数字串的通项公式

王守恩

northwolves 发表于 2025-5-29 23:46

正三角形每边 1 等分可以有 0 个平行四边形。

正三角形每边 2 等分可以有 3 个平行四边形。

正三角形每边 3 等分可以有 15 个平行四边形。

正三角形每边 4 等分可以有  45  个平行四边形。

正三角形每边 5 等分可以有  105  个平行四边形。

正三角形每边 6 等分可以有  210  个平行四边形。

得到一串数——0, 3, 15, 45, 105, 210, 378, 630, 990, 1485, 2145, 3003, 4095, 5460, 7140, 9180, 11628, 14535, 17955, 21945, ......, n (n + 2) (n^2 - 1)/8,

正三角形每边 n 等分可以有  a(n)  个平行四边形——太可惜——A050534——就是没有这样的条文——你应该去补充一下——为广大数学爱好者。

王守恩

northwolves 发表于 2025-5-29 23:46

正六边形每边 1 等分可以有 6 个平行四边形。

正六边形每边 2 等分可以有 87 个平行四边形。

正六边形每边 3 等分可以有 417 个平行四边形。

正六边形每边 4 等分可以有  1278  个平行四边形。

正六边形每边 5 等分可以有  3060  个平行四边形。

正六边形每边 6 等分可以有  6261  个平行四边形。

得到一串数——6, 87, 417, 1278, 3060, 6261, 11487, 19452, 30978, 46995, 68541, 96762, 132912, 178353, 234555, 303096, 385662, ......, (9 n^4 + 4 n^3 - n)/2,

正六边形每边 n 等分可以有  a(n)  个平行四边形——太难了——A047786——没有——情有可原。

王守恩

northwolves 发表于 2025-5-29 23:46

由 2 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 1 个平行四边形。

由 8 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 13 个平行四边形。

由 18 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 58 个平行四边形。

由 32 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 170 个平行四边形。

由 50 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 395 个平行四边形。

由 72 个相同正三角形拼成平行四边形可以有 791 个平行四边形。

得到一串数——1, 13, 58, 170, 395, 791, 1428, 2388, 3765, 5665, 8206, 11518, 15743, 21035, 27560, 35496, 45033, 56373, 69730, 85330, ......, n (n + 1) (3 n^2 + n - 1)/6,

由2*n^2个相同正三角形组成平行四边形可以有  a(n)  个平行四边形——简单的——A103220——就是没有这样的条文——有点说不过去了。

王守恩

a(1)=1,
a(2)=3=1+2,
a(3)=8=2+6=1+3+4,
a(4)=15=6+9=2+5+8=1+3+4+7,
a(5)=27=11+16=8+9+10=2+5+6+14=1+3+4+7+12,
a(6)=43=21+22=10+14+19=6+9+11+17=2+5+8+13+15=1+3+4+7+12+16,
a(7)=65=32+33=18+23+24=6+15+25+19=9+10+11+14+21=2+5+8+13+17+20=1+3+4+7+12+16+22,
a(8)=94=46+48=30+31+33=22+23+24+25=8+15+16+17+38=10+11+12+13+14+34=7+8+9+10+11+12+37=1+2+3+4+5+6+7+66,
a(9)=130=64+66=42+43+45=31+32+33+34=24+25+26+27+28=17+18+19+20+21+35=11+12+13+14+15+16+49=5+6+7+8+9+10+36+50=1+2+3+4+30+37+38+39+40,
a(10)=175=1+174=57+58+60=42+43+44+46=33+34+35+36+37=25+26+27+28+29+40=18+19+20+21+22+23+52=10+11+12+13+14+15+16+84=6+7+8+9+30+31+32+38+44=2+3+4+5+47+48+49+50+51+ 55,
a(11)=229=114+115=74+77+78=55+56+57+61=41+42+43+44+59=30+31+32+33+34+69=23+24+25+26+27+28+76=9+10+11+13+14+15+46+111
=2+5+6+8+17+18+19+20+134=21+47+48+49+50+51+52+53+54=1+3+4+7+12+16+22+29+36+45+54,
a(12)=294=146+148=97+98+99=72+73+74+75=56+58+59+60+61=40+41+42+43+44+84=33+34+35+37+38+39+78=24+25+26+27+28+30+31+103
=2+5+6+8+9+10+11+13+230=14+15+17+18+19+20+21+23+47+100==2+10+11+13+17+23+30+37+46+55+66=1+3+4+7+12+16+22+29+36+45+54+65,

