双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

数学星空

根据mathe提供的复数计算方案，我重新计算得到如下结果：

1.对于重心G,我们可以设

  \(x+yI=\frac{A+B+C}{3},x_0+y_0I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},0=a^2(b^2+c^2-a^2)A+b^2(a^2-b^2+c^2)B+c^2(a^2+b^2-c^2)C\)

  消元结果：\(9R^2x^2-12R^2xx_0+4R^2x_0^2+9R^2y^2-12R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

  简化结果：\((3x-2x_0)^2+(3y-2y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


2.对于垂心H，我们可以得到：

  消元结果：\(R^2x^2-4R^2xx_0+4R^2x_0^2+R^2y^2-4R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

  简化结果：\((x-2x_0)^2+(y-2y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


3.对于热尔岗点Ge,我们可以得到：

   消元结果：\(9R^4x^2-24R^4xx_0+16R^4x_0^2+9R^4y^2-24R^4yy_0+16R^4y_0^2-R^2x^2x_0^2-R^2x^2y_0^2+8R^2xx_0^3+8R^2xx_0y_0^2-9R^2x_0^4-R^2x_0^2y^2+8R^2x_0^2yy_0-18R^2x_0^2y_0^2-R^2y^2y_0^2+8R^2yy_0^3-9R^2y_0^4+x_0^6+3x_0^4y_0^2+3x_0^2y_0^4+y_0^6=0\)

   简化结果：\((x+\frac{4x_0(-3R^2+x_0^2+y_0^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2+(y+\frac{4y_0(-3R^2+x_0^2+y_0^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2=(\frac{(x_0^2+y_0^2)(R^2-x_0^2-y_0^2)}{(9R^2-x_0^2-y_0^2)R})^2\)


4.对于奈格尔点Na,我们可以得到：

   消元结果：\(R^2x^2+R^2y^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

   简化结果：\(x^2+y^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{R})^2\)


5.对于九点圆圆心N,我们可以得到：
  
   消元结果：\(4R^2x^2-8R^2xx_0+4R^2x_0^2+4R^2y^2-8R^2yy_0+4R^2y_0^2-x_0^4-2x_0^2y_0^2-y_0^4=0\)

   简化结果：\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=(\frac{x_0^2+y_0^2}{2R})^2\)

mathe

除了热尔岗点结果都好简单

mathe

由于重心是射影不变量，所以前面尝试了把内圆变成其它圆锥曲线时的情况，发现重心的轨迹还是圆。
今天重新试验了一下，在把内圆变成其它圆锥曲线时，高的轨迹，结果神奇发现竟然好像还是圆！

但是热尔岗点和内格尔点就没有这样的性质了

mathe

这道题目和关于三正交切线的题目也可能有些关联。https://bbs.emath.ac.cn/thread-15600-1-1.html
我们应该可以找到一个包含三正交切线的椭球面，其中某个固定点P向椭球做出的所有三切线的切点会落在一个平面上描成本题的外圆，俩切线确定平面相切内(椭)圆，而三个切点就是三角形的三个顶点。

mathe

所有我们可以在空间标准直角坐标系的三条坐标轴上各自选择一个不是原点的点，这三点确定了一个过三点的圆C，圆C上任意点和原点的连线构成一个二次锥面的各条母线。于是我们可以知道，选择这个二次锥面的任意一条母线X，必然还可以找到另外两条母线Y,Z和它垂直，而那两条母线Y,Z也必然相互垂直。
而关于垂心的题目可以转化为，对于上面方法找到的任何一组母线，过其中一条向另外两条确定的平面做垂面，得到的三垂面交于一条直线H，而随着开始选择的第一条母线X发生变化,得到的三垂面交线H的轨迹也构成一个二次锥面，而且这个二次锥面和圆C确定的平面的交线也是圆。