, 285, 2160, 15825, 151200, 1411095, 16329600, 185067855, 2514758400, 33530101605, 523069747200, 8020402655265, 141228831744000, 2447966414868975, 48017802792960000, 928344187296100575}

目的很明确——710#的通项公式——让我慢慢道来。

1，依样画葫芦——OEIS没有这串数。

1. a[n_ /; n < 2] = n; a[n_?OddQ] := 2 a[n - 1] + a[(n - 1)/2]; a[n_?EvenQ] := 2 a[n - 1] + a[(n - 2)/2]; Table[a[n], {n, 0, 30}]

复制代码

{0, 1, 2, 3, 7, 16, 34, 71, 145, 297, 601, 1218, 2452, 4938, 9910, 19891, 39853, 79851, 159847, 319991, 640279, 1281159, 2562919, 5127056, 10255330, 20513112, 41028676, 82062290, 164129518, 328268946, 656547802}

2，依样画葫芦——A062178O——通项公式。

1. a[n_ /; n < 2] = n; a[n_?OddQ] := 2 a[n - 1] -  a[(n - 1)/2]; a[n_?EvenQ] := 2 a[n - 1]  - a[(n - 2)/2]; Table[a[n], {n, 0, 34}]

复制代码

{0, 1, 2, 3, 5, 8, 14, 25, 47, 89, 173, 338, 668, 1322, 2630, 5235, 10445, 20843, 41639, 83189, 166289, 332405, 664637, 1328936, 2657534, 5314400, 10628132, 21254942, 42508562, 85014494, 170026358, 340047481,, 680089727}

3，710#是这样一串数:  1, 3, 9, 23, 59, 135, 317, 713, 1607, 3527, 7745, 16769, 36235, 77607, 165825, 352317, 746685, 1576173, 3319593, 6970845, 14608551, 30544467, 63751497, 132814317,

参考的是A062178——0, 1, 2, 3, 5, 8, 14, 25, 47, 89, 173, 338, 668, 1322, 2630, 5235, 10445, 20843, 41639, 83189, 166289, 332405, 664637, 1328936, 2657534, 5314400, 10628132, 21254942, 42508562,

4，710#的通项公式，谢谢！！！