双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

mathe

找到一个很高深的文章，不知道是不是和本题相关:
http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200303.pdf

mathe

重心轨迹为圆可以推广为，两个圆锥曲线如果存在三角形分别内接和外切它们，以及一条给定的直线。对于任意分别内接和外切俩圆锥的三角形，找到定直线和三边交点关于各边俩端点的调和共轭，这三个调和共轭和相对顶点的连线显然共点。而随着三角形移动，这个公共点的轨迹是一条圆锥曲线，而且过原先俩圆锥曲线的交点

mathe

但是费马点感觉应该不成立，只是太接近圆了

lsr314

三角形欧拉线上的点（相对于外心、重心、垂心的位置不变）的轨迹都是一个圆，这些圆的位似中心就是三角形的外心。
反过来不成立，旁心的轨迹也是一个圆，但是旁心一般不在欧拉线上。

mathe

关于重心的图我改变无穷远直线为一条和外圆相交的直线，每边中点改为对应的调和共轭点，
结果得到的图是几何作图验证一条圆锥曲线，但是不是圆。
这说明在原图中重心轨迹还是可能是圆（但是也可能是椭圆），但是肯定和原先的两圆不共享一条根轴（也就是不在同一个圆系）。

图中三角形NOT是动三角形，直线EK为固定直线（相当于原图无穷远直线），三边交EK于P,U,A1.
而P关于NO的调和共轭是S(也就是NP*OS=NS*OP),U关于NT的调和共轭是G1, A1关于OT的调和共轭是D1
所以TS,OG1,ND1交于公共点F1,而红色圆锥曲线就是F1在三角形运动时的轨迹。

mathe

费尔马点（F)的轨迹的确不是圆，看上去像椭圆，其余的重心(G),垂心(H),旁心(P),以及切点和顶点连线交点(T)都是看不出任何不是圆的迹象，当然，大部分应该是不同根轴的。

zeroieme

zeroieme 发表于 2019-3-4 18:14
\(d^6-9 d^4+\left(9-d^2\right) x^2+8 \left(d^2-3\right) d x+\left(9-d^2\right) y^2+16 d^2=0\)
变形 ...

6#就是，我定义外接圆半径为\(r_o\)

不过我还没清楚怎么出现两个增根的

zeroieme

该死的点评，都不知道我回复的是什么地方的点评了。

mathe

我们如果能够把各心的面积坐标写出，三个应该是关于a,b,c对称的。
其中重心最简单，三个分量都是1/3。而内心相当于(a,b,c)除以对称式a+b+c.
不知其它各心如何，我觉得应该是这些对称坐标形式的一定组合对应点的轨迹都是圆。但是由于圆总共就三个独立参数，所以组合不能太复杂。
猜测如果两心轨迹都是不动点或圆，那么它们的线性组合也必然是，比如重心和垂心的中点轨迹是否也是圆？

lsr314

mathe 发表于 2019-3-6 06:22
我们如果能够把各心的面积坐标写出，三个应该是关于a,b,c对称的。
其中重心最简单，三个分量都是1/3。而内 ...

欧拉线上的点应该都成立，但是其他线性组合不一定成立，因为不共线的三点（如外心、内心、重心）的线性组合可以表示平面上所有的点。