{1, 3, 8, 15, 27, 43, 65, 94, 130, 175, 229, 294, 369, 456, 557, 671, 800, 944, 1105, 1283, 1479, 1695, 1930, 2187, 2465, 2765, 3090, 3439, 3813, 4213, 4641, 5096, 5580, 6095, 6639, 7216, 7825, 8466, 9143, 9855, 10602,

Table[SeriesCoefficient[(x + 3 x^3 - 2 x^4 + 6 x^5 - 5 x^6 + 9 x^7 - 7 x^8 + 10 x^9 - 7 x^10 + 9 x^11 - 5 x^12 + 5 x^13 - 3 x^14 + 3 x^15 - x^16)/((1 - x)^2 (1 - x^3)^2 (1 + x^6) (1 - x + x^2)), {x, 0, n}], {n, 100}]

a(7)=65=32+33=20+21+24=14+15+17+19=9+10+11+12+23=5+6+7+13+16+18=1+2+3+4+8+22+25,
a(7)=65=32+33=18+23+24=6+15+25+19=9+10+11+14+21=2+5+8+13+17+20=1+3+4+7+12+16+22,

补充内容 (2025-6-7 06:51):
没用删了，删不了。

王守恩

a(1)=1,
a(2)=3=1+2,
a(3)=8=2+6=1+3+4,
a(4)=15=6+9=2+5+8=1+3+4+7,
a(5)=27=11+16=8+9+10=2+5+6+14=1+3+4+7+12,
a(6)=43=21+22=10+14+19=6+9+11+17=2+5+8+13+15=1+3+4+7+12+16,
a(7)=65=32+33=18+23+24=6+15+25+19=9+10+11+14+21=2+5+8+13+17+20=1+3+4+7+12+16+22,
a(8)=94=46+48=30+31+33=22+23+24+25=8+15+16+17+38=10+11+12+13+14+34=7+8+9+10+11+12+37=1+2+3+4+5+6+7+66,
a(9)=130=64+66=42+43+45=31+32+33+34=24+25+26+27+28=17+18+19+20+21+35=11+12+13+14+15+16+49=5+6+7+8+9+10+36+50=1+2+3+4+30+37+38+39+40,
a(10)=175=1+174=57+58+60=42+43+44+46=33+34+35+36+37=25+26+27+28+29+40=18+19+20+21+22+23+52=10+11+12+13+14+15+16+84=6+7+8+9+30+31+32+38+44=2+3+4+5+47+48+49+50+51+ 55,
a(11)=229=114+115=74+77+78=55+56+57+61=41+42+43+44+59=30+31+32+33+34+69=23+24+25+26+27+28+76=9+10+11+13+14+15+46+111
=2+5+6+8+17+18+19+20+134=21+47+48+49+50+51+52+53+54=1+3+4+7+12+16+22+29+36+45+54,
a(12)=294=146+148=97+98+99=72+73+74+75=56+58+59+60+61=40+41+42+43+44+84=33+34+35+37+38+39+78=24+25+26+27+28+30+31+103
=2+5+6+8+9+10+11+13+230=14+15+17+18+19+20+21+23+47+100==2+10+11+13+17+23+30+37+46+55+66=1+3+4+7+12+16+22+29+36+45+54+65,

{1, 3, 8, 15, 27, 43, 65, 94, 130, 175, 229, 294, 369, 456, 557, 671, 800, 944, 1105, 1283, 1479, 1695, 1930, 2187, 2465, 2765, 3090, 3439, 3813, 4213, 4641, 5096, 5580, 6095, 6639, 7216, 7825, 8466, 9143, 9855, 10602,

Table[SeriesCoefficient[(x + 3 x^3 - 2 x^4 + 6 x^5 - 5 x^6 + 9 x^7 - 7 x^8 + 10 x^9 - 7 x^10 + 9 x^11 - 5 x^12 + 5 x^13 - 3 x^14 + 3 x^15 - x^16)/((1 - x)^2 (1 - x^3)^2 (1 + x^6) (1 - x + x^2)), {x, 0, n}], {n, 100}]