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楼主: mathe

[原创] 双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

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发表于 2019-3-5 12:15:38 | 显示全部楼层
如图,五边形时连线不交于一点


5.jpg

点评

先做出外接圆和一条弦CD以及CD的中垂线,移动CD的平行线EF使得五边形有内切圆。  发表于 2019-3-6 10:00
五边形的图如何做出的?  发表于 2019-3-5 21:12
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发表于 2019-3-5 14:39:14 | 显示全部楼层
在三角形内分别作三个与内切圆和两边相切的圆,连接对应的切点的三条直线交于一点。

这个特殊点的轨迹并不是圆,有点像椭圆(红色)。(旁边的圆是三角形顶点和切点连线交点的轨迹)

0.jpg
1.jpg
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 楼主| 发表于 2019-3-5 16:31:38 | 显示全部楼层
找到一个很高深的文章,不知道是不是和本题相关:
http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200303.pdf
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 楼主| 发表于 2019-3-5 18:16:52 来自手机 | 显示全部楼层
重心轨迹为圆可以推广为,两个圆锥曲线如果存在三角形分别内接和外切它们,以及一条给定的直线。对于任意分别内接和外切俩圆锥的三角形,找到定直线和三边交点关于各边俩端点的调和共轭,这三个调和共轭和相对顶点的连线显然共点。而随着三角形移动,这个公共点的轨迹是一条圆锥曲线,而且过原先俩圆锥曲线的交点
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 楼主| 发表于 2019-3-5 18:29:52 来自手机 | 显示全部楼层
但是费马点感觉应该不成立,只是太接近圆了
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发表于 2019-3-5 19:07:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-3-5 19:46 编辑

三角形欧拉线上的点(相对于外心、重心、垂心的位置不变)的轨迹都是一个圆,这些圆的位似中心就是三角形的外心。
反过来不成立,旁心的轨迹也是一个圆,但是旁心一般不在欧拉线上。

点评

恩,你说的很可能是对的  发表于 2019-3-6 17:42
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 楼主| 发表于 2019-3-5 20:03:21 | 显示全部楼层
bicentral-circles.png
关于重心的图我改变无穷远直线为一条和外圆相交的直线,每边中点改为对应的调和共轭点,
结果得到的图是几何作图验证一条圆锥曲线,但是不是圆。
这说明在原图中重心轨迹还是可能是圆(但是也可能是椭圆),但是肯定和原先的两圆不共享一条根轴(也就是不在同一个圆系)。

图中三角形NOT是动三角形,直线EK为固定直线(相当于原图无穷远直线),三边交EK于P,U,A1.
而P关于NO的调和共轭是S(也就是NP*OS=NS*OP),U关于NT的调和共轭是G1, A1关于OT的调和共轭是D1
所以TS,OG1,ND1交于公共点F1,而红色圆锥曲线就是F1在三角形运动时的轨迹。

点评

这个图恰恰说明了重心的轨迹是圆,我前面竟然没有发现,因为轨迹经过直线和圆的交点。另外一点,这说明对于重心情况,内切圆改为任意内切椭圆也应该成立  发表于 2019-3-6 20:08
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 楼主| 发表于 2019-3-5 21:59:22 | 显示全部楼层
bicentral-circles.png
费尔马点(F)的轨迹的确不是圆,看上去像椭圆,其余的重心(G),垂心(H),旁心(P),以及切点和顶点连线交点(T)都是看不出任何不是圆的迹象,当然,大部分应该是不同根轴的。
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发表于 2019-3-5 22:43:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2019-3-5 22:50 编辑
zeroieme 发表于 2019-3-4 18:14
\(d^6-9 d^4+\left(9-d^2\right) x^2+8 \left(d^2-3\right) d x+\left(9-d^2\right) y^2+16 d^2=0\)
变形 ...


6#就是,我定义外接圆半径为\(r_o\)

不过我还没清楚怎么出现两个增根的
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发表于 2019-3-5 22:44:30 | 显示全部楼层
该死的点评,都不知道我回复的是什么地方的点评了。
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