双心三角形顶点和对边切点连线的交点的轨迹

mathe

由于$S={abc}/{4R}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=sr$
所以我们得出$S=rs, sr^2=(s-a)(s-b)(s-c)= -s^3+(ab+bc+ca)s-abc, a+b+c=2s, abc=4RS=4Rrs, ab+bc+ca=r^2+s^2+4Rr$
所以我们把a,b,c的对称多项式都写成参数R,r,s的函数。
然后我们可以计算各种心的面积坐标，
重心G最简单为$(1/3:1/3:1/3)$, 内心I也比较简单，为$(a/{2s}:b/{2s}:c/{2s})$， 外心O要比较复杂为，$({a\sqrt{4R^2-a^2}}/{a\sqrt{4R^2-a^2}+b\sqrt{4R^2-b^2}+c\sqrt{4R^2-c^2}}:{b\sqrt{4R^2-b^2}}/{a\sqrt{4R^2-a^2}+b\sqrt{4R^2-b^2}+c\sqrt{4R^2-c^2}}:{c\sqrt{4R^2-c^2}}/{a\sqrt{4R^2-a^2}+b\sqrt{4R^2-b^2}+c\sqrt{4R^2-c^2}})$
为了方便起见，我们可以不做归一化，把分母都去除后，变成齐次坐标形式
$G(1:1:1), I(a: b :c),O( a\sqrt{4R^2-a^2}: b\sqrt{4R^2-b^2}:c\sqrt{4R^2-c^2} )$,同样还有$H(a/{sqrt(4R^2-a^2)}:b/{sqrt(4R^2-b^2)}:c/{sqrt(4R^2-c^2)})$
而本题计算的心的坐标形式应该是$T(s-a : s-b : s-c)$, 由此可以发现$G={T+2I}/3$,所以在I为不动点,T的轨迹为圆时，G的轨迹自然也是圆，它们俩是等价的
可以看出这些心的面积坐标形式都是关于a,b,c全对称的。问题是哪些关于a,b,c全对称的心的轨迹是圆

数学星空

对于外接圆\(x^2+y^2=R^2\),内切圆\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)

三角形切点与对应顶点交点圆轨迹为：

\((x+\frac{4x_0(x_0^2+y_0^2-3R^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2+(y+\frac{4y_0(x_0^2+y_0^2-3R^2)}{9R^2-x_0^2-y_0^2})^2=(\frac{(x_0^2+y_0^2)(R^2-(x_0^2+y_0^2))}{(9R^2-x_0^2-y_0^2)R})^2\)

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另外：下面已给出了双切圆N边形的条件：

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 63&fromuid=1455

mathe

制作了拿破仑心的放大图(灰色图),结果不是圆,也不是椭圆（取上面5点在做过五点圆锥曲线为粉图，结果不重合）。
所以看来结果为圆的是少数

mathe

高应该也不是圆，只是非常接近

数学星空

部分重心坐标列表：

1.重心\(G(1:1:1)\)

2.内心\(I(a,b,c)\)

3.旁心\(I_A(-a,b,c),I_B(a,-b,c),I_C(a,b,-c)\)

4.外心\(O(\sin(2A):\sin(2B):\sin(2C))=a^2(b^2+c^2-a^2):b^2(a^2+c^2-b^2):c^2(a^2+b^2-c^2)\)

5.垂心\(H(\tan(A):\tan(B):\tan(C)=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}:\frac{1}{-b^2+c^2+a^2}:\frac{1}{b^2-c^2+a^2}\)

6.九点圆圆心\(N(a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B))=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2\)

   九点圆圆心N,外点O,重心G满足：ON:NG=3:-1

7.共轭重心\(K(a^2:b^2:c^2)\)

   三角形重心的等角共轭点称为共轭重心点；三角形中三条中线对对应内角平分线的等角线称为共轭中线，三条共轭中线的交点就是共轭重心K

8.热尔岗点Gergonne \(Ge(\frac{1}{s-a}:\frac{1}{s-b}:\frac{1}{s-c})\)

  三角形的内切圆切于BC,AC,AB三边于D,E,F,则AD,BE,CF交于一点称为热尔岗点

9.奈格尔点(Nagel) \(Na(s-a,s-b,s-c)\)

   三角形三个旁切圆在BC,CA,AB三边上的切点分别记为D',E',F'，则AD',BE',CF'交于一点称为奈格尔点Na

10.费尔巴哈点（Feuerbach)\(a(1-\cos(B-C)):b(1-\cos(C-A)):c(1-\cos(A-B))\)

    三角形的九点圆和旁切圆的三个切点

11.费马点\(F(\frac{1}{\cot(A)+\cot(\frac{\pi}{3})}:\frac{1}{\cot(B)+\cot(\frac{\pi}{3})}:\frac{1}{\cot(C)+\cot(\frac{\pi}{3})})\)

mathe

所以现在来看，出了外心和内心是固定点，现在我们确定是圆的实际上只有奈格尔点和重心，而这两个本来就是等价的（和I在同一条直线而且成比例关系）
由于其它的心很难有这种关系，通常应该不是圆，甚至也不是椭圆（虽然看起来很像）。
而奈格尔点是圆也容易理解，因为它的定义具有射影不变性。

mathe

热尔岗点我的面积坐标求错了，所以重心等价的结论也不正确

mathe

另外有人在用Geogebra安卓版吗？里面轨迹菜单选项太后面超出屏幕，而菜单滚动条选不中，有人有解决方案吗？
另外重心是普适的心，这个性质能推广到n边形吗？

lsr314

mathe 发表于 2019-3-6 19:19
高应该也不是圆，只是非常接近

高的轨迹应该是圆，作图的时候可以先画出轨迹，以外心和内心的连线与轨迹的两个交点为直径作圆，放大很多倍都是重合的。
从轨迹上直接取三点作圆也是重合的